Metode Pembuktian yang Melibatkan Kuantor

Sering kali kita jumpai di dalam literatur pernyataan yang akan dibuktikan tidak ditulis dalam bentuk implikasi, tetapi ditulis den gan menggunakan kuantor baik kuantor universal maupun eksistensi. Pembuktian dari pernyataan yang mengandung kuantor memerlukan perlakuan yang khusus. Sebagai contoh kita perhatikan Proposisi 1.4.1 berikut.

Proposisi 1.4.1 Untuk semua bilangan bulat positif $n$, $(n^3 -n)$ habis dibagi oleh 6.

Perhatikan bahwa proposisi di atas tidak dalam bentuk implikasi. Bagaimana kita membuktikan pernyataan yang tidak dalam bentuk implikasi? Tentu saja ubah pernyataan tersebut menjadi bentuk implikasi yang ekivalen. Perhatikan bahwa implikasi “Jika $n$ adalah bilangan bulat positif, maka $(n^3 - n)$ habis dibagi 6” mempunyai makna yang sama dengan pernyataan pada Proposisi 1.4.1. Sehingga kita cukup memperlihatkan implikasi “Jika $n$ adalah bilangan bulat positif, maka $(n^3 - n)$ habis dibagi oleh 6”.
- Pertanyaan yang muncul dari kesimpulan adalah bagaimana kita memperlihatkan suatu bilangan habis dibagi 6? Satu cara adalah dengan memperlihatkan bilangan tersebut habis dibagi oleh 2 dan habis dibagi oleh 3.
- Sekarang kita proses informasi yang berasal dari hipotesis. Per hatikan bahwa $n^3 - n = n(n - 1)(n + 1)$ merupakan hasil kali dari tiga bilangan berurutan. Hal ini berakibat $n^3 -n$ habis dibagi oleh 2. Karena $(n -1)$, $n$, dan $(n + 1)$ merupakan tiga bilangan beru rutan, maka salah satu dari mereka habis dibagi oleh 3, yang berakibat $n^3 -n$ habis dibagi oleh 3.
Baca juga:
- Pembuktian dengan Kontradiksi
- Pembuktian dengan Kontrapositif
- Metode Pembuktian Langsung

Bukti proposisi 1.4.1
Perhatikan bahwa $n^3 - n = (n -1)n(n + 1)$ adalah hasil kali tiga bilangan berurutan. Hal ini berakibat bahwa salah satu dari $(n-1)$, $n$, dan $(n + 1)$ adalah genap dan salah satu dari $(n - 1)$, $n$, dan $(n + 1)$ habis dibagi oleh 3. Karena $n^3 -n$ habis dibagi oleh 2 dan 3, maka $n^3 -n$ habis dibagi 6.

Secara khusus, bila kesimpulan dari implikasi mengandung kuan tor eksistensi yang memenuhi sifat tertentu, maka kita membuktikan nya dengan metode konstruktif atau metode nonkonstruktif. Metode konstruktif bekerja dengan membentuk objek yang memenuhi sifat tertentu, sementara metode non-konstruktif hanya memperlihatkan objek tersebut ada tanpa membentuk objeknya. Proposisi berikut memperlihatkan metode konstruktif bagi pembuktian yang melibatkan kuantor eksistensi pada kesimpulannya.

Proposisi 1.4.2 Untuk setiap bilangan riil $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f \in R$ dengan $ad - bc \ne 0$, terdapat bilangan riil $x$ dan $y$ sehingga $ax + by = e$ dan $cx + dy = f$.

Perhatikan bahwa Proposisi 1.4.2 memuat kuantor universal dan eksistensi. Lebih lanjut Proposisi 1.4.2 tidak dinyatakan dalam ben tuk implikasi. Tetapi sebenarnya Proposisi 1.4.2 dapat kita nyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut. “Jika $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f \in R$ dan $ad−bc \ne 0$, maka terdapat bilangan riil $x$ dan $y$ sehingga $ax+by = e$ dan $cx+dy = f$”. Kita analisis buktinya dengan menggunakan teknik maju-mundur.
- Pada proses mundur kita dihadapkan pada pertanyaan bagaimana cara mencari solusi sistem persamaan linier? Dengan menga likan persamaan $ax + by = e$ dengan $c$ dan mengalikan per samaan $cx + dy = f$ dengan $a$, diperoleh solusi $y = (ce- af)/(bc - ad)$. Dengan mengalikan $ax + by = e$ dengan $d$ dan mengalikan $cx+dy = f$ dengan $b$ diperoleh $x = (de-bf)/(ad- bc)$.
- Pada proses maju $ad -bc \ne 0$ menjamin keberadaan bilangan $x = (de - bf)/(ad - bc)$ dan $y = (ce -af)/(bc - ad)$.

Bukti proposisi 1.4.2
Karena $ad − bc \ne 0$, maka $x = (de -bf)/(ad -bc)$ dan $y = (ce- af)/(bc - ad)$ adalah bilangan riil. Perhatikan bahwa sistem per samaan $ax + by = e$ dan $cx + dy = f$ dipenuhi oleh $x = (de - bf)/(ad-bc)$ dan $y = (ce-af)/(bc-ad)$. Hal ini berakibat terdapat bilangan riil $x$ dan $y$ sehingga $ax + by = e$ dan $cx + dy = f$.

Demikianlah postingan materi metode pembuktian yang melibatkan kuantor. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.