Metode Pembuktian Langsung

Sebagai seorang calon matematisi kita harus mempunyai kemam puan untuk berkomunikasi dalam sains matematika. Untuk berko munikasi dalam sains matematika, kita dituntut untuk tidak hanya mampu membaca literatur tetapi kita juga diharapkan untuk da pat menuliskan ide-ide kita dalam upaya mengkomunikasikan ide-ide tersebut. Pada bagian yang paling sederhana kita harus menuliskan ide-ide kita ketika kita mengerjakan latihan-latihan, ketika kita dalam ujian, dalam seminar atau bahkan ketika kita menuliskan hasil riset kita baik dalam bentuk skripsi, maupun dalam bentuk makalah- makalah untuk publikasi ilmiah.
Di dalam matematika kita biasanya membicarakan kebenaran universal dari suatu pernyataan. Sehingga untuk memahami literatur- literatur matematika kita harus mengetahui argumentasi yang baik tentang kebenaran universal dari suatu pernyataan. Argumentasi se cara matematis tentang kebenaran universal dari suatu pernyataan disebut sebagai bukti. Pada bab ini kita diskusikan beberapa metode pembuktian yang biasa digunakan dalam literatur-literatur mate matika. Secara khusus kita diskusikan empat jenis metode pem buktian, yakni metode pembuktian langsung, metode pembuktian kontrapositif, metode pembuktian kontradiksi dan metode pembuk tian induksi.

Pembuktian Langsung

Satu konsep yang mendasari semua bidang dalam matematika adalah konsep pembuktian dari pernyataan. Untuk dua pernyataan $P$ dan $Q$ yang masing-masing mungkin benar atau salah, masalah dasar dalam matematika adalah memperlihatkan pernyataan
“Jika $P$ benar, maka $Q$ benar.”
Secara umum terdapat tiga metode pembuktian untuk memperli hatkan pernyataan “Jika $P$ benar, maka $Q$ benar.” Ketiganya adalah metode pembuktian langsung, metode pembuktian dengan kontra positif dan metode pembuktian dengan kontradiksi. Ketiga metode ini didasarkan pada pernyataan dalam bentuk “Jika $P$, maka $Q$” atau $P \to Q$. Pada implikasi $P \to Q$ pernyataan $P$ disebut sebagai hipotesis dan pernyataan $Q$ disebut sebagai kesimpulan.
Pertama kita diskusikan metode pembuktian langsung. Untuk itu kita perhatikan implikasi “Jika $P$, maka $Q$”. Kita tahu terdapat tiga kondisi dari pernyataan $P$ dan $Q$ yang menyebabkan implikasi $P \to Q$ bernilai benar, yakni:
1. Masing-masing pernyataan $P$ dan $Q$ adalah benar,
2. Pernyataan $P$ adalah salah dan $Q$ adalah benar,
3. Pernyataan $P$ adalah salah dan $Q$ adalah salah.
Perhatikan bahwa dari ketiga kondisi ini jika $P$ adalah salah, maka $P \to Q$ adalah benar. Sehingga untuk membuktikan pernyataan “Jika $P$, maka $Q$” adalah benar, kita cukup mengasumsikan $P$ adalah benar dan dengan asumsi ini kita buktikan $Q$ adalah benar. Jadi pada pembuktian langsung kita mengasumsikan bahwa pernyataan $P$ adalah benar, dengan asumsi ini dan dengan menggunakan barisan langkah-langkah yang logis kita menyimpulkan bahwa $Q$ adalah be nar.
Secara umum proses pembuktian dari implikasi $P \to Q$ dilakukan dalam dua tahap, yakni:
- Pertama, mempertanyakan bagaimana cara memperlihatkan kesimpulan adalah benar?
- Kedua, hipotesis diproses untuk mendapatkan informasi tam bahan bagi pembuktian kesimpulan adalah benar.
Analisis dilakukan pada kesimpulan dengan memperhatikan semua alternatif untuk menjawab pertanyaan bagaimana cara memperli hatkan kesimpulan adalah benar. Proses ini disebut “langkah mundur”. Langkah mundur mungkin saja dilakukan dalam beberapa tahap seperti yang diperlihatkan oleh contoh berikut.

Proposisi 1.1.1 Bila $\triangle XY Z$ dengan sisi-sisi $x, ~y$ dan $z$ adalah siku-siku di sudut $\angle XY Z$ dan mempunyai luas $y^2/4$ maka $\triangle XY Z$ adalah sama kaki.

Pada kasus ini hipotesis adalah pernyataan “$\triangle XY Z$ siku-siku di $\angle XY Z$ dan mempunyai luas $y^2/4$”, dan kesimpulan adalah perny ataan “$\triangle XY Z$ adalah samakaki". Bagaimana cara memperlihatkan suatu segitiga adalah sama kaki?. Suatu segitiga adalah samakaki bila mempunyai dua sisi yang panjangnya sama. Dalam hal ini $x = z$. Sekarang pertanyaan berubah menjadi bagaimana cara memperli hatkan dua bilangan sama. Beberapa alternatif yang dapat kita lakukan adalah:
- perlihatkan bahwa selisih kedua bilangan adalah 0, dalam kasus ini perlihatkan $x − z = 0$,
- perlihatkan bahwa bilangan yang satu lebih kecil dari yang lain dan sebaliknya, dalam kasus ini perlihatkan $x \le z$ dan $x \ge z$, atau
- perlihatkan bahwa rasio dari kedua bilangan adalah 1, dalam kasus ini $\displaystyle \frac{x}{z}= 1$.
Persoalannya adalah alternatif mana yang harus dipilih? Jawaban nya biasanya diperoleh dari informasi yang diberikan pada hipotesis. Perhatikan bahwa bila kita dapat memperlihatkan salah satu alter natif di atas, maka kita memperlihatkan $x = z$ yang pada akhirnya berakibat bahwa $\triangle XY Z$ adalah samakaki. Proses untuk menemukan alternatif-alternatif untuk memperlihatkan kesimpulan adalah benar disebut proses “mundur”.
Sekarang kita proses informasi yang dimiliki oleh hipotesis.
- Karena $\triangle XY Z$ siku-siku di $\angle XY Z$, maka dalil Phytagoras mengakibatkan $x^2+z^2=y^2$.
- Dari informasi luas segitiga kita peroleh $\displaystyle \frac{xz}{2}=\frac{y^2}{4}$, atau $y^2=2xz$.
Dengan menggunakan kedua informasi ini kita peroleh $x^2+z^2 = 2xz$ atau $x^2 − 2xz + z^2 = 0$. Sehingga $(x − z)^2 = 0$. Proses menggunakan informasi pada hipotesis kita sebut proses “maju”.
Dengan menggunakan proses maju dan mundur diperoleh bukti formal dari persoalan di atas sebagai berikut.
Bukti Proposisi 1.1.1
Karena $\triangle XY Z$ siku-siku di sudut $\angle XY Z$ diperoleh $x^2 + z^2 = y^2$. Selanjutnya karena luas $\triangle XY Z$ adalah $y^2/4$, maka $xz/2 = y^2/4$ atau $y^2 = 2xz$. Kedua informasi ini memberikan $x^2 − 2xz + z^2 = (x − z)^2 = 0$. Sehingga diperoleh fakta $x − z = 0$ atau $x = z$. Jadi $\triangle XY Z$ adalah sama kaki.

Demikianlah penjelasan singkat mengenai metode pembuktian langsung. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.