Search This Blog

Blogroll

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana cara merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasikan dan akhirnya mempresent...

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana cara merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasikan dan akhirnya mempresentasikan data.
Statistika merupakan ilmu yang berkaitan dengan data. dan Statistik adalah data itu sendiri, informasi-nya, atau hasil penerapan algoritme statistika pada suatu data tersebut. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; inilah yang dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika memberi asumsi mengenai teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain:

populasi
sampel
unit sampel
probabilitas

Statistika juga telah banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik itu ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis (mengenai produk, dll), ekonomi, dan industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk mencapai berbagai macam tujuan; Sensus populasi masyarakat merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Ada pula aplikasi statistika lain yang sekarang populer yaitu prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta hitung cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau Quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan ("AI").

Populasi adalah seluruh unsur data yang akan diteliti.

Sampel adalah sebagian dari populasi.

Unit Sampel adalah satu anggota dalam sampel.

Probabilitas adalah nilai kemungkinan dengan skala nilai dari 0 sampai 1.

Selanjutnya kita akan mengenal dua jenis tabel yaitu tabel tunggal dan tabel kelompok.
Tabel tunggal adalah tabel yang kolom nilainya tunggal. Sebagai contoh, ada 5 orang siswa mendapat nilai 70, 4 orang mendapat nilai 75, 9 orang mendapat nilai 80, dan 2 orang mendapat nilai 90. Maka tabelnya adalah sebagai berikut:
Nilai Frekuensi (f)
70 5
75 4
80 9
902
Perlu diingat bahwa nilai harus diurutkan dari terkecil ke terbesar.
Kemudian untuk membuat tabel kelompok itu lebih rumit dari pada membuat tabel tunggal. Karena tabel kelompok nilainya itu dalam interval dan rumus pembuatannya juga sudah ditetapkan. Berikut ini rumus untuk membuat tabel kelompok:
1. Tentukan nilai $k$ atau banyak kelas (banyak baris nilai). Rumus: $k=1+3,3.log(n)$. Dimana $n$ adalah jumlah semua data.
2. Tentukan panjang kelas $(p)$(banyak elemen dalam interval, sebagai contoh: interval 3-5 banyaknya ada 3 yakni nilai 3, 4, dan 5). Rumus:
$d=\frac{j}{k}$
$p=d+1$
dimana $j$ adalah jangkauan nilai, ($j=$ nilai terbesar - nilai terkecil).
3. Buat tabelnya dengan nilai awal adalah nilai terkecil walaupun ada juga yang membuat nilai awal tidak dari nilai terkecil.
Jadi kita akan membuat tabel kelompok dari data pada tabel tunggal diatas.
1. $k=1+3,3.log(20)=5$ (dibulatkan).
2. $d=\frac{20}{5}=4$, maka $p=5$
3. Tabelnya adalah:
Nilai Frekuensi (f)
$70-74$ 5
$75-79$ 4
$80-84$ 9
$85-89$0
$90-94$ 2
Itulah cara pembuatan tabel tunggal dan tabel kelompok. Kemudian kita akan membahas tentang Ukuran Pemusatan Data.
Ukuran Pemusatan Data
Ukuran pemusatan data mencakup mean, median, dan modus.
1. Mean (Rataan Hitung)
Mean biasa disimbolkan dengan ($\bar x$), berikut ini rumus umumnya:
$\bar{x}=\frac{\sum{f_i.x_i}}{n}$.
2. Median biasa disimbolkan dengan ($Me$).
Median adalah nilai tengah dari data yang sudah diurutkan. Contoh ada data: 3, 5, 7, 7, 8, maka nilai tengah atau mediannya adalah 7. Contoh lain terdapat data: 4, 4, 6, 7 maka nilai tengahnya adalah $\frac{4+6}{2}=5$.
Untuk rumus median dari data pada tabel kelompok adalah sebagai berikut:
$Me=b+\frac{\frac{n}{2}-fk}{f}.p$.
Dimana:
$b$ adalah tepi bawah (kelas median),
$fk$ adalah frekuensi komulatif terbesar yang kurang dari $\frac{n}{2}$, dan
$f$ adalah frekuensi kelas median.
3. Modus ($Mo$)
Modus adalah nilai yang sering muncul atau paling banyak muncul. Sebagai contoh terdapat data: 17, 18, 18, 19, 20, dan 21 maka modusnya adalah 18. Lalu bagaimana mencari modus pada tabel kelompok?. Caranya ada pada rumus berikut:
$Mo=b+\frac{d_1}{d_1+d_2}.p$.
Dimana:
$b$ adalah tepi bawah (kelas modus),
$d_1$ adalah selisih frekuensi sebelum kelas modus dengan frekuensi kelas modus.
$d_2$ adalah selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sesudah kelas modus.
Contoh 1:

Tentukan Mean, Median, dan Modus pada tabel berikut ini:
Nilai$f$
703
805
902
Jawab:
1. Mean, $\bar{x} = \frac{3(70)+5(80)+2(90)}{10}=79$.
2. Median, karena posisi median berada pada data ke 5 dan 6 maka jelas bahwa nilai $Me=80$.
3. Modus, $Mo=80$.
Contoh 2:

Tentukan Mean, Median, dan Modus pada tabel berikut:
Nilai$f$
$69-74$3
$75-80$5
$81-86$2
Jawab:
1. Mean
Untuk tabel kelompok, nilai $x_i$ adalah nilai tengah setiap kelas interval. Kita cari saja nilai deltanya yakni selisih dibagi 2. Dari tabel tersebut nilai deltanya = 2,5. Kemudian kita bentuk tabel baru sebagai berikut:
$x_i$$f$$f_i.x_i$
71,53214,5
77,55387,5
83,52417,5
$\sum {f_i.x_i}$1019,5
Sehingga kita peroleh $\bar x =\frac{1019,5}{10}=101,95$.





Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan ...


Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran $f(x)$ untuk setiap masukan $x$. Fungsi tersebut memiliki limit $L$ pada titik masukan $p$ bila $f(x)$ "dekat" pada $L$ ketika $x$ dekat pada $p$.
Dengan kata lain, $f(x)$ menjadi semakin dekat kepada $L$ ketika $x$ juga mendekat menuju $p$. Lebih jauh lagi, bila $f$ diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada $p$, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan $L$. Bila masukan yang dekat pada $p$ ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi $f$ dikatakan tidak memiliki limit.

Definisi Limit Fungsi
Bila $f:R \to R$ terdefinisi pada garis bilangan riil, dan $p$, $L \in R$ maka kita menyebut limit $f$ ketika $x$ mendekati $p$ adalah $L$, yang ditulis sebagai:
$ \lim \limits_{x \to p} f(x)=L$

Jika dan hanya jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $\delta >0$ sehingga $ \left \vert {x-p} \right \vert < \delta$ mengimplikasikan bahwa $ \left \vert {f(x)-L} \right \vert < \epsilon$. Disini, baik $\epsilon$ maupun $\delta$ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai $f(p)$. Teknik Menyelesaikan Limit
Untuk menyelesaikan limit itu tergantung bentuk fungsinya dan hasilnya. Penting untuk diingat bahwa langkah pertama menyelesaikan limit itu dengan cara substitusi (menggantikan langsung variabel dengan nilai limit) jika hasilnya bentuk tak tentu ada 4 yaitu: $\left \lbrace {\frac {0}{0}}={\frac {\infty}{\infty}}, (\infty -\infty), 1^{\infty} \right \rbrace$ maka bentuk tak tentu ini bukanlah hasil limit, sehingga kita harus menyederhanakan fungsi itu ke bentuk yang paling sederhananya dilakukan dengan cara pengubahan bentuk aljabar dan dalil L'Hospital.

Contoh pencarian nilai limit dengan pensubstitusian:
1. $\lim \limits_{x \to 1} (3x+1)=3(1)+1=4$
2. $\lim \limits_{x \to 3} \frac {x^2-9}{x-3}=\frac{0}{0}$ ini adalah bentuk tak tentu maka akan kita sederhanakan menjadi:
$\lim \limits_{x \to 3} \frac {(x-3)(x+3)}{(x-3)}=\lim \limits_{x \to 3}(x+3)=6$
3. $\lim \limits_{x \to \infty} (\sqrt{x-2}-\sqrt{x^2-4})= \infty - \infty$ ini juga bentuk tak tentu, maka kita sederhanakan dengan cara mengalikan fungsi rasional akar sekawannya yakni: kalikan dengan $\frac {\sqrt{x-2} + \sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x^2-4}}$ sehingga diperoleh bentuk limitnya menjadi: $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{-x^2+x+2}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x^2-4}}$. Maka jika kita bagi dengan $x^2$ menjadi $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{-1+x^{-1}+2.x^{-2}}{\sqrt{x^{-3}-2.x^{-4}} + \sqrt{x^{-2}-4x^{-4}}}=\infty$. Jadi jelas bahwa jika kita substitusikan itu diperoleh hasilnya adalah $\infty$.
NB: Perlu diingat bahwa $\infty$ itu merupakan hasil dari limit.

Limit fungsi Trigonometri
Sifat-sifat:
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x}{sin(x)}$
$=\lim \limits_{x \to 0}\frac{tan(x)}{x}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x}{tan(x)}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{sin(x)}{tan(x)}$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{tan(x)}{sin(x)}=1$.
Perhatikan bahwa sifat umum ini berasal dari dalil L'Hospital.
Contoh:
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {sin(6x)}{sin(2x)}=...$
Jawab:
Coba kita kalikan dengan $\frac {2x}{6x}.\frac {6}{2}$ sehingga menjadi:
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {sin(6x)}{6x}.\frac{2x}{sin(2x)}.\frac {6}{2}=3$.

Jika dengan menggunakan aturan L'Hospital maka diperoleh:
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {D_xsin(6x)}{D_xsin(2x)}=\lim \limits_{x \to 0} \frac {6.cos(6x)}{2.cos(2x)}=3$.

Versi aplikasi android dapat anda download di sini.





Pada pertemuan kali ini akan dijelaskan tentang Vektor. Vektor merupakan suatu arah pada bidang koordinat dimensi-n yang mempunyai nilai. S...


Pada pertemuan kali ini akan dijelaskan tentang Vektor. Vektor merupakan suatu arah pada bidang koordinat dimensi-n yang mempunyai nilai. Sebagai contoh pada koordinat dimensi-2 yang memiliki arah X dan Y. Vektor berbentuk seperti panah yang memiliki titik pangkal dan titik ujung (kepala panah). Perhatikan gambar dibawah ini:


Penamaan sebuah vektor bisa berasal dari gabungan dari titik pangkal dan titik ujung, serta bisa dari satu huruf kecil yang diberi tanda panah diatasnya, sebagai contoh: $\vec {m}$. Penulisan unsur vektor ada dua cara yaitu pertama $a \choose b$$\quad$dan juga bisa ditulis dengan $\left\langle a, b \right\rangle$$\quad$dimana $a$ dan $b$ adalah suatu bilangan.
Vektor satuan adalah vektor yang nilainya satu satuan panjang yang biasa disimbolkan dengan: untuk sumbu X itu i, untuk sumbu Y itu j dan untuk sumbu Z itu k. Untuk mencari nilai vektor dari dua buah titik adalah titik ujung dikurang titik pangkal. Contoh vektor dari titik pangkal (1, 2) dan titik ujung (5,3) adalah $\left\langle 4, 1 \right\rangle$.

Sifat-sifat Vektor
*Komutatif
Contoh:
$\vec{a} +2.\vec b-\vec c=-\vec c+\vec a+2.\vec b$
*Asosiatif
Contoh:
$\vec{a}+(\vec {b}+\vec c)=(\vec {a}+\vec {b})+\vec {c}$
*Distributif
Pada sifat distributif ini berkaitan dengan perkalian titik vektor yang akan dijelaskan nanti.
Contoh:
$\vec {a} .(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{b}$.

Cara menjumlahkan dan mengurangkan vektor, contoh:
$\left\langle -6, 8 \right\rangle+\left\langle 5, -3 \right\rangle-\left\langle 2, 1 \right\rangle=\left\langle -3, 4 \right\rangle$

Cara mengalikan vektor dengan skalar, contoh:
$-3.{-7 \choose 8}={21 \choose -24}$
-------------------
Untuk perkalian dua buah vektor itu ada dua jenis yakni yang pertama perkalian titik dan yang kedua perkalian silang. Kali titik disimbolkan dengan "." dan kali silang disimbolkan dengan "x".
Contoh hasil kali titik dua buah vektor
${5 \choose -6}.{-2 \choose -3}=5(-2)+(-6)(-3)=8$.

NB: Untuk hasil kali silang dua buah vektor itu hanya berlaku pada vektor dimensi-3.
Untuk mencari hasil kali silang dua vektor itu menggunakan determinan matriks. Perhatikan contoh berikut:
Contoh hasil kali silang dua vektor:
$\left\langle 1, 2, 3 \right\rangle$x$\left\langle 4, 5, 6 \right\rangle=$ det $\left(
\begin{array}{rrr}i&j&k\\1&2&3\\4&5&6 \end {array} \right)$ $=-3i+6j-3k=\left\langle -3, 6, -3 \right\rangle$.

Rumus lain hasil kali titik dua vektor:
$\vec{a}.\vec{b}=\left\vert{a}\right\vert.\left\vert{b}\right\vert.cos(\theta)$.
dimana:
$\left\vert{a}\right\vert$ adalah panjang vektor $\vec{a}$ dan $\theta$ adalah sudut potong ataupun sudut bersilangan dari dua vektor itu.

Rumus mencari panjang vektor: $\left\vert{\left\langle m, n \right\rangle}\right\vert=\sqrt{m^2+n^2}$

Contoh:
Kita tahu bahwa vektor satuan $\left\langle 2, 2 \right\rangle$ dengan vektor satuan $\left\langle 2, 0 \right\rangle$ berpotongan dititik 0 dan membentuk sudut $\frac{1}{4} \pi$ (sudut satuan radian), maka:
$\left\langle 2, 2 \right\rangle$.$\left\langle 2, 0 \right\rangle$=$\sqrt{8}.\sqrt{4}.cos(\frac{1}{4} \pi)=4$.




Hai sahabat matematic.my.id... apa kabar? Pastinya masih sehat dalam menjalankan aktivitas.. Baiklah kali ini akan dijelaskan materi tenta...

Hai sahabat matematic.my.id... apa kabar?
Pastinya masih sehat dalam menjalankan aktivitas..
Baiklah kali ini akan dijelaskan materi tentang Modulo.
Apa sih sebenarnya modulo?,
Modulo adalah operasi sisa pembagian atau secara umum dapat dibentuk dalam notasi matematiknya adalah:
$a=bx+c$ sama halnya dengan $c \equiv a$ (mod $ b)$ atau $a$ (mod $ b) = c$.
Tetapi secara umum untuk memudahkan biasanya notasi (mod $ b)$ disimpan (tidak tertulis) seperti berikut: $a \equiv c$.
Contoh: sisa pembagian 13 oleh 4 adalah 1, atau dapat ditulis dengan $13=4(3)+1$ atau dapat ditulis dengan $13$ (mod $ 4) =1$.
NB: Jika pembaginya $b$ maka sisa baginya berada dalam rentang bilangan bulat $0 \le c \le c-1$.

Sifat-sifat modulo:
1. Bersifat seperti persamaan aljabar.
Contoh: Buktikan bahwa $a$ (mod $ b) = a - b$
Untuk membuktikannya, kita simpan (tidak tertulis) (mod $ b)$ maka menjadi $a = a - b$ secara aljabar kita peroleh $b=0$. Jelas bahwa $b$ habis dibagi dengan $b$ (sisa 0 sama saja dengan habis dibagi).
2. Dapat masuk ke operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
contoh:
Tentukan digit terakhir dari hasil $234(780)-671(54527)+987(762)$.
Jawab: Perhatikan bahwa setiap angka yang dibagi 10 itu sisanya adalah digit terakhir dari angka itu. Maka persoalan diatas itu kongruen dengan: $4(0)-1(7)+7(2)=7$. Jadi digit terakhirnya adalah 7.

3. $a^b$ (mod $c)=(a$ mod $ c)^b$ (mod $ c)$ dimana $(a$ mod $ c)$ adalah suatu bilangan sisa.
Contoh 1:
$7^9$ (mod 5) $=2^9$ (mod 5).
Contoh 2:
Berapa sisa pembagian bilangan ${(17(505703)+19)}^{12}$ oleh 11?
Jawab:
Ingat bahwa bilangan basis itu dapat kita modulokan walaupun ia berada didalam pangkat. Karena bilangan 505703 itu habis dibagi 11 (ingat sifat-sifat bilangan yang habis dibagi 11) dan 19 dibagi 11 itu bersisa 8 maka soal tersebut sama dengan ${8}^{12}$ (mod 11), kemudian sifat ke 4 akan menjawab bagian ini.
4. Sifat keempat ini adalah teorema yang ditemukan oleh Euler, berikut teoremanya:
Jika FPB$(j,$ $k)=1$ maka $j^{\varphi (k)} \equiv 1$ (mod $ k)$. Dimana nilai dari $\varphi(k)$ dirumuskan oleh bentuk:
*Jika $k$ adalah bilangan prima maka $\varphi (k)=k-1$.
*Jika $k=p^n.q^m$ dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima, maka $\varphi (k) =(p^n-p^{n-1}).(q^m-q^{m-1})$.

contoh 1:
Tentukan sisa pembagian bilangan $5^{37}$ oleh 3.
Jawab: ini sama halnya dengan $2^{37}(mod \quad 3)$. Karena $\varphi(3)=2$ maka $2^{37}=2^{2(18)+1}=({2^2})^{18}.2^1=1.(2)=2$. Jadi sisa pembagian $5^{37}$ oleh 3 adalah 2.
Contoh 2
$8^{12}$ (mod 11) = ...
Jawab:
Karena 11 adalah bilangan prima, maka $\varphi (11)=10$ sehingga
$8^{12}=8^{10+2}=8^{10}.(8^2)=64=9$ (mod 11).




Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..? Pada postingan kali ini akan dijelaskan mengenai "Polinomial". Polinomial merupakan s...


Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..?
Pada postingan kali ini akan dijelaskan mengenai "Polinomial".
Polinomial merupakan suatu fungsi berbentuk:
$P(x)=a_n.x^n+a_{n-1}.x^{n-1}+...+c$
Dimana:
$a_i$ dengan $i=1, 2, ..., n$ adalah anggota bilangan real;
$n$ adalah anggota bilangan asli; dan
$c$ adalah konstanta, serta
$P(x)$ itu tidak konstan.

Ada yang namanya derajat dalam suatu polinom. Pada bentuk formula diatas bahwa derajat $P(x)$ adalah $n$.

Contoh:
Polinom $h(x)=3x^5-4x+1$ adalah polinom berderajat 5.
--------------------
Selanjutnya apakah polinomial boleh hanya sebuah konstanta?
Jawabannya adalah tidak, sebab suatu konstanta itu variabelnya adalah $x^0$ artinya akar dari polinom itu tidak tentu.
--------------------

Akar Polinomial
Akar dari polinomial $P(x)$ adalah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $P(x)=0$.
NB: Jika $P(c)=0$ dengan $c$ adalah bilangan real, maka $(x-c)$ adalah faktor dari $P(x)$.
Contoh:
Tentukan akar-akar real dari polinomial
$P(x)=x^2-3x+2$
Jawab: polinomial pada contoh ini adalah polinomial berderajat 2 yakni polinomial kuadrat. Sehingga akar-akarnya merupakan akar dari persamaan kuadrat: $x^2-3x+2=0$. Sehingga mudah bagi kita menentukan akar-akarnya. Kita faktorkan persamaan tersebut sehingga diperoleh: $(x-1)(x-2)=0$ maka akar-karnya adalah $x=1$ dan $x=2$.
----------------------
Sisa Pembagian
Sisa pembagian sama halnya dengan pembagian suatu bilangan. Sebagai contoh $\frac {7}{4}=1+\frac {3}{4}$, 7 adalah yg dibagi, 4 adalah pembagi, 1 adalah hasil bagi, dan 3 adalah sisa bagi.
Dalam polinomial maka:
$P(x)=h(x).n(x)+s(x)$
dimana $P(x)$ adalah Polinomial yg akan dibagi,
$h(x)$ adalah hasil bagi,
$n(x)$ adalah pembagi, dan
$s(x)$ adalah sisa bagi.
NB: Jika $deg[n(x)]=k$ maka $deg[s(x)]=k-1$.

Rumus sisa pembagian (Teorema sisa) dimana pembaginya adalah suatu polinom linear berbentuk $ax+b$, adalah: sisa = $P(\frac {-b}{a})$
----------------------------
Contoh: (OSP MTK SMA 2019)
Polinom $P(x)$ yang memenuhi persamaan
$P(x^2)=x^{2019}.(x+1).P(x)$ dengan $P(\frac {1}{2})=-1$ adalah ....
Jawab:
Misalkan $deg[P(x)]=n$ maka dari persamaan yang diketahui pada soal, diperoleh:
$2n=2020+n$ atau $n=2020$. Kemudian substitusikan $x=0$ dan $x=-1$ maka diperoleh $P(0)=0$ dan $P(1)=0$ sehingga diperoleh $P(x)=x.(x-1).Q(x)$....(1) dan $deg[Q(x)]=2018$. Dari persamaan (1) dan diketahui pada soal bahwa $P(\frac {1}{2})=-1$ maka $Q(\frac {1}{2})=4$. Dari persamaan satu juga:
$P(x^2)=x^2.(x^2-1).Q(x^2)$....(2). Kemudian substitusikan persamaan (1) ke persamaan polinom pada soal, diperoleh:
$P(x^2)=x^{2019}.(x+1).x.(x-1).Q(x)$....(3).
Samakan persamaan (2) dan (3) diperoleh:
$x^{2018}.Q(x)=Q(x^2)$ dari persamaan terakhir ini jelas bahwa $Q(x)=A.x^{2018}$ dimana $A$ bilangan real. Selanjutnya, karena $Q(\frac {1}{2})=4$ maka diperoleh $A=2^{2020}$.
Jadi, $P(x)=2^{2020}.x^{2019}.(x-1)$.

Mungkin sekian dulu postingan hari ini, semoga bermanfaat,,





Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..? Pada pertemuan kali ini akan dijelaskan mengenai fungsi komposisi dan invers fungsi sebagai berik...

Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..?
Pada pertemuan kali ini akan dijelaskan mengenai fungsi komposisi dan invers fungsi sebagai berikut:

* Fungsi Komposisi *
----------------------
Fungsi komposisi itu sama halnya dengan komposisi fungsi. Misalkan $f(x)$ dan $g(x)$ adalah suatu fungsi, maka penulisan komposisi fungsi adalah:
$f(g(x))=(f o g)(x)=f(x) o g(x)$.
Komposisi suatu fungsi itu tidak bersifat komutatif kecuali dengan fungsi identitas dan invers fungsi itu sendiri, kita tahu fungsi identitas itu $I(x)=x$ dan invers fungsi $f$ itu dilambangkan dengan $f^{-1}$. Secara matematika bahwa suatu komposisi fungsi akan bersifat komutatif jika berbentuk:
$(f o I)(x)=(I o f)(x)=f(x)$
dan juga bentuk:
$(f o f^{-1})(x)=(f^{-1} o f)(x)=I(x)=x$.

Untuk mencari fungsi komposisi fungsi itu sangatlah mudah.
Sebagai contoh:
Jika $f(x)=2x-3$ dan $g(x)=-3x+5$, maka tentukan:
1. $(f o g)(x)$
2. $(g o f)(x)$

Penyelesaian:

1. Kita ganti variabel $x$ pada $f(x)$ dengan $g(x)$ atau $-3x+5$, sehingga diperoleh:
$(f o g)(x)=2.(-3x+5)-3=-6x+7$

2. Kita ganti variabel $x$ pada $g(x)$ dengan $f(x)$ atau $2x-3$, maka diperoleh:
$(g o f)(x)=-3.(2x-3)+5=-6x+14$.

* Invers Fungsi *
--------------
Untuk mencari invers suatu fungsi itu caranya adalah dengan mengeluarkan variabel $x$ secara aljabar.
Misalnya kita akan mencari invers fungsi $h(x)=8x+6$ maka notasi inversnya: $h^{-1}(x)$, untuk memudahkan penulisan maka $h(x)$ kita jadikan ke variabel lain misalnya $a$. Sehingga persamaan $h(x)=8x+6$ itu menjadi $a=8x+6$, maka diperoleh: $x=\frac {a-6}{8}$. Setelah kita mengeluarkan $x$, maka itulah inversnya dengan mengubah $x$ menjadi $h^{-1}(x)$ dan $a$ menjadi $x$, sehingga diperoleh:
$h^{-1}(x)=\frac {x-6}{8}$.

* Persamaan Komposisi Fungsi *
---------------------
Jika kita disajikan suatu persamaan
$(f o g)(x)=h(x)$ dan ingin mengeluarkan $f(x)$ dan juga $g(x)$, maka kita bisa sama-sama mengkomposisikan ruas kiri dan kanan sesuai kebutuhan.
Sebagai contoh, kita akan mengeluarkan $f(x)$ maka jika kita komposisikan $g^{-1}(x)$ di sebelah kanan pada ruas kiri maupun kanan diperoleh:
$(f o g o g^{-1})(x)=(h o g^{-1})(x)$ maka jelas diperoleh:
$f(x)=(h o g^{-1})(x)$.

* Sifat-sifat invers suatu komposisi fungsi *
$(f o g)^{-1}(x)=(g^{-1} o f^{-1})(x)$.

Mungkin sekian postingan kali ini, semoga bermanfaat...




Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar.. Dalam pertemuan kali ini akan dijelaskan mengenai Peluang. Menurut wikipedia, Peluang atau biasa...


Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..
Dalam pertemuan kali ini akan dijelaskan mengenai Peluang.
Menurut wikipedia, Peluang atau biasa disebut Probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tetapi juga keuangan, sains dan filsafat.

Konsep Peluang
Peluang bernilai 0 sampai dengan 1. Nilai 0 berarti kemustahilan, sedangkan nilai 1 berarti kepastian. Secara matematika arti peluang adalah banyaknya sampel dibagi dengan banyaknya populasi. Peluang juga bermakna sebagai proporsi yang juga dapat bernilai persen.

Rumus Peluang
Peluang dirumuskan sebagai:
$P(A)=\frac {n(A)}{n(S)}$
Dimana:
$P(A)$ adalah peluang suatu kejadian A.
$n(A)$ adalah banyak sampel suatu kejadian A, biasanya dikatakan dengan pengambilan unsur dari kejadian A.
$n(S)$ adalah banyak seluruh sampel yang diketahui atau disebut dengan semesta.

Jenis-jenis Peluang secara umum
-------------------------------
1. Peluang kejadian tunggal
$\quad$ Peluang kejadian tunggal itu ciri-cirinya tidak bermakna majemuk atas peluang yang ditanya.
Sebagai contoh:
peluang muncul mata prima pada pelemparan sebuah dadu, peluang muncul sisi gambar pada pelemparan koin, dan lain-lain.

2. Peluang kejadian majemuk
$\quad$ Peluang kejadian majemuk itu ciri-cirinya adalah bermakna majemuk atas peluang yang ditanya. Kata kata majemuk yang dipakai itu hanya "dan" serta "atau".
Sebagai contoh:
Peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola kuning pada pengambilan 3 bola sekaligus, Peluang munculnya mata dadu 5 atau 6, Peluang terambilnya bola merah dari kotak 1 dan kotak dua, dan sebagainya.

Rumus Peluang Kejadian Majemuk yg bermakna kata hubung "dan" simbol matematisnya "$\cap$" itu dikalikan, secara matematis: $P(A \cap B)=P(A).P(B)$.

Rumus Peluang Kejadian Majemuk yg bermakna kata hubung "atau" simbol matematisnya "$\cup$" itu dijumlahkan, secara matematis:
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

Contoh-contoh:

1. Dua buah dadu homogin dilempar satu kali secara bersamaan. Berapakah peluang munculnya kedua mata berjumlah 9?
Jawab:
Kita harus tau bahwa misalkan pasangan (3, 6) itu berbeda dengan (6, 3), karena bisajadi mata 3 pada dadu pertama dan mata 6 pada dadu kedua atau sebaliknya. Sehingga banyak pasangan yang berjumlah 9 ada sebanyak 4 yang berarti $n(A)=4$. Kita tahu $n(S)$ itu ada sebanyak 36 jika kita tabelkan 6 kolom dan 6 baris yang menghasilkan seluruh pasangannya ada sebanyak 36. Jadi peluang yang kita cari itu nilainya $\frac {4}{36} = \frac {1}{9}$.

2. Dalam sebuah kotak terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng kuning. Akan diambil 3 kelereng sekaligus. Peluang terambilnya 1 kelerang merah dan 2 kelereng kuning adalah ...
Jawab:
Kita tahu bahwa rumus kombinasi dalam hal pengambilan. Diperoleh
$n(S)=^8C_3=56$ dan $n(A)=^5C_1.^3C_2=15$.
Jadi peluangnya adalah $\frac {15}{56}$







Hai sahabat mathematic.my.id,, Pada pertemuan ini akan dijelaskan mengenai Pendiferensialan Implisit. Apakah teman-teman sudah mengetahuin...


Hai sahabat mathematic.my.id,,
Pada pertemuan ini akan dijelaskan mengenai Pendiferensialan Implisit. Apakah teman-teman sudah mengetahuinya?.
Dengan sedikit usaha, kebanyakan kita akan mampu melihat bahwa grafik dari
$y^3+7y=x^3$
Tampak seperti apa yg diperlihatkan dalam gambar berikut:
Pastilah titik (2, 1) terletak pada grafik, dan tampaknya terdapat sebuah garis singgung yg terumuskan dengan baik pada titik tersebut. Bagaimana kita mencari kemiringan garis singgung ini?. Mudah, kita dapat menjawab: hitung saja $\frac {dy}{dx}$ pada titik itu. Tetapi itulah kesukarannya, kita tidak tahu bagaimana mencari $\frac {dy}{dx}$ pada persamaan grafik itu.
Elemen baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan yg secara gamblang (explisit) tidak terselesaikan untuk $y$. Apakah mungkin untuk mencari $\frac {dy}{dx}$ dalam keadaan seperti ini?, Ya tentu saja mungkin, caranya diferensialkan kedua ruas persamaan
$y^3+7y=x^3$
Menjadi seperti berikut:
$3y^2.\frac {dy}{dx} + 7.\frac {dy}{dx} = 3x^2$
Sehingga diperoleh:
$\frac {dy}{dx}=\frac {3x^2}{3y^2+7}$.
Maka gradien garis singgungnya adalah:
$\frac {dy}{dx} (2, 1)=\frac {3.(2)^2}{3(1)^2+7}$.
Cara ini disebut dengan Pendiferensialan Implisit.
Koefisien $\frac {dy}{dx}$ hanya berlaku pada suku yg bervariabel $y$ dan sebaliknya. Kita akan mencari $\frac {dx}{dy}$ pada persamaan yg sama, maka akan menjadi:
$3y^2+ 7= 3x^2.\frac {dx}{dy}$
. Sehingga diperoleh:
$\frac {dx}{dy}=\frac {3y^2+7}{3x^2}$.
Lalu bagaimana dengan suku yg memiliki dua variabel $x$ dan $y$?. Tentu saja bisa, kita memakai aturan turunan berantai yg telah kita pelajari sebelumnya. Kita kelompokkan atas masing-masing variabel $x$ saja adalah fungsi pertama dan $y$ saja adalah fungsi kedua. Sebagai contoh untuk dua fungsi yg dihubungkan dengan operasi perkalian sebagai berikut:
Carilah $\frac {dy}{dx}$ dari persamaan $4x^2y-3y=x^3-1$.
Penyelesaian:
Metode 1: Kita dapat dengan mudah mengeluarkan $y$ dengan memfaktorkannya, diperoleh:
$y=\frac {x^3-1}{4x^2-3}$
dengan mudah kita peroleh:
$\frac {dy}{dx}=\frac {4x^4-9x^2+8x}{(4x^2-3)^2}$.
Metode 2: (Turunan Implisit) kita anggap $x^2$ adalah fungsi $u$ dan $y$ adalah fungsi $v$, dengan aturan rantai dan bentuk implisit maka menjadi:
$4x^2.\frac {dy}{dx}+y.8x-3.\frac {dy}{dx}=3x^2$.
sehingga diperoleh:
$\frac {dy}{dx}=\frac {3x^2-8xy}{4x^2-3}$.
Walaupun jawab ini tampak berbeda, namun hasilnya tetap sama jika kita substitusikan $y$ dengan bentuk dari persamaan pada soal yg diberikan.
Sahabat mathematic.my.id, itulah paparan materi tentang pendiferensialan atau turunan implisit. Terimakasih atas perhatiannya, semoga bermanfaat..