Pembuktian dengan Kontrapositif

Pada pembuktian dengan metode langsung kita telah diskusikan kecanggihan dari metode pem buktian langsung dengan teknik “maju-mundur”, namun demikian metode ini tidak terlepas dari kelemahan. Kesulitan dalam peng gunaan metode pembuktian langsung terutama terjadi bila hipotesis tidak memberikan informasi yang cukup untuk menjawab bagaimana memperlihatkan kesimpulan adalah benar. Sebagai contoh perhatikan proposisi berikut.
Baca Juga: Metode Pembuktian langsung

Proporsi 1.2.1:
Andaikan $n$ adalah bilangan bulat. Bila $n^2$ adalah genap, maka $n$ adalah genap.

Pada proposisi 1.2.1 di atas hipotesis adalah “$n^2$ adalah genap” dan kesimpulan adalah “$n$ adalah genap”.
- Kesimpulan dapat diperlihatkan bila ditemukan suatu bilangan bulat $t$ sehingga $n = 2t$.
- Tetapi hipotesis yakni informasi $n^2$ adalah genap atau $n^2 = 2l$ untuk suatu bilangan bulat $l$, tidak memberikan informasi yang cukup untuk memperoleh bilangan bulat $t$ yang diinginkan oleh kesimpulan. Yakni dalam hal ini hipotesis memberikan infor masi $n =\sqrt{2l}$, yang sulit digunakan untuk menyatakan terda pat bilangan bulat $t$ sehingga $n = 2t$.
Pada kondisi seperti ini bukti dengan kontrapositif akan mem bantu. Proses pembuktian kontrapositif didasarkan pada fakta bahwa suatu implikasi $P \to Q$ adalah ekivalen dengan kontrapositifnya $\sim Q \to \sim P$. Sehingga untuk memperlihatkan implikasi $P \to Q$ benar, cukup diperlihatkan bahwa kontrapositif $\sim Q \to \sim P$ adalah benar.
Kita dapat menggunakan teknik “maju-mundur” untuk memperli hatkan kontrapositif $\sim Q \to \sim P$ adalah benar.
Kita akan analisis proposisi di atas dengan metode pembuktian kontrapositif. Kontrapositif dari pernyataan “bila $n^2$ genap, maka $n$ genap” adalah pernyataan “bila $n$ tidak genap, maka $n^2$ tidak genap”. Yakni “bila $n$ ganjil, maka $n^2$ ganjil”. Jadi hipotesis dari kontrapositif adalah “$n$ ganjil” dan kesimpulan adalah “$n^2$ ganjil”.
- Pertanyaan yang diperoleh dari kesimpulan adalah bagaimana cara memperlihatkan suatu bilangan adalah ganjil? Bilangan bulat $b$ adalah ganjil bila terdapat bilangan bulat $l$ sehingga $b = 2l + 1$. Tentu saja informasi tentang $l$ akan diperoleh dari hipotesis.
- Karena $n$ ganjil, hipotesis menyatakan terdapat bilangan bulat $s$ sehingga $n = 2s + 1$. Hal ini berakibat $n^2 = (2s + 1)^2$ = $2(2s^2+ 2s)+ 1$. Sehingga nilai $l$ yang dibutuhkan pada kesimpulan adalah $l= 2s^2 + 2s$.
Berikut adalah bukti formal dari Proposisi 1.2.1. Pada bukti ini proses kita lakukan dengan menggunakan informasi yang ada pada hipotesis untuk untuk mendapatkan kesimpulan yang diinginkan.
Bukti Proposisi 1.2.1:
Kita buktikan pernyataan di atas dengan metode pembuktian kon- trapositif. Yakni kita perlihatkan “bila $n$ ganjil, maka $n^2$ adalah ganjil”. Karena $n$ ganjil, maka terdapat bilangan bulat $s$ sehingga $n = 2s + 1$. Akibatnya $n^2 = 2(2s^2 + 2s) + 1$. Ambil $l = 2s^2 + 2s$, maka terdapat bilangan bulat $l$ sehingga $n^2 = 2l+ 1$. Jadi $n^2$ adalah ganjil.

Demikianlah materi tentang pembuktian dengan kontrapositif. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.