Pembuktian dengan Kontradiksi

Bukti dengan dengan menggunakan kontradiksi didasarkan pada fakta bahwa pernyataan ”Jika $P$, maka $Q$” akan bernilai salah bila $P$ benar dan $Q$ salah. Pada bukti dengan kontradiksi kita asumsikan bahwa $P$ benar dan $Q$ salah, kemudian dengan menggunakan barisan langkah- langkah logis kita mencapai suatu kontradiksi. Kesulitan meng gunakan metode pembuktian dengan kontradiksi biasanya adalah kita tidak tahu kontradiksi dalam bentuk apa yang bisa kita capai. Kadang-kadang kita mendapatkan kontradiksi berupa pernyataan $P$ dan $\sim P$ terjadi secara bersamaan. Tetapi secara umum kontradiksi yang kita capai adalah suatu pernyataan dalam bentuk $R$ dan $\sim R$ sekaligus terjadi, seperti yang kita temukan pada contoh berikut ini.

Proposisi 1.3.1
Bila $n$ adalah bilangan bulat dan $n^3 + 5$ adalah ganjil, maka $n$ adalah genap.

Hipotesis dari Proposisi 1.3.1 adalah “$n$ bilangan bulat dan $n^3+5$ adalah ganjil, dan kesimpulan dari Proposisi 1.3.1 adalah “$n$ adalah genap”. Pada bukti dengan kontradiksi kita asumsikan:
* $n$ bilangan bulat dengan $n^3 + 5$ adalah ganjil.
* $n$ adalah tidak genap atau $n$ adalah ganjil.
Kemudian kedua informasi ini kita proses untuk mendapatkan suatu kontradiksi. Dalam hal ini kita belum mengetahui kontradiksi dalam bentuk apa.
Baca juga:
- Metode Pembuktian Langsung
- Pembuktian dengan kontrapositif

Bukti Proposisi 1.3.1

Kita buktikan dengan kontradiksi. Untuk itu asumsikan $n^3+5$ adalah ganjil dan $n$ adalah ganjil. Karena $n$ ganjil, maka terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $n = 2k + 1$. Hal ini berakibat $n^3 = (2k + 1)^3$ = $8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 = 2(k^3 + 6k + 3k) + 1$ adalah ganjil. Sehingga $n^3+5$ adalah genap. Kontradiksi dengan fakta bahwa $(n^3+5)$ adalah ganjil.

Demikianlah materi pembuktian dengan kontradiksi. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.