Sinus Sudut Ganda dan Contohnya

Rumus sudut ganda sinus diperoleh dari rumus jumlah sudut sinus. Perhatikan proses berikut:
sin (A + B) = sin A. cos B + sin B. cos A
Ambil nilai B = A, maka diperoleh:
sin (A + A) = sin A. cos A + sin A. cos A
sin 2A = 2. sin A. cos A
Kita tandai ini.

sin 2A = 2. sin A. cos A

Contoh-1:
Dengan menggunakan rumua sudut ganda, tentukan sin 60°.
Jawab:
sin 60° = sin(2.(30°))
= 2. sin 30°.cos 30°
= 2. $\displaystyle \frac{1}{2}$. $\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{3}$.
sin 60° = $\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}$.

Contoh-2:
Diketahui tan A = 5. Tentukan sin 2A.
Jawab:
tan A = $\displaystyle \frac{\text{sin A}}{\text{cos A}}$.
sin A = tan A. cos A sin A = 5. cos A.
ingat kembali identitas trigonometri bahwa:
1+ tan$^2$A = sec$^2$A = $\displaystyle \frac{1}{\text{cos}^2\text{A}}$.
1+ 5$^2$ = $\displaystyle \frac{1}{\text{cos}^2\text{A}}$.
cos$^2$A = $\displaystyle \frac{1}{26}$. Sehingga:
sin 2A = 2. sin A. cos A
sin 2A = 2. 5. cos A. cos A
sin 2A = 10. cos$^2$A
sin 2A = 10. $\displaystyle \frac{1}{26}=\frac{5}{13}$.

Contoh-3:
Diketahui sin 2A = 0,2. Tentukan sin$^2$A.
Jawab:
sin 2A = 2. sin A. cos A
kedua ruas kita kuadratkan, menjadi:
(0,2)$^2$ = 4. sin$^2$A. cos$^2$A
$\displaystyle \frac{1}{25}$ = 4. sin$^2$A. (1 $-$ sin$^2$A)
Misalkan sin$^2$A $=k$, maka: $$\frac{1}{100}=k-k^2$$ $$k^2-k+\frac{1}{100}=0$$ Gunakan rumus akar persamaan kuadrat $$k_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1-\frac{1}{25}}}{2}$$ $$k_{1,2}=\frac{1 \pm \frac{2}{5}\sqrt{6}}{2}$$ $$k_{1,2}=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{5}\sqrt{6}$$ $$k_1=\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\sqrt{6}$$ $$k_2=\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\sqrt{6}$$ Jadi ada dua nilai dari sin$^2$A yakni: $$\text{sin}^2\text{A}=\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\sqrt{6}$$ dan $$\text{sin}^2\text{A}=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\sqrt{6}$$
Demikianlah postingan mengenai rumus sinus sudut ganda. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.