Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum

$$ax^2+bx+c=0$$ dengan $a$, $b$, $c$ merupakan konstanta dan $a \ne 0$.

- Penyelesaiannya (nilai $x$ yang memenuhi persamaan di atas) disebut akar.
- $D=b^2-4ac$ disebut diskriminan.

Contoh:
Persamaan $\displaystyle 4x^2+p=-1$ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$. Jika $\displaystyle x_1=\frac{1}{2}$ maka $\displaystyle p \left (x_1^2+x_2^2 \right )=...$
Pembahasan:
Substitusikan $\displaystyle x_1=\frac{1}{2}$ ke $\displaystyle 4x^2+p=-1$, diperoleh $p=-2$.
Substitusikan $p=-2$ ke $\displaystyle 4x^2+p=-1$, diperoleh $\displaystyle x^2=\frac{1}{4}$ $\to$ $\displaystyle x_1=\frac{1}{2}$ dan $\displaystyle x_2=-\frac{1}{2}$.
Jadi, $\displaystyle p \left (x_1^2+x_2^2 \right )=-1$.

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Faktorisasi

$x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$
dengan $p+q=b$ dan $pq=c$

Melengkapi Kuadrat Sempurna

$x^2+bx+c=0$ akan kita peroleh $$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2}{4}-c$$

Rumus abc

$$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Rumus Akar-akar Persamaan Kuadrat

* $\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
* $\displaystyle x_1.x_2=\frac{c}{a}$
* $\displaystyle x_1-x_2=\frac{\sqrt{D}}{a}$

Bentuk Simetri Akar akar Persamaan Kuadrat

* $\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
* $\displaystyle x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)$
* $\displaystyle x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-2x_1x_2(x_1+x_2)$
* $\displaystyle x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)^3+2x_1x_2(x_1-x_2)$

Ragam Akar akar Persamaan Kuadrat

1. Real (nyata) apabila D $\ge$ 0;
- Kedua akarnya sama apabila D = 0.
- Kedua akarnya berbeda apabila D > 0.
2. Imajiner (khayal) apabila D kecil 0.

Hubungan Kedua Akar Persamaan Kuadrat

1. Kedua akarnya real positif ($x_1,~x_2>0$) maka $D \ge 0$.
2. Kedua akarnya real negatif ($x_1,~x_2>0$) maka $D \ge 0$.
3. Kedua akarnya berlawanan tanda maka $D>0$.
4. Akarnya berkebalikan $\displaystyle \left(x_1=\frac{1}{x_2} \right)$ maka $D>0$.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$$

Demikianlah postingan mengenai materi persamaan kuadrat lengkap. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.