Rumus Tangen Sudut Setengah

Rumus tangen sudut setengah adalah sebagai berikut:

$$\text{tan }\frac{1}{2}m=\frac{1-\text{cos }m}{\text{sin }m}$$

Baca juga:
- Rumus Cosinus Sudut Setengah.
- Rumus Sinus Sudut Setengah.

Contoh-1:
Dengan menggunakan rumus tangen sudut setengah, tentukan nilai $$\text{tan }\frac{1}{2}(60°)$$ Penyelesaian: $$\text{tan }\frac{1}{2}(60°)=\frac{1-\text{cos }60°}{\text{sin }60°}$$ $$\text{tan }30°=\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}$$ $$\text{tan }30°=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}$$ $$\text{tan }30°=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\text{tan }30°=\frac{1}{3}\sqrt{3}$$
Contoh-2:
Diketahui $\displaystyle \text{tan }\frac{1}{2}\alpha=2$. Tentukan nilai dari $\displaystyle \text{tan }\alpha$ yang terdefinisi.
Penyelesaian: $$\text{tan }\frac{1}{2}\alpha=\frac{1-\text{cos }\alpha}{\text{sin }\alpha}$$ $$2=\frac{1-\text{cos }\alpha}{\text{sin }\alpha}$$ Kuadratkan kedua ruas diperoleh: $$4=\frac{(1-\text{cos }\alpha)^2}{\text{sin}^2\alpha}$$ $$4=\frac{1-2\text{cos }\alpha+\text{cos}^2\alpha}{1-\text{cos}^2\alpha}$$ $$4-4.\text{cos}^2\alpha=1-2\text{cos }\alpha+\text{cos}^2\alpha$$ $$-5\text{ cos}^2\alpha+2\text{ cos }\alpha+3=0$$ ini adalah bentuk persamaan kuadrat. Misalkan $\displaystyle h=\text{cos }\alpha$, maka: $$5h^2-2h-3=0$$ $$h=\frac{2 \pm \sqrt{4-4.(5).(-3)}}{2.(5)}$$ $$h=\frac{2 \pm \sqrt{64}}{10}$$ $$h=\frac{2 \pm 8}{10}$$ Sehingga diperoleh:
$\displaystyle h=1$ dan $\displaystyle h=-\frac{3}{5}$. Maka:
$\displaystyle \text{cos }\alpha=1$ dan $\displaystyle \text{cos }\alpha=-\frac{3}{5}$. Perhatikan bahwa jika $\displaystyle \text{cos }\alpha=1$ maka ini tidak tepat karena $$\text{tan }\frac{1}{2}\alpha=\frac{1-\text{cos }\alpha}{\text{sin }\alpha}$$ $$2=\frac{1-1}{\text{sin }\alpha}$$ $$2=0~(\text{false})$$ Jadi kita pilih $\displaystyle \text{cos }\alpha=-\frac{3}{5}$. Sehingga: $$2=\frac{1-\left(-\frac{3}{5}\right)}{\text{sin }\alpha}$$ $$2=\frac{1+\frac{3}{5}}{\text{sin }\alpha}$$ $$\text{sin }\alpha=\frac{4}{5}$$ Jadi: $$\text{tan }\alpha=\frac{\text{sin }\alpha}{\text{cos }\alpha}$$ $$\text{tan }\alpha=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$$ $$\text{tan }\alpha=-\frac{4}{3}$$ Demikianlah postingan tentang rumus tangen sudut setengah. Sampai jumpa dan terima kasih.