Rumus Sinus Sudut Setengah

Rumus sinus sudut setengah diperoleh dari rumus sinus sudut ganda. Perhatikan langkah berikut: $$\text{sin }2x=2.\text{sin }x.\text{cos }x$$ Kita kuadratkan kedua ruas, maka diperoleh: $$\text{sin}^22x=4.\text{sin}^2x.\text{cos}^2x$$ $$\text{sin}^22x=4.\text{sin}^2x.(1-\text{sin}^2x)$$ $$\text{sin}^22x=4.\text{sin}^2x-4.\text{sin}^4x$$ Ambil $\displaystyle x=\frac{1}{2}k$, maka diperoleh: $$\text{sin}^2k=4.\text{sin}^2\frac{1}{2}k-4.\text{sin}^4\frac{1}{2}k$$ Kemudian ambil $\displaystyle \text{sin}^2\frac{1}{2}k=h$, maka diperoleh: $$\text{sin}^2k=4h-4h^2$$ $$4h^2-4h+\text{sin}^2k=0$$ ini merupakan bentuk persamaan kuadrat. Kita keluarkan nilai $h$. $$h=\frac{4 \pm \sqrt{16-4(4)(\text{sin}^2k)}}{8}$$ $$h=\frac{4 \pm 4\sqrt{1-\text{sin}^2k}}{8}$$ $$h=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}.\text{cos }k$$ Ganti $\displaystyle h=\text{sin}^2\frac{1}{2}k$ sehingga diperoleh: $$\text{sin}^2\frac{1}{2}k=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}.\text{cos }k$$ Kita tahu nilai sinus dan cosinus pada sudut istimewa dari tabel sudut istimewa. Misalkan $k$ = 60°, maka kita substitusikan ke rumus yang baru kita peroleh akan menghasilkan: $$\text{sin}^230°=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}.\text{cos }60°$$ $$\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}.\frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{4}$$ Jika kita pilih $+$ maka akan menghasilkan: $$\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$ $$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$ (ini kesimpulan yang salah).
Tetapi jika kita pilih negatif, maka diperoleh: $$\frac{1}{4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$$ $$\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$ (ini kesimpulan yang benar).
Jadi rumus yang sebenarnya adalah: $$\text{sin}^2\frac{1}{2}k=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\text{cos }k$$

Rumus sinus sudut setengah: $$\text{sin}\frac{1}{2}k=\pm \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\text{cos }k}$$ $+$ atau $-$ dipilih sesuai kuadran.

Contoh:
Dengan menggunakan rumus sinus sudut setengah, tentukan nilai:
sin $\displaystyle \frac{1}{2}$(480°).
Jawab:
$$=\pm \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\text{cos }480°}$$ Terlebih dahulu kita tentukan nilai cos 480°, dengan menggunakan rumus sudut berelasi, maka:
cos 480° = cos (360°+ 120°) = cos 120° = cos (180°$-$60°) = $-$cos 60° = $-\frac{1}{2}$. Sehingga,
cos 480° = $-\frac{1}{2}$. Jadi: $$\text{sin}\frac{1}{2}(480°)=\pm \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\left(-\frac{1}{2}\right)}$$ $$\text{sin}240°=\pm \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$$ $$\text{sin}240°=\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$$ $$\text{sin}240°=\pm \frac{1}{2}\sqrt{3}$$ Karena 240° terletak di kuadran 3, maka hasil sinus negatif ($-$). Jadi: $$\text{sin}240°=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$$
Demikianlah postingan mengenai rumus sinus sudut setengah. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.