Turunan Implisit

Turunan implisit digunakan untuk fungsi lebih dari satu variabel. Dalam hal ini kita hanya menurunkan fungsi dua variabel yakni fungsi $f(x,~y)$. Perhatikan contoh berikut:
Contoh-1:
Tentukan $y'$ dari fungsi $3x^2y+7x-6y=8$.
Jawab:
Perhatikan fungsi itu ada 3 suku yakni $3x^2y$, $7x$, $-6y$, dan 8. Fungsi yang memiliki 2 variabel yakni $3x^2y$ itu menjadi 2 suku fungsi turunan yakni:
$D_x(3x^2y)+y'.D_y(3x^2y)$ (karena yang dicari $y'$ maka ketika ada $D_y$ harus ada dikali $y'$. Dari persoalan di atas maka menghasilkan:
$D_x(3x^2y)+y'.D_y(3x^2y)$$+D_x(7x)-y'.D_y(6y)=0$ (perhatikan bahwa turunan konstanta hasilnya 0. Kemudian diperoleh: $$6xy+y'.3x^2+7-6.y'=0$$ $$y'.(3x^2-6)+6xy+7=0$$ $$y'.(3x^2-6)=-6xy-7$$ $$y'=\frac{-6xy-7}{3x^2-6}$$
Contoh-2:
Tentukan $y'$ dari $\displaystyle \frac{x^2y}{y^3+xy}=7$.
Jawab:
Karena fungsi berbentuk rasional, maka ingat kembali turunan fungsi rasional. Misalkan $u=x^2y$ dan $v=y^3+xy$, maka: $$u'=2xy+x^2.y'$$ dan $$v'=3y^2.y'+y+x.y'$$ Sehingga: $$\frac{u'.v-u.v'}{v^2}=0$$ yang akan menghasilkan: $$y'=\frac{-2xy(y^3+xy)+x^2y^2}{x^2.(y^3+xy)-3x^2y^3-x^3y}$$
Contoh-3:
Tentukan $y'$ dari bentuk $9x.(x+y)^8=10$.
Jawab:
Ingat turunan fungsi perkalian. Misalkan $u=9x$ dan $v=(x+y)^8$ maka $u'=9$ dan karena $v'$ adalah fungsi pangkat, maka ingat turunan fungsi perpangkatan. Maka diperoleh $$v'=8.(x+y)^7.(D_x(x)+y'.D_y(y))$$ $$v'=(8+8y').(x+y)^7$$ Jadi: $$u'.v+u.v'=0$$ $$9.(x+y)^8+9x.((8+8y').(x+y)^7)=0$$ $$(8+8y').(x+y)^7=\frac{-9.(x+y)^8}{9x}$$ $$8+8y'=\frac{-(x+y)^8}{x.(x+y)^7}$$ $$8y'=-8-\frac{(x+y)}{x}$$ $$y'=-1-\frac{(x+y)}{8x}$$
Demikianlah postingan tentang turunan implisit. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.