Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

-
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah gabungan dari beberapa fungsi yang dinotasikan dengan $o$, jika dua fungsi $f$ dan $g$ dikomposisikan maka kita tulis $(f~o~g)(x)$ dan $(g~o~f)(x)$, atau bisa ditulis dengan $f(g(x))$ dan $g(f(x))$, hasil dari $f~o~g$ dan $g~o~f$ bisa berbeda ataupun bisa juga sama. $f~o~g=g~o~f$ jika dan hanya jika $g=f^{-1}$ atau $f=g^{-1}$. Perhatikan baik-baik contoh berikut:
1. Diberikan $f(x)=3x-1$ dan $g(x)=4x$. Tentukan $(f~o~g)(x)$ dan $(g~o~f)(x)$.
Jawab:
$(f~o~g)(x)=3.g(x)-1$
$(f~o~g)(x)=3.(4x)-1$
$(f~o~g)(x)=12x-1$.
$(g~o~f)(x)=4.f(x)$
$(g~o~f)(x)=4.(3x-1)$
$(g~o~f)(x)=12x-4$
2. Dari contoh 1 di atas, tentukan nilai $f(g(-9))$.
Jawab:
$(f~o~g)(x)=12x-1$.
$f(g(-9))=12.(-9)-1=-109$
3. Diberikan $a(x)=x^2+3$, $b(x)=-7x+2$, dan $c(x)=-2x^2+5x$. Tentukan:
A. $a(b(c(x)))$
B. $(b~o~a~o~c)(x)$
Jawab:
A. Cari terlebih dulu $(b~o~c)(x)$.
$(b~o~c)(x)=-7.c(x)+2$
$(b~o~c)(x)=-7.(-2x^2+5x)+2$
$(b~o~c)(x)=14x^2-35x+2$. Kemudian baru bisa kita menentukan $a(b(c(x)))$.
$a(b(c(x)))=(b~o~c)^2+3$
$a(b(c(x)))=(14x^2-35x+2)^2+3$.
B. Cari terlebih dahulu $a(c(x))$, $a(c(x))=c^2+3$ $~$ $a(c(x))=(-2x^2+5x)^2+3$ kemudian dapat kita tentukan $b(a(c(x)))=-7.[a(c(x))]+2$
$b(a(c(x)))=-7.[(-2x^2+5x)^2+3]+2$
$b(a(c(x)))=-7.(-2x^2+5x)^2-21+2$
$b(a(c(x)))=-7.(-2x^2+5x)^2-19$.
4. Diketahui bahwa $f(3)=6$, $f(4)=7$, dan $g(6)=9$. Tentukan nilai $g(f(3))$.
Jawab:
$g(f(3))=g(6)=9$.

Fungsi Invers

Fungsi invers adalah fungsi balikan, invers dari fungsi $f$ dilambangkan dengan $f^{-1}$. Hasil dari $(f~o~f^{-1})(x)=I(x)=x$, dimana $I(x)$ adalah fungsi identitas.
Contoh:
1. Tentukan invers fungsi $\displaystyle h(x)=\frac{-x+7}{3x-8}$.
Jawab: $$h=\frac{-x+7}{3x-8}$$ $$3hx-8h=-x+7$$ $$3hx+x=7+8h$$ $$x.(3h+1)=8h+7$$ $$x=\frac{8h+7}{3h+1}$$ artinya kita cari $x(h)$ balikan dari $h(x)$.
Sehingga kita peroleh invers dari $h(x)$ adalah:
$\displaystyle h^{-1}(x)=\frac{8x+7}{3x+1}$.
2. Dari contoh 1 di atas, tentukan nilai dari $h(h^{-1}(271))$.
Jawab:
Karena komposisi suatu fungsi dengan inversnya menghasilkan $I(x)=x$, maka nilai dari $h(h^{-1}(271))=271$.

Soal Latihan:

Diketahui $f(x)=-4x^3+3x-6$ dan $\displaystyle g(x)=\frac{7x}{2x+1}$. Tentukan:
1. $(f~o~g)(x)$.
2. $(g~o~f)(x)$.
3. $(f~o~g)(-2)$.
4. $(f^{-1}o~g)(x)$.
5. $(g^{-1}~o~f^{-1}~o~g)(x)$.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Pecahan Istimewa

-
Pecahan Istimewa Pecahan istimewa merupakan pecahan yang dapat diubah ke dalam bentuk pecahan biasa dimana pembilang dan penyebutnya bulat. Sebagai contoh $0,125$ dapat diubah menjadi $\displaystyle \frac{1}{8}$. Bentuk-bentuk ini harus dihafal agar dapat menjawab soal dengan cepat. Berikut ini disajikan bentuk-bentuk pecahan istimewa (Pecahan Biasa, Pecahan Desimal, dan Persen): P. Biasa P. Desimal Persen $\displaystyle \frac{1}{2}$ 0,5 50% $\displaystyle \frac{1}{3}$ 0,333... 33,33% $\displaystyle \frac{1}{4}$ 0,25 25% $\displaystyle \frac{1}{5}$ 0,2 20% $\displaystyle \frac{1}{6}$ 0,1666... 16,67% $\displaystyle \frac{1}{8}$ 0,125 12,5% $\displaystyle \frac{1}{9}$ 0,111... 11,11% $\displaystyle \frac{1}{10}$ 0,1 10% $\displaystyle \frac{1}{11}$ 0,0909.. 9,09% $\displaystyle \frac{1}{16}$ 0,0625 6,25% $\displaystyle \frac{2}{3}$ 0,666... 66,67% $\disp
Read more »

Bilangan Basis (Pengertian dan contohnya)

-
Bilangan Basis (Pengertian dan contohnya) Pengertian Bilangan Basis Bilangan basis adalah bilangan yang memiliki indeks basis (2 sampai dengan 36). Bilangan basis hanya terbatas sampai 36 karena jumlah angka dan huruf, yakni 0 sampai 9 (banyaknya 10) dan A sampai Z (banyaknya 26) sehingga totalnya ada 10+26=36. Bilangan basis merupakan bilangan yang tersusun dari angka dan huruf yang lebih kecil dari indeks basis. Panjang susunan angka dan huruf suatu bilangan basis tidak dibatasi. Nilai huruf A sampai Z dalam bilangan basis adalah 10 sampai 25. Contoh Bilangan Basis Berikut ini akan diberikan contoh bilangan basis. bilangan basis 2 (bilangan biner) Bilangan basis 2 (biner) merupakan bilangan yang tersusun dari angka 0 dan 1 (lebih kecil dari 2). Contohnya: (00011)$_2$ (0000)$_2$ (111)$_2$ (100010)$_2$ (0101000111)$_2$ (11101000111)$_2$ dan sebagainya. bilangan basis 3 Bilangan basis 3 merupakan bilangan yang tersusun atas 0, 1, 2 (lebi
Read more »

Operasi Fungsi (Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian)

-
Operasi Fungsi (Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian) Jika $f$ suatu fungsi dengan daerah asal $D_f$ dan $g$ suatu fungsi dengan daerah asal $D_g$, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut: 1. Jumlah $f$ dan $g$ ditulis $f+g$ didefinisikan sebagai $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ dengan daerah asal $D_{f+g}=D_f \cap D_g$. 2. Selisih $f$ dan $g$ ditulis $f-g$ didefinisikan sebagai $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ dengan daerah asal $D_{f-g}=D_f \cap D_g$. 3. Perkalian $f$ dan $g$ ditulis $f.g$ didefinisikan sebagai $(f.g)(x)=f(x).g(x)$ dengan daerah asal $D_{f.g}=D_f \cap D_g$. 4. Pembagian $f$ dan $g$ ditulis $\displaystyle \frac{f}{g}$ didefinisikan sebagai $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ dengan daerah asal $\displaystyle D_{\frac{f}{g}}=D_f \cap D_g-$ {$x|g(x) \ne 0$} Contoh: Diketahui fungsi $f(x)=x+3$ dan $g(x)=x^2-9$. Tentukanlah fungsi-fungsi berikut dan tentukan p
Read more »