Rumus Integral Volume Benda Putar

Diberikan sebuah kurva $y=f(x)$, volume benda putar yang terbentuk dari putaran kurva $y=f(x)$ terhadap sumbu $x$ yang dibatasi oleh $b \ge x \ge a$ adalah: $$V=\pi.\int \limits_{a}^{b} [f(x)]^2~dx$$

---

---

Diberikan sebuah kurva $x=f(y)$, volume benda putar yang terbentuk dari putaran kurva $x=f(y)$ terhadap sumbu $y$ yang dibatasi oleh $b \ge y \ge a$ adalah: $$V=\pi.\int \limits_{a}^{b} [f(y)]^2~dy$$

Contoh-1:
Tentukan volume tabung yang dibentuk dari putaran garis $y=5$ yang diputar terhadap sumbu-$x$ dan dibatasi oleh $x=1$ sampai $x=8$.
Solusi:
$\displaystyle V=\pi.\int \limits_{1}^{8} (5)^2~dx$
$\displaystyle V=\pi.[25x]_{1}^{8}$
$\displaystyle V=\pi.[25.(8)-25.(1)]$
$\displaystyle V=\pi.[200-25]$
$\displaystyle V=175 \pi$

Contoh-2:
Tentukan volume benda putar yang terbentuk dari perputaran kurva $x=3y^2+4$ terhadap sumbu-$y$ yang dibatasi oleh $y=1$ sampai $y=6$.
Solusi:

$\displaystyle V= \pi. \int \limits_{1}^{6} (3y^2+4)^2~dy$
$\displaystyle V=\pi. \int \limits_{1}^{6}(9y^4+24y^2+16)~dy$
$\displaystyle V=\pi. [\frac{9}{5}y^5+8y^3+16y]_{1}^{6}$
$\displaystyle V=\pi. ([\frac{9}{5}(6)^5+8(6)^3+16(6)]-[\frac{9}{5}(1)^5+8(1)^3+16(1)])$
$\displaystyle V=\pi. (15820,8-25,8)$
$\displaystyle V=15795 \pi$

Jika ada dua kurva dimana terdapat kurva paling atas $y_2$ dan paling bawah $y_1$ maka volume benda putar antara kurva atas dan bawah terhadap sumbu-$x$ yang dibatasi oleh $x=a$ sampai $x=b$ adalah: $$V=\pi. \int \limits_{a}^{b} (y_2^2-y_1^2)~dx$$ Bentuk rumus ini berlaku juga untuk kurva $x=f(y)$, hanya mengganti menjadi $dy$.