Soal dan Pembahasan SBMPTN Bidang Matematika

1. Diketahui $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real positif. Jika $\displaystyle \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt[4]{ab^3}}=ab$, maka nilai $c$ adalah ...
A. $\displaystyle (ab)^{\frac{5}{2}}$ $\quad$ D. $\displaystyle (ab)^{-\frac{3}{4}}$
B. $\displaystyle (ab)^{\frac{5}{4}}$ $\quad$ E. $\displaystyle (ab)^{-\frac{3}{2}}$
C. $\displaystyle (ab)^{\frac{1}{4}}$
Solusi:

Jawaban A. $$ab=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt[4]{ab^3}}$$ $$b^{\frac{1}{2}}.c^{\frac{1}{2}}=a.b.a^{\frac{1}{4}}.b^{\frac{3}{4}}$$ $$c^{\frac{1}{2}}=(ab)^{\frac{5}{4}}$$ $$c=(ab)^{\frac{5}{2}}$$

2. Jika perbandingan suku pertama dan suku ke tiga dari suatu barisan aritmetika adalah 1 : 3, maka perbandingan suku ke dua dan suku ke empat dari barisan tersebut adalah ...
A. 1 : 4 $\quad$ D. 2 : 3
B. 1 : 3 $\quad$ E. 2 : 5
C. 1 : 2
Solusi:

Jawaban C. $$\frac{U_1}{U_3}=\frac{a}{a+2b}=\frac{1}{3}$$ $$a=b$$ sehingga diperoleh: $$\frac{U_2}{U_4}=\frac{a+b}{a+3b}$$ $$\frac{U_2}{U_4}=\frac{b+b}{b+3b}$$ $$\frac{U_2}{U_4}=\frac{2b}{4b}=\frac{1}{2}$$

3. Jika $xy=40$ dan log $x$ $-$ log $y$ $=1$, maka $x-y=...$
A. 18 $\quad$ D. 24
B. 20 $\quad$ E. 25
C. 22
Solusi:

Jawaban A.
$xy=40$
log $\displaystyle \frac{x}{y}=1$ maka $\displaystyle \frac{x}{y}=10$ diperoleh $x=10y$.
$(10y).y=40$
$y^2=4$
$y=2$ maka $x=20$. Jadi, $x-y=18$

4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle \frac{2x}{1-x} < 3$ adalah ...
A. {$\displaystyle x \in R | x < \frac{3}{5}$}
B. {$\displaystyle x \in R | x < \frac{5}{3}$}
C. {$\displaystyle x \in R | x > \frac{3}{5}$}
D. {$\displaystyle x \in R | \frac{3}{5}< x < 1$}
E. {$\displaystyle x \in R | x < \frac{3}{5}$ atau $x>1$}
Solusi:

Jawaban E. $$\frac{2x}{1-x} < 3$$ $$\frac{2x}{1-x}-3< 0$$ $$\frac{2x-3.(1-x)}{1-x}< 0$$ $$\frac{5x-3}{1-x} < 0$$ $\displaystyle x < \frac{3}{5}$ atau $x>1$.

5. Diketahui suatu fungsi bersifat $f(-x)=-f(x)$ untuk setiap bilangan real $x$. Jika $f(3)=-5$ dan $f(-5)=1$, maka $f(f(-3))=...$
A. $-5$ $\quad$ D. 1
B. $-2$ $\quad$ E. 2
C. $-1$
Solusi:

Jawaban C. $$f(-x)=-f(x)$$ $f(3)=-5$ maka $f(-3)=5$.
$f(-5)=1$ maka $f(5)=-1$.
Jadi, $f(f(-3))=f(5)=-1$.

6. Diketahui sistem persamaan $$\begin {cases} \frac{2x-1}{3}+\frac{3y+2}{5}=4 \\ \frac{2x-y}{3}+\frac{y+3}{4}=4 \end {cases}$$ Nilai $x+5y$ adalah ...
A. 8 $\quad$ D. 11
B. 9 $\quad$ E. 12
C. 10
Solusi:

Jawaban C. $$\frac{2x-1}{3}+\frac{3y+2}{5}=\frac{2x-y}{3}+\frac{y+3}{4}$$ $$\frac{y-1}{3}+\frac{3y+2}{5}=\frac{y+3}{4}$$ $20.(y-1)+12.(3y+2)=$ $15.(y+3)$
$41y=41$
$y=1$ maka dengan cara substitusi diperoleh $x=5$.
Jadi, $x+5y=10$.

7. Empat orang siswa akan mengikuti suatu perlombaan karya inovatif. Untuk itu diperlukan biaya Rp900.000. Karena masing-masing memiliki kondisi keuangan yang berbeda. Besar kontribusi masing-masing siswa tidak sama. Siswa A memberikan kontribusi setengah dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa B memberikan kontribusi sepertiga dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Siswa C memberikan kontribusi seperempat dari jumlah kontribusi tiga siswa lainnya. Besar kontribusi siswa D adalah Rp ....
A. 150.000 $\quad$ D. 225.000
B. 180.000 $\quad$ E. 330.000
C. 195.000
Solusi:

Jawaban C.
T=A+B+C+D=Rp900.000
A=$\displaystyle \frac{1}{2}$(T$-$A)=$\displaystyle \frac{1}{3}$T
B=$\displaystyle \frac{1}{3}$(T$-$B)=$\displaystyle \frac{1}{4}$T
C=$\displaystyle \frac{1}{4}$(T$-$C)=$\displaystyle \frac{1}{5}$T
D=T$-$(A+B+C+D)
D=T$-$$\displaystyle \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)$T
D=$\displaystyle \frac{13}{60}$T
D=$\displaystyle \frac{13}{60}$(Rp900.000)=Rp195.000

8. Jika $\displaystyle f(x-2)=\frac{1}{2+5x}$ maka $f^{-1}(x)=...$
A. $\displaystyle \frac{1+12x}{5x}$ $\quad$ D. $\displaystyle \frac{1+2x}{5x}$
B. $\displaystyle \frac{1-12x}{5x}$ $\quad$ E. $\displaystyle \frac{1}{12+5x}$
C. $\displaystyle \frac{1-2x}{5x}$
Solusi:

Jawaban B.
ingat bahwa: $f$ o $g$ = $h$ maka $f$ = $h$ o $g^{-1}$. Maka kita cari terlebih dahulu invers dari $(x-2)$. $$y=x-2$$ $$x=y+2$$ sehingga invers dari $(x-2)$ adalah $(x+2)$ ($y$ menjadi $x$).
Jadi: $$f(x)=\frac{1}{2+5.(x+2)}$$ $$f(x)=\frac{1}{5x+12}$$ $$x=\frac{1}{5y+12}$$ $$y=\frac{1-12x}{5x}$$ $$f^{-1}(x)=\frac{1-12x}{5x}$$

9. Jika A = $\displaystyle \begin{bmatrix}1&a\\a&2 \end{bmatrix}$ merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua nilai yang mungkin sehingga det A$^{-1}$ = det A$^3$ adalah ...
A. 0 $\quad$ D. 3
B. 1 $\quad$ E. 4
C. 2
Solusi:

Jawaban D.
det A = 2$-a^2$
det A$^{-1}$ = det A$^3$
$\displaystyle \frac{1}{\text{(det A)}}$ = (det A)$^3$
(det A)$^4$ = 1
det A = $\pm$ 1.
Sehingga diperoleh dua persamaan: $$1=2-a^2$$ dan $$-1=2-a^2$$ maka akan diperoleh empat akar yakni: 1, $-$1, $\sqrt{3}$, dan $-\sqrt{3}$. Jadi, hasil kali semua akarnya adalah: (1).($-$1).($\sqrt{3}$).($-\sqrt{3}$) = 3.

10. Jika akar-akar $x^2-ax-b=0$ saling berkebalikan dan salah satu akar tersebut merupakan bilangan bulat positif, maka nilai terkecil yang mungkin untuk $a+b$ adalah ...
A. $-2$ $\quad$ D. 1
B. $-1$ $\quad$ E. 2
C. 0
Solusi:

Jawaban D.
Misalkan akar-akar $x^2-ax-b=0$ adalah $m$ dan $n$ maka: $$m=\frac{1}{n}$$ $$m.n=1$$ ingat rumus hasil kali akar, maka diperoleh: $$m.n=-b$$ sehingga: $$b=-1$$ Karena akarnya bulat positif maka $D \ge 0$. $$a^2-4.(1).(-b) \ge 0$$ $$a^2+4b \ge 0$$ $$a^2-4 \ge 0$$ $$(a+2).(a-2) \ge 0$$ ingat penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, maka: $$a \ge 2$$ Karena yang ditanya nilai terkecil maka $a=2$.
Jadi, $a+b=2-1=1$.

11. Jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^2+4x+5$ maka garis $g$ memotong sumbu-$y$ di titik ...
A. (0, $-4$) $\quad$ D. (0, 1)
B. (0, $-1$) $\quad$ E. (0, 4)
C. (0, 0)
Solusi:

Jawaban E.
Garis $g$ || garis $y=2x+7$.
$m_g=2$
menyinggung $y=x^2+4x+5$
$y'=m_g$
$2x+4=2$
$x=-1$
Garis $g$ dengan $m_g=2$ melewati titik $(-1,~2)$, maka diperoleh:
$y-2=2(x+1)$
$y=2x+4$
menyinggung sumbu-$y$ pada (0, 4).

12. Nilai semua tes matematika dinyatakan dengan bilangan bulat dari 0 sampai dengan 10. Median terbesar yang mungkin bagi siswa yang memiliki rata-rata nilai 5 dari enam kali tes adalah ....
A. 3 $\quad$ D. 7
B. 4,5 $\quad$ E. 7,5
C. 5
Solusi:

Jawaban D.
Misal $U_1+U_2=0$ dan $U_3+U_4+U_5+U_6=30$.
Kondisi yang mungkin:
$U_3+U_4=14$
$U_5+U_6=16$, maka:
Median = $\displaystyle \frac{U_3+U_4}{2}=7$.