Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. $a+b>c$ $\iff$ $a+b-c>0$.
2. $a>b$ $\iff$ $a \pm c > b \pm c$.
3. $a>b$ dan $c>0$ $\iff$ $a.c>b.c$ dan $\displaystyle \frac{a}{c}>\frac{b}{c}$.
4. $a>b$ dan $0>c$ $\iff$ $bc>ac$ dan $\displaystyle \frac{a}{c}>\frac{b}{c}$.
5. Dipangkatkan:
* $a>b>0$ $\to$ $a^2>b^2$.
* $0>b>a$ $\to$ $a^2>b^2$.
6. Penjumlahan dua pertidaksamaan:
$a>b$
$c>d$
~~~~~~~~ $+$
$a+c>b+d$

$a \le b$
$c \le d$
~~~~~~~~ $+$
$a+c \le b+d$

$b \ge a$
$d >c$
~~~~~~~~ $+$
$b+d>a+c$.
7. Perkalian dua pertidaksamaan:
$a>b>0$
$c>d>0$
~~~~~~ x
$ac>bd>0$

$a \le b \le 0$
$c \le d \le 0$
~~~~~~~~~~ x
$ac \ge bd \ge 0$

$a>b>0$
$0>d>c$
~~~~~~~ x
$0>bd>ac$

Contoh-1:
Jika a, b, c, dan d bilangan real dengan a > b dan c > d, berlakulah:
(1) ac > bd
(2) a + c > b + d
(3) ad > bc
(4) ac + bd > ad + bc
Pernyataan yang benar adalah ...
Pembahasan:
(2) benar berdasarkan sifat no.6
(4) a > b $\to$ a$-$b > 0
c > d $\to$ c$-$d > 0
~~~~~~~~~~~~~~~ x
(a$-$b)(c$-$d) > 0
ac$-$ad$-$bc + bd > 0 $\iff$ ac + bd > ad + bc

Contoh-2:
Buktikan bahwa jika a < x < b dan a < y < b maka
a $-$ b < x $-$ y < b $-$ a.
Pembahasan:
a < x < b
a < y < b (kalikan dengan $-$1)
Sehingga
a < x < b
$-$b < $-$y < $-$a
~~~~~~~~~~~~ +
a $-$ b < x $-$ y < b $-$ a.

Demikianlah postingan mengenai sifat-sifat pertidaksamaan. Sampai jumpa dan terima kasih.