Perangkai Logika (Negasi, Konjungsi, Diajungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)
Ada lima jenis perangkai logika yang dapat dipakai untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan menjadi pernyataan majemuk, yaitu: negasi (negation), konjungsi (conjunction), disjungsi (disjunction), implikasi (implication), dan biimplikasi (biimplication). Tabel 1.1. menyajikan jenis, simbol dan bentuk dari lima perangkai logika.
Prioritas dari perangkai-perangkai logika disajikan dalam Tabel 1.2. Perangkai logika dengan prioritas lebih tinggi harus diselesaikan lebih dahulu.
| Perangkai | Prioritas |
|---|---|
| Negasi | 5 |
| Konjungsi | 4 |
| Disjungsi | 3 |
| Implikasi | 2 |
| Biimplikasi | 1 |
Untuk mereduksi jumlah tanda (simbol) dan bentuk digunakan perjanjian "Tanda kurung dapat dihilangkan apabila pernyataan dapat dikonstruksi dengan prioritas perangkai".
Negasi
Misalkan $p$ sebuah pernyataan. Negasi (ingkaran) dari $p$ adalah pernyataan tidak p, yang dilambangkan dengan $\neg p$. Jadi, jika $p$ bernilai benar, maka $\neg p$ bernilai salah, dan jika $p$ bernilai salah, maka $\neg p$ bernilai benar. Tabel kebenaran $\neg p$ relatif terhadap $p$ disajikan dalam Tabel 1.3.
| $p$ | $\neg p$ |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
(a) $p$ : $2+3>5$.
(b) $q$ : $5-2=3$.
(c) $r$ : Hari ini hujan.
Penyelesaian:
(a) $\neg p$ : $2+3 \le 5$.
(b) $\neg q$ : $5-2 \ne 3$.
(c) $\neg r$ : Hari ini tidak hujan.
Konjungsi
Misalkan $p$ dan $q$ adalah pernyataan. Konjungsi dari $p$ dan $q$ adalah pernyataan majemuk “p dan q”, yang dilambangkan dengan $p \wedge q$. Pernyataan majemuk $p \wedge q$ bernilai benar jika $p$ dan $q$ keduanya benar. Pernyataan majemuk bernilai salah jika salah satu $p$ atau $q$ salah, atau $p$ dan $q$ keduanya salah. Tabel kebenaran $p \wedge q$ disajikan dalam Tabel 1.4.
| $p$ | $q$ | $p \wedge q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
Bentuklah konjungsi dari $p$ dan $q$.
(a) $p$: $2+3>5$;
$q$: $5-2=3$.
(b) $p$: $-3>-7$;
$q$: $3 \le 5$.
(c) $p$: 2 adalah bilangan prima;
$q$: $4>2$.
Penyelesaian:
(a) $p \wedge q$ (F)
(b) $p \wedge q$ (T)
(c) $p \wedge q$ (T)
Disjungsi
Disjungsi dari pernyataan-pernyataan p dan q adalah pernyataan majemuk "p atau q", yang dilambangkan dengan $p \vee q$.
Pernyataan majemuk $p \vee q$ bernilai benar jika salah satu atau kedua-duanya benar. Dalam praktek, kadang-kadang ditulis "dan/atau" dalam arti inklusif. Tabel kebenaran $p \vee q$ disajikan dalam Tabel 1.5.
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Bentuklah disjungsi dari $p$ dan $q$.
(a) $p$: $2+3 \ne 5$
$q$: $3>5$.
(b) $p$: 2 adalah bilangan prima,
$q$: $\sqrt{2}$ adalah bilangan rasional.
Penyelesaian:
(a) $p \vee q$ (F)
(b) $p \vee q$ (T)
Implikasi
Misalkan $p$ dan $q$ adalah pernyataan. Pernyataan majemuk "jika $p$, maka $q$", yang dilambangkan dengan $p \to q$ disebut pernyataan bersyarat atau implikasi. Pernyataan $p$ disebut hipotesis atau anteseden (antecedent) dan $q$ disebut konklusi atau konsekuen (consequent). Pernyataan majemuk $p \to q$ bernilai salah jika $p$ benar dan $q$ salah. Dalam kemungkinan lainnya, $p \to q$ bernilai benar. Tabel kebenaran $p \to q$ disajikan dalam Tabel 1.6.
| $p$ | $q$ | $p \to q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Tuliskan implikasi dari $p$ dan $q$.
(a) $p$: Saya lapar
$q$: Saya akan makan
(b) $p$: 2 adalah bilangan prima
$q$: $4>2$.
Penyelesaian:
(a) Jika saya lapar, maka saya akan makan.
(b) 2 adalah bilangan prima, maka $4>2$.
Dalam matematika (praktek), pernyataan-pernyataan berikut merupakan bentuk yang ekuivalen, artinya jika salah satu benar maka semua yang lain juga benar dan jika salah satu salah, semua yang lain juga salah.
(a) Jika $p$ ,maka $q$.
(b) $p$ mengimplikasi $q$.
(c) Jika $p$, $q$.
(d) $p$ hanya jika $q$.
(e) $q$ jika $p$.
(f) $p$ adalah syarat cukup untuk $q$.
(g) $q$ adalah syarat perlu untuk $p$.
Biimplikasi
Misalkan $p$ dan $q$ adalah pernyataan. Pernyataan majemuk "$p$ jika dan hanya jika $q$", yang dilambangkan dengan $p \iff q$ disebut biimplikasi. Tabel kebenaran $p \iff q$ disajikan dalam Tabel 1.7. Pernyataan majemuk $p \iff q$ bernilai benar jika $p$ dan $q$ keduanya benar atau keduanya salah. Biimplikasi $p \iff q$ juga dinyatakan sebagai $p$ adalah syarat perlu dan cukup untuk $q$.
| $p$ | $q$ | $p \iff q$ |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
Apakah biimplikasi berikut benar?
$4>3$ jika dan hanya jika $4-3>0$.
Penyelesaian:
Misalkan $p$ adalah pernyataaan $4>3$ dan $q$ adalah pernyataan $4-3>0$. Karena $p$ dan $q$ keduanya bernilai benar, maka disimpulkan bahwa $p \iff q$ bernilai benar.
Negasi dari Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi
1. $\neg (p \wedge q) \equiv (\neg p \vee \neg q)$.2. $\neg (p \vee q) \equiv (\neg p \wedge \neg q)$.
3. $\neg (p \to q) \equiv (p \wedge \neg q)$.
4. $\neg (p \iff q) \equiv$ $\neg (p \to q) \vee \neg (q \to p)$.
Demikianlah postingan tentang perangkai logika. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.
Komentar
Posting Komentar