Mencari Panjang Kurva dengan Integral

Suatu kurva $y=f(x)$ yang dibatasi oleh sumbu $x$ dari $x=a$ sampai $x=b$ dapat dicari panjang kurvanya dengan rumus:

$$\int \limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}~dx$$ dengan $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ adalah turunan pertama $y=f(x)$.

Contoh-1:
Suatu garis $\displaystyle y=\frac{b}{a}x$ dengan $a$ dan $b$ bilangan real positif, dibatasi pada interval $x=0$ sampai $x=a$. Buktikan dengan integral bahwa panjang garis itu adalah $\sqrt{a^2+b^2}$.
Penyelesaian:
Misalkan panjang garis itu $p$. Kita cari $\displaystyle y'=\frac{b}{a}$ maka kita peroleh: $$p=\int \limits_{0}^{a} \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}~dx$$ $$p=\frac{x}{a}\sqrt{a^2+b^2}_{[0,~a]}$$ $$p=\frac{a}{a}\sqrt{a^2+b^2}-0$$ $$p=\sqrt{a^2+b^2}$$
Contoh-2:
Tentukan panjang kurva parabola $y=x^2$ dari $x=0$ sampai $x=3$.
Penyelesaian:
Misalkan panjang kurva parabola itu $p$. Kita tahu bahwa $y'=2x$, kita cari dulu hasil integral tak tentunya, maka diperoleh: $$p(x)=\int \sqrt{1+4x^2}~dx$$ dengan menggunakan aplikasi matematika seperti mathlab ataupun maple maka akan kita peroleh hasilnya: $$P(x)=\frac{x}{2}\sqrt{1+4x^2}+\frac{1}{4}.\text{ln}|2x+\sqrt{1+4x^2}|+C$$ Sehingga $P(0)=0$ dan $P(3)=9,75$. Jadi panjang kurva parabola $y=x^2$ yang dibatasi $x=0$ sampai $x=3$ adalah $P(3)-P(0)$ = 9,75.