Luas Bangun Datar Elips

Sebuah bangun datar elips dengan panjang sumbu minor $m$ dan sumbu mayor $n$, maka luasnya adalah:
$L=\frac{1}{4}\pi mn$

Kita akan membuktikan rumus di atas dengan integral, karena bangun datar elips hanya bisa di gambarkan dengan persamaan: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ Kita menggunakan persamaan pada koordinat kartesius dengan elips bertitik pusat di (0, 0) yang memiliki sumbu minor $m=2a$ dan sumbu mayor $n=2b$, sehingga luas (L) bangun datar elips dirimuskan sebagai berikut: $$L=4.\int \limits_{0}^{a} b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}~dx$$ Mengapa dikali 4?, karena kita mengambil daerah positif pada interval $x=[0,~a]$ yang akan kita ubah ke dalam bentuk integral trigonometri, yakni dengan mengambil $\displaystyle \frac{x}{a}=\text{sin }k$ maka pada interval $x=[0,~a]$ untuk $x=0$ diperoleh $\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{0}{a}=0=\text{sin }k$, atau $k=0$ dan untuk $x=a$ maka diperoleh $\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{a}{a}=1=\text{sin }k$ atau $\displaystyle k=\frac{\pi}{2}$. Dengan kata lain kita mengubah bentuk dari interval koordinat kartesius ke koordinat kutub, yakni dari bentuk $[0,~a]$ menjadi $\displaystyle [0,~\frac{\pi}{2}]$. Dari $\displaystyle \frac{x}{a}=\text{sin }k$ kita peroleh $dx=a \text{ cos }k~dk$ sehingga kita peroleh: $$L=4ab.\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \text{cos}^2k~dk$$ Kita tinggal mencari $\displaystyle \int \text{cos}^2k~dk$ lihat prosesnya di sini (integral cosinus kuadrat).
Jadi, $$L=4ab.\left[\frac{1}{2}k+\frac{1}{4}\text{ sin }2k\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ $$L=4ab.\frac{\pi}{4}$$ $$L=\pi ab$$ karena $m=2a$ dan $n=2b$ maka $\displaystyle a=\frac{m}{2}$ dan $\displaystyle b=\frac{n}{2}$. Jadi, $$L=\frac{1}{4}\pi mn$$ (terbukti).

Demikianlah postingan tentang luas bangun datar elips. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.