Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Komposisi Fungsi

Suatu komposisi fungsi dinotasikan dengan $f(g(x))$
atau $(f$ o $g)(x)$, yang berarti bahwa fungsi $g(x)$ masuk ke dalam fungsi $f(x)$ yakni dengan menukar variabel $x$ dengan $g(x)$. Notasi o atau $o$ dibaca "operasi".
Contoh-1:
Diberikan fungsi $f(x)=3x+5$ dan $g(x)=-2x+1$.
Tentukan $(f$ o $g)(x)$.
Pembahasan:
Kita tukar variabel $x$ pada $f(x)$ dengan $(-2x+1)$. Jadi: $$f(g(x))=3.(-2x+1)+5$$ $$=-6x+3+5=-6x+8$$ Jadi $f(g(x))=-6x+8$.

Contoh-2:
Diberikan fungsi $a(k)=-k^2+1$, $c(k)=6k-5$, dan $d(k)=k-8$.
Tentukan $(a$ o $c$ o $d)(x)$.
Pembahasan:
Awalnya $d(k)$ masuk ke $c(k)$ kemudian hasilnya masukkan ke $a(k)$. $$c(d(k))=6.(k-8)-5=6k-53$$ Kemudian $$a(c(d(k)))=-(6k-53)^2+1$$
Operasi komposisi fungsi tidak memiliki sifat komutatif.

Invers Fungsi

Invers fungsi $f(x)$ dinotasikan dengan $f^{-1}(x)$. Cara menginverskan suatu fungsi yaitu dengan mengeluarkan variabel $x$ setelah itu ganti $x$ dengan $f^{-1}(x)$ dan $f(x)$ dengan $x$. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:
Contoh-1:
Tentukan invers fungsi $f(x)=10x+9$.
Pembahasan:
Untuk memudahkan penulisan, ganti $f(x)$ dengan huruf $f$ dan kita keluarkan $x$ maka diperoleh: $$x=\frac{f-9}{10}$$ Kemudian ganti $x$ dengan $f^{-1}(x)$ dan $f$ dengan $x$. Jadi: $$f^{-1}(x)=\frac{x-9}{10}$$
Contoh-2:
Tentukan invers fungsi $\displaystyle h(k)=\frac{-2k+5}{6k-1}$.
Pembahasan:
Ganti $h(k)$ dengan $h$, maka: $$h.(6k-1)=-2k+5$$ $$6hk+2k=h+5$$ $$k.(6h+2)=h+5$$ $$k=\frac{h+5}{6h+2}$$ $$h^{-1}(k)=\frac{k+5}{6k+2}$$
Contoh-3:
Tentukan invers fungsi $\displaystyle f(x)=5x^2+4x-13$.
Pembahasan:
Ganti $f(x)$ dengan $f$, maka $$f=5x^2+4x-13$$ (kedua ruas kita kali 5), maka diperoleh: $$5f=25x^2+20x-65$$ $$5f=(5x+2)^2-4-65$$ $(5x+2)$ ini yakni 5 diperoleh dari koefisien $x^2$ fungsi asal dan 2 diperoleh dari $\displaystyle \frac{20}{2.(5)}$ dengan 2 disini bilangan tetap). Atau juga bisa anda tepatkan bahwa $\displaystyle (5x+2)^2-4=25x^2+20x$. Sehingga: $$5f=(5x+2)^2-69$$ $$x=\frac{-2 \pm \sqrt{5f+69}}{5}$$ $$f^{-1}(x)=\frac{-2 \pm \sqrt{5x+69}}{5}$$

Hubungan Komposisi Fungsi dengan Invers Fungsi

1. $f(x)~o~f^{-1}(x)=I(x)=x$.
2. Jika ada persamaan $f(g(x))=h(x)$ maka jika kita operasikan ($o$) dengan $g^{-1}(x)$ dari sebelah kanan, maka diperoleh:
$\displaystyle f(x)=h(x)~o~g^{-1}(x)$. Jika dioperasikan $f^{-1}(x)$ dari sebelah kiri maka diperoleh:
$\displaystyle g(x)=f^{-1}(x)~o~h(x)$.

Contoh:
Tentukan $f(3x)$ dari $f(2x+1)=4x$.
Jawab:
Awalnya kita cari $f(x)$,
invers dari $2x+1$ adalah $\displaystyle \frac{x-1}{2}$. Sehingga, $$f(x)=4.\left(\frac{x-1}{2}\right)$$ $$f(x)=2x-2$$ $$f(3x)=2.(3x)-2$$ $$f(3x)=6x-2$$
Demikianlah postingan mengenai komposisi fungsi dan invers fungsi. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.