Fungsi Kuadrat (Bentuk, Sifat, dan Perpotongan dengan garis lurus)

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat: $$y=f(x)=ax^2+bx+c$$ dengan $a,~b,~c$ merupakan konstanta dan $a \ne 0$.
Bentuk grafik fungsi kuadrat seperti parabola, sehingga sering disebut sebagai grafik parabola.

Sifat-sifat Fungsi Kuadrat:
1. Menentukan titik puncak dan nilai optimum:
- jika $a>0$ maka grafik terbuka ke atas, sehingga $f(x)$ hanya memiliki nilai minimum dan maksimum lokal (dengan batasan pada selang $x$).
- jika $a$ kecil nol maka grafik terbuka ke bawah, sehingga hanya memiliki nilai maksimum dan minimum lokal (dengan batasan pada selang $x$).
2. Nilai minimum dan maksimumnya disebut dengan nilai optimum.
- $y=f(x)$, $y=y_p$ adalah nilai optimum, yakni $$y_p=-\frac{D}{4a}$$ dengan $D$ merupakan diskriminan. Sedangkan $x$ adalah sumbu simetri dengan rumus $$x=-\frac{b}{2a}$$
Contoh:
Tentukan nilai optimum fungsi $\displaystyle f(x)=3x^2-12x+7$
jawab:
$a=3$, $b=-12$, dan $c=7$ maka $$D=b^2-4ac$$ $$D=144-4(3)(7)$$ $$D=144-84$$ $$D=60$$ Sehingga, $$y_p=-\frac{D}{4a}$$ $$y_p=-\frac{60}{12}$$ $$y_p=-5$$ Perhatikan gambar grafik fungsinya

terlihat pada garis vertikal $y=-5$ tepat ke puncak parabola tersebut.
3. Hubungan fungsi kuadrat dengan sumbu $x$.
$D > 0$ memotong sumbu $x$ di dua titik.
$D=0$ menyinggung sumbu $x$.
$D$ bernilai negatif maka tidak memotong maupun menyinggung sumbu $x$.

Catatan:
Fungsi kuadrat yang diskriminannya negatif disebut fungsi definit. Ada 2 jenis fungsi definit, yaitu:
1. Definit positif (nilai $f(x)$ positif untuk setiap $x$) dan $a$ juga positif.
2. Definit negatif (nilai $f(x)$ negatif untuk setiap $x$) dan $a$ juga negatif.

Contoh:
Agar bentuk kuadrat $(k-1)x^2-2kx+k+4$ selalu bernilai positif untuk setiap bilangan real $x$ maka konstanta $k$ memenuhi ....
Pembahasan:
Syarat selalu bernilai positif: $a>0$ dan $D \text{ < }0$. $$a=k-1>0$$ $$k>1~... (i)$$ untuk $D$ $$D=4k^2-4(k-1)(k+4) \text{ < }0$$ $$4k^2-4k^2-12k+16 \text{ < }0$$ $$k>\frac{4}{3}~...(ii)$$ irisan interval $(i)$ dan $(ii)$ adalah $$k>\frac{4}{3}$$
Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat
1. Diketahui tiga titik sembarang:
Rumus: $\displaystyle y=ax^2+bx+c$
Contoh:
Tentukan persamaan parabola yang melalui titik (0, 3), (1, 0), dan ($-$1, 8).
jawab:
Substitusikan ketiga titik pada $\displaystyle y=ax^2+bx+c$ sehingga diperoleh:
(0, 3) $\to$ $3=0+0+c$ $\to$ $c=3$
(1, 0) $\to$ $0=a+b+c$ $\to$ $a+b=-3$
($-$1, 8) $\to$ $8=a-b+c$ $\to$ $a-b=5$
Terlihat bentuk SPLDV dengan variabel $a$ dan $b$, sangat mudah diselesaikan, sehingga diperoleh: $a=1$, $b=-4$, dan $c=3$. Jadi, persamaan parabola yang melalui ketiga titik tersebut adalah $\displaystyle y=x^2-4x+3$.

2. Diketahui 2 titik potong dengan sumbu $x$:
Rumus: $\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
Contoh:
Parabola $y=ax^2+bx+c$ melalui titik (0, 3), (1, 0), dan (3, 0). Persamaan parabolanya adalah ....
jawab:
Diketahui titik potong dengan sumbu $x$ adalah (1, 0) dan (3, 0). Jadi $x_1=1$ dan $x_2=3$ lalu gunakan rumus sehingga diperoleh: $$y=a(x-1)(x-3)$$ lalu substitusikan titik lainnya yakni (0, 3) maka diperoleh: $$3=a(0-1)(0-3)$$ $$3=3a$$ $$a=1$$ jadi: $$y=(x-1)(x-3)$$ $$y=x^2-4x+3$$
3. Diketahui titik puncak $(x_p,~y_p)$
Rumus: $\displaystyle y=a(x-x_p)^2+y_p$
Contoh:
Persamaan parabola yang memotong sumbu $y$ di titik (0, 3) dan mencapai puncak di titik (1, 1) adalah $y=....$
jawab: $$(x_p,~y_p)=(1,~1)$$ $$f(x)=a(x-1)^2+1$$ lalu substitusikan titik (0, 3) diperoleh: $$f(0)=a+1=3$$ $$a=2$$ Jadi, $\displaystyle y=f(x)=2(x-1)^2+1$.

Hubungan Fungsi Kuadrat dengan Garis
$D$ merupakan diskriminan dari hasil substitusi kedua persamaannya maka akan:
- Berpotongan di dua titik, jika $D>0$
- Bersinggungan, jika $D=0$
- Tidak berpotongan, jika $D \text{ < } 0$.
Contoh:
Garis $y=3x+1$ memotong grafik parabola $y=ax^2-5x-9$ di titik $P(-1,~-2)$ dan di titik $Q$. Koordinat titik $Q$ adalah ....
Jawab:
Substitusikan titik $P(-1,~-2)$ ke dalam $y=ax^2-5x-9$ diperoleh $a=2$, sehingga $y=2x^2-5x-9$
Kemudian substitusikan $y=3x+1$ ke dalam $y=2x^2-5x-9$ maka diperoleh: $$2x^2-8x-10=0$$ $x=5$ atau $x=-1$
Jelas bahwa kita substitusikan $x=5$ ke $y=3x+1$ diperoleh $y=16$. Jadi titik $Q(5,~16)$.

Demikianlah postingan mengenai fungsi kuadrat yang membahas bentuk, sifat, dan perpotongan dengan garis lurus. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.