Bilangan Segitiga Pascal dan Koefisien Binomial

Pada postingan ini kita akan mempelajari bilangan segitiga pascal. Perhatikan bilangan segitiga pascal berikut: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 dan seterusnya. Perhatikan pola bilangan segitiga pascal di atas, bilangan tersebut membentuk segitiga dengan sisi kanan dan kirinya terbentuk dari bilangan 1. Bilangan segitiga pascal tercipta dari barisan koefisien perpangkatan $(x+y)^n$ dengan $n$ adalah bilangan cacah. Barisan pertama bilangan segitiga pascal adalah 1, berasal dari koefisien $(x+y)^0=1$. Barisan kedua bilangan segitiga pascal adalah 1 1, berasal dari barisan koefisien $(x+y)^1$ = $x+y$. Barisan ketiga bilangan segitiga pascal adalah 1 2 1, berasal dari barisan koefisien $(x+y)^2$ = $x^2+2xy+y^2$. Barisan keempat bilangan segitiga pascal adalah 1 3 3 1, berasal dari barisan koefisien $(x+y)^3$ = $x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$. Barisan kelima bilangan segitiga pascal adalah 1 4 6 4 1, berasal dari barisan koefisien $(x+y)^4$ = $x^4+4x^3y+6x^2y^2$$+4xy^3+y^4$. Sampai seterusnya. Perhatikan pangkat dari variabel $x$ dan $y$, pangkat dari $x$ menurun dan pangkat dari $y$ menaik.
Berikut ini diberikan rumus dari bentuk $(x+y)^n$.

Rumus koefisien binomial.
$$(x+y)^n=\sum \limits^{n}_{k=0} {n \choose k} x^{n-k}y^k$$

Contoh-1:
Tentukan koefisien $x^3y^2$ dari bentuk $(x+y)^5$.
Jawab:
Diketahui bahwa $n=5$ (pangkat dari $(x+y)$. Dengan menggunakan rumus koefisien binomial, kita lihat pangkat dari $x$ adalah 3. Dari bentuk rumus pada $x$ yakni $x^{n-k}$ maka $$x^3=x^{n-k}$$ $$3=n-k$$ $$3=5-k$$ $$k=2$$ Ternyata $k$ adalah pangkat dari $y$. Jadi, koefien yang kita cari adalah $${n \choose k}={5 \choose 2}$$ $$=C^5_2=10$$
Contoh-2:
$\displaystyle C^6_1+C^6_2+$ ... $\displaystyle C^6_6$ = ....
Jawab:
Dari rumus koefisien binomial kita ambil $x=1$ dan $y=1$ maka diperoleh: $$(1+1)^n=\sum \limits^{n}_{k=0} {n \choose k} 1^{n-k}1^k$$ 1 pangkat berapapun hasilnya tetap 1. Sehingga diperoleh: $$2^n=\sum \limits^{n}_{k=0} {n \choose k} $$ Kita tentukan $n=6$ maka diperoleh: $$2^6=\sum \limits^{6}_{k=0} {6 \choose k} $$ $$2^6=C^6_0+...+C^6_6$$ Jadi, $\displaystyle C^6_1+C^6_2+$ ... $\displaystyle C^6_6$ = $2^6-C^6_0$ = $2^6-1$ = 64 $-$1 = 63.

Dengan menggunakan rumus koefisien binomial, kita dengan cepat menentukan hasil deret kombinasi.
Demikianlah postingan tentang bilangan segitiga pascal dan koefisien binomial. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.