Search This Blog

Blogroll

Hai sahabat mathematic.my.id,, Pada pertemuan ini akan dijelaskan mengenai Pendiferensialan Implisit. Apakah teman-teman sudah mengetahuin...

Differensial/Turunan Implisit


Hai sahabat mathematic.my.id,,
Pada pertemuan ini akan dijelaskan mengenai Pendiferensialan Implisit. Apakah teman-teman sudah mengetahuinya?.
Dengan sedikit usaha, kebanyakan kita akan mampu melihat bahwa grafik dari
$y^3+7y=x^3$
Tampak seperti apa yg diperlihatkan dalam gambar berikut:
Pastilah titik (2, 1) terletak pada grafik, dan tampaknya terdapat sebuah garis singgung yg terumuskan dengan baik pada titik tersebut. Bagaimana kita mencari kemiringan garis singgung ini?. Mudah, kita dapat menjawab: hitung saja $\frac {dy}{dx}$ pada titik itu. Tetapi itulah kesukarannya, kita tidak tahu bagaimana mencari $\frac {dy}{dx}$ pada persamaan grafik itu.
Elemen baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan yg secara gamblang (explisit) tidak terselesaikan untuk $y$. Apakah mungkin untuk mencari $\frac {dy}{dx}$ dalam keadaan seperti ini?, Ya tentu saja mungkin, caranya diferensialkan kedua ruas persamaan
$y^3+7y=x^3$
Menjadi seperti berikut:
$3y^2.\frac {dy}{dx} + 7.\frac {dy}{dx} = 3x^2$
Sehingga diperoleh:
$\frac {dy}{dx}=\frac {3x^2}{3y^2+7}$.
Maka gradien garis singgungnya adalah:
$\frac {dy}{dx} (2, 1)=\frac {3.(2)^2}{3(1)^2+7}$.
Cara ini disebut dengan Pendiferensialan Implisit.
Koefisien $\frac {dy}{dx}$ hanya berlaku pada suku yg bervariabel $y$ dan sebaliknya. Kita akan mencari $\frac {dx}{dy}$ pada persamaan yg sama, maka akan menjadi:
$3y^2+ 7= 3x^2.\frac {dx}{dy}$
. Sehingga diperoleh:
$\frac {dx}{dy}=\frac {3y^2+7}{3x^2}$.
Lalu bagaimana dengan suku yg memiliki dua variabel $x$ dan $y$?. Tentu saja bisa, kita memakai aturan turunan berantai yg telah kita pelajari sebelumnya. Kita kelompokkan atas masing-masing variabel $x$ saja adalah fungsi pertama dan $y$ saja adalah fungsi kedua. Sebagai contoh untuk dua fungsi yg dihubungkan dengan operasi perkalian sebagai berikut:
Carilah $\frac {dy}{dx}$ dari persamaan $4x^2y-3y=x^3-1$.
Penyelesaian:
Metode 1: Kita dapat dengan mudah mengeluarkan $y$ dengan memfaktorkannya, diperoleh:
$y=\frac {x^3-1}{4x^2-3}$
dengan mudah kita peroleh:
$\frac {dy}{dx}=\frac {4x^4-9x^2+8x}{(4x^2-3)^2}$.
Metode 2: (Turunan Implisit) kita anggap $x^2$ adalah fungsi $u$ dan $y$ adalah fungsi $v$, dengan aturan rantai dan bentuk implisit maka menjadi:
$4x^2.\frac {dy}{dx}+y.8x-3.\frac {dy}{dx}=3x^2$.
sehingga diperoleh:
$\frac {dy}{dx}=\frac {3x^2-8xy}{4x^2-3}$.
Walaupun jawab ini tampak berbeda, namun hasilnya tetap sama jika kita substitusikan $y$ dengan bentuk dari persamaan pada soal yg diberikan.
Sahabat mathematic.my.id, itulah paparan materi tentang pendiferensialan atau turunan implisit. Terimakasih atas perhatiannya, semoga bermanfaat..




0 comments:

Pada pertemuan ini, mathematic.my.id akan menjelaskan tentang Permutasi. Permutasi adalah banyaknya cara menyusun $r$ unsur dari semua $n$ ...

PERMUTASI


Pada pertemuan ini, mathematic.my.id akan menjelaskan tentang Permutasi. Permutasi adalah banyaknya cara menyusun $r$ unsur dari semua $n$ unsur
1. Permutasi Unsur Berbeda
Permutasi Unsur Berbeda diformulakan oleh:
$P(n, r)=\frac {n!}{(n-r)!}$.
dimana $n!=n.(n-1).(n-2)...1=n.(n-1)!$
$n>r$, $n$ dan $r$ bilangan bulat, dengan $n$ adalah banyak semua unsur dan $r$ adalah panjang susunan.
Notasi permutasi bisa juga kita tuliskan dengan:
$_nP_r$ dan $P^n_r$
Contoh:
Kita akan menyusun unsur $a$, $b$, dan $c$ dengan panjang susunannya dua. Maka susunannya adalah:
$ab$, $ba$, $ac$, $ca$, $bc$, dan $cb$ ada sebanyak 6. Dengan menggunakan rumus permutasi maka:
$P(3, 2)=\frac {3!}{(3-2)!}=6$.
Contoh lain
Siswa suatu kelas yang berjumlah 30 orang akan dipilih seorang ketua kelas, seorang bendahara, dan seorang sekretaris. Berapakah jumlah susunan pengurus kelas yang mungkin dibuat?
Jawab: Ini adalah soal permutasi 3 unsur yang diambil dari 30 unsur yang berbeda:
$P(30, 3)=\frac{30!}{(30-3)!}=\frac{30!}{27!}$
$=\frac {30.29.28.27!}{27!}=30.29.28=24.360$ susunan.

2. Permutasi yang memiliki sejumlah unsur yang sama
Formulanya adalah:
$P=\frac {n!}{k_1!.k_2!...k_i}$
dimana $k_1,k_2,....,k_i$ adalah banyak unsur yang sama dan $k_1+k_2+ ... + k_i=n$.
Contoh:
Banyak susunan kata "KATAK" adalah ...
Kita lihat huruf K ada 2, huruf A ada 2, dan huruf T ada 1, maka:
$P=\frac {5!}{2!.2!.1!}=30$.

3. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah susunan unsur dengan bentuk melingkar. Rumusnya adalah:
$P=(n-1)!$
dimana $n$ adalah banyaknya semua unsur yg akan disusun melingkar.
Contoh 1: Banyak susunan melingkar dari 3 unsur adalah ...
Jawab: banyak susunannya adalah:
$P=(3-1)!=2$ cara.
Contoh 2: Banyak susunan melingkar 10 orang dimana tidak ada 3 orang tertentu yg saling duduk berdekatan adalah ...
Jawab: Banyak semua susunan melingkarnya: $(10-1)!=9!$
. Kita memakai aturan pengurangan, kita cari dulu banyak susunan dimana 3 orang tertentu itu saling duduk berdekatan, caranya kita hitung 3 orang itu menjadi satu kesatuan maka 10 orang tadi dengan 3 orang dihitung 1 menjadi 8, kemudian kita kalikan dengan $3!$. Maka kita peroleh banyak susunan dengan 3 orang tertentu saling duduk berdekatan adalah $(8-1)!.3!=6. 7!$, sehingga banyak susunan 10 orang dengan 3 orang tertentu tidak saling duduk berdekatan adalah: $9!-6.7!=66. !7$.

--------------****---------------
Mungkin sekian dulu tutorial kali ini, semoga bermanfaat..




0 comments:

Pada kesempatan kali ini mathematic.my.id ingin berbagi file pdf OSK MATEMATIKA SMP. Berikut ini filenya yg sudah terkumpul: 1. Soal OSK ...

SOAL DAN KUNCI OSK SMP


Pada kesempatan kali ini mathematic.my.id ingin berbagi file pdf OSK MATEMATIKA SMP. Berikut ini filenya yg sudah terkumpul:

1. Soal OSK Matematika SMP 2019
2. Pembahasan OSK Matematika SMP 2019
3. Soal dan Kunci OSK Matematika SMP 2018

Terima kasih atas kunjungannya, semoga bermanfaat..
-----------------------------


0 comments:

Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai Pertidaksamaan Kuadrat . Sebelumnya kita harus tau tentang materi persamaan kuadrat,...

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT


Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai Pertidaksamaan Kuadrat . Sebelumnya kita harus tau tentang materi persamaan kuadrat, jika belum mengetahui materi persamaan kuadrat maka bisa membaca tutorialnya melalui link ini.
Baiklah, langsung saja kita ke inti materinya, pertama-tama kita harus tau bentuk umum pertidaksamaan kuadrat berikut:
$ax^2+bx+c (notasi) 0$.
Maksud dari notasi itu adalah lambang pertidaksamaan yakni: $<,\quad >, \quad \le, \quad$ dan $ \ge$.


-------------**-------------


Contoh 1: Himpunan penyelesaian real pertidaksamaan $2x^2-x < 3$ adalah ... Jawab: Pertama kita pastikan apakah bentuknya sudah umum atau belum. Soal diatas bentuknya belum umum, maka kita ubah dengan menggunakan konsep aljabar kedua ruas kita kurang 3 diperoleh:
$\quad 2x^2-x-3<0 \quad$ kemudian kita uji nilai diskriminannya $D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(-3)\ge 0$ jika hasil $D \ge 0$ maka penyelesaiannya real. Kemudian kita faktorkan, karena pada contoh ini bisa kita faktorkan. Cara memfaktorkan: Nilai $a.c$ dan nilai $b$ kedua nilai ini sangat berpengaruh. Pada contoh ini diperoleh nilai $a.c=(2)(-3)=-6$ dan nilai $b=-1$, kemudian kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya $-6$ dan hasil jumlahnya $-1$ maka kita peroleh dua bilangan itu yakni $-3$ dan 2. Setelah itu kita bagi dengan nilai $a$ sehingga diperoleh bentuk faktornya yakni: $(x-\frac {3}{2})(x+\frac {2}{2})$ $=(x-\frac {3}{2})(x+1)$ ternyata kita peroleh batas-batas nilainya yakni $x=\frac {3}{2}$ dan $x=-1$. Karena notasi pertidaksamaannya < maka bentuk himpunan penyelesaiannya adalah: $\quad -1 < x < \frac {3}{2}$. -------------**---------------- Contoh 2: Himpunan penyelesaian real dari $5x^2-4x+1>0$ adalah ...


Jawab: Perhatikan bahwa nilai $D=(-4)^2-4(5)(1)=-4<0$ maka tidak punya penyelesaian di himpunan bilangan real. ---------**---------- Contoh 3: Himpunan penyelesaian real dari $12x \ge 3x^2+12$ adalah ...


Jawab: Kita lihat nilai $D \ge 0$ maka memiliki penyelesaian real. Kita ubah ke bentuk umum diperoleh:
$-3x^2+12x-12\ge 0$ karena nilai $a$ negatif, maka perlu kita positifkan dengan cara mengalikan negatif ke kedua ruas. Pada contoh ini kita kalikan kedua ruas dengan $-\frac {1}{3}$ maka kita peroleh bentuk baru yang tidak berpengaruh dengan hasil akhirnya, yakni:
$x^2-4x+4 \le 0$, kenapa berubah arah? karena pengalinya negatif. Maka kita peroleh bentuk faktornya: $(x-2)(x-2)=(x-2)^2 \le 0$. Karena bentuk faktornya kuadrat sempurna yang mengakibatkan untuk semua nilai yang dikuadratkan itu hasilnya $\ge 0$ maka himpunan penyelesaian yang memenuhi soal ini hanya ada satu yakni $x=2$, tepatnya karena ada tanda =.


--------------**--------------


Contoh 4: Himpunan penyelesaian real $2x^2+5x+2 \ge 0$ adalah ...


Jawab: Kita faktorkan menjadi: $(2x+1)(x+2) \ge 0$ maka batas-batasnya $x=-\frac{1}{2}$ dan $x=-2$.
$\quad$ karena pertidaksamaannya memakai $\ge $ maka:
$\quad$ bentuk penyelesaiannya adalah: $-2 \ge x \ge -\frac{1}{2}$

----------------**------------------

Mungkin sampai disini dulu tutorial kita,
Salam sukses...
----------------**------------------

ADDS






0 comments:

Persamaan Kuadrat Pada perjumpaan kali ini mathematic.my.id akan membagikan tutorial tentang $Persamaan Kuadrat$. Mula-mula kita harus...

PERSAMAAN KUADRAT


Persamaan Kuadrat

Pada perjumpaan kali ini mathematic.my.id akan membagikan tutorial
tentang $Persamaan Kuadrat$.
Mula-mula kita harus tau apa itu persamaan kuadrat.
____________________________________________
Persamaan kuadrat adalah untuk mencari
nilai $x$ dari bentuk umum persamaan:
$ax^2+bx+c=0$.
dimana $a \ne 0$.
________________________________________

Cara penyelesaian Persamaan Kuadrat (PK)

** 1. Pemfaktoran **
-------------------------------------
Contoh 1: Akar-akar penyelesaian
$\quad x^2+2x=3$ adalah ...
$\quad$ Jawab: Bentuk umum PK tersebut adalah:
$x^2+2x-3=0$. Cara memfaktorkan itu kita mencari 2 bilangan yg hasil kalinya
$a.c=(1)(-3)=-3$ dan hasil jumlahnya $b=2$ maka diperoleh:
$-1$ dan 3 kemudian kedua bilangan itu dibagi dengan
nilai $a=1$, maka diperoleh bentuk faktornya: $(x-1)(x+3)=0$.
Jadi akar-akarnya adalah $x=1$ dan $x=-3$.
_____________________
Contoh 2: Akar-akar penyelesaian PK $-6x^2+x=-2$ adalah ...
Jawab: Bentuk umumnya menjadi: $-6x^2+x+2=0$, maka kita mencari dua bilangan yg hasil kalinya $(-6)(2)=-12$ dan hasil jumlahnya 1, sehingga diperoleh dua bilangan itu 4 dan $-3$ lalu jangan lupa kedua bilangan itu dibagi dengan nilai $a$ maka menjadi $-\frac {2}{3}$ dan $\frac {1}{2}$. Jadi bentuk faktornya $(x-\frac {2}{3})(x+\frac {1}{2})=0$
akar-akarnya adalah $x=\frac {2}{3}$ dan
$x=-\frac {1}{2}$.

** 2. Bentuk kuadrat sempurnya **
--------------------------------------
Dalam hal ini kita melihat nilai $b$. Jika bentuk umum PK kita bagi dengan $a$ maka menjadi
$x^2+\frac {b}{a}x+\frac {c}{a}=0$........(1)
nilai $a$ harus 1. Karena bentuk
$(x+\frac {b}{2a})^2=x^2+\frac {b}{a}x+\frac {b^2}{4a^2}$.......(2)
dan dari (1) diperoleh $x^2+\frac {b}{a}.x=-\frac {c}{a}$ yang kemudian kita
substitusikan ke (2) diperoleh $(x+\frac {b}{2a})^2=-\frac {c}{a}+\frac {b^2}{4a^2}$
atau $(x+\frac {b}{2a})^2=\frac {b^2-4ac}{4a^2}$, yang mana $b^2-4ac$ dikenal sebagai $D$.
bentuk terakhir ini adalah bentuk kuadrat sempurna.

contoh:
Tentukan akar dari $3x^2+6x-24=0$ dengan cara kuadrat sempurna!
Jawab:
Dari bentuk yg kita peroleh maka bentuk kuadrat sempurna dari
soal ini adalah: $(x+1)^2=\frac {6^2-4.(3).(-24)}{4.(3^2)}$
maka $(x+1)^2=\frac {6^2-4.(3).(-24)}{4.(3^2)}=9$, maka
$x=-1 \pm 3$. Jadi, $x_1 =2$ dan $x_2=-4$.
_____________________________
** Menggunakan rumus abc **
Rumus abc diperoleh dari bentuk kuadrat sempurna. Rumus umumnya
adalah:
$\frac {-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$
atau $\frac {-b \pm \sqrt {D}}{2a}$

contoh:
Tentukan akar-akar $x^2+3x+2=0$ dengan rumus abc!
Jawab:
$x_{1,2} = \frac {-3 \pm \sqrt {3^2-4(1)(2)} }{2(1) }$
$=\frac {-3 \pm 1}{2}$.
$x_1=-1$ dan $x_2=-2$.
_____________________________
Sifat-sifat Diskriminan
____________________________
1. Jika $D=0$ maka akar-akarnya kembar
$\quad$ atau $x_1=x_2$.
2. Jika $D>0$ maka akar-akarnya real berbeda
$\quad$atau $x_1 \ne x_2$.
3. Jika $D \ge 0$ maka akar-akarnya real.
3. Jika $D<0$ maka akar-akarnya imajiner. ______________________________________ Contoh 1: Tentukan nilai $m$ agar $3x^2-2x=-m$ memiliki akar-akar kembar! Jawab: Syarat akar kembar itu $D=0$, maka $(-2)^2-4(3)(m)=4-12m=0$ , sehingga diperoleh: $m=\frac {1}{3}$ Contoh 2: Tentukan nilai $k$ agar persamaan $kx^2-kx+4=0$ memiliki akar-akar real! Jawab: $D=(-k)^2-4(k)(4)=k^2-16k=k(k-16) \ge 0$ sehingga diperoleh $k \le 0$ atau $k \ge 16$. untuk lebih memahami pertidaksamaan kuadrat maka bisa baca di link ini.
--------------------------
Sampai disini tutorial bersama mathematic.my.id,
salam sukses...
--------------------------



/body>

0 comments:

Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai Trigonometri. Sub materi yg akan dibahas mengenai: Perbandingan Trigonometri (Dasar...

TRIGONOMETRI


Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai Trigonometri. Sub materi yg akan dibahas mengenai:
Perbandingan Trigonometri (Dasar Trigonometri), Kuadran, Sudut Istimewa, Rumus Sudut berelasi, Rumus sudut rangkap, Rumus sudut ganda, Rumus sudut setengah, dan bentuk $a.cos(x) + b.sin(x)$.

Baiklah langsung saja untuk materinya:

A. Perbandingan Trigonometri
Pada koordinat kartesius itu bahawa $x$ adalah sumbu horizontal, dan $y$ adalah sumbu vertikal. Jika kita membuat lingkaran satuan maka akan ada $r$ dimana $r=\sqrt {x^2+y^2}$.
Perhatikan bahwa bentuk trigonometri itu adalah perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku dengan sisi miring $r$:
$sin \alpha =\frac {y}{r}$, $\quad csc \alpha =\frac {1}{sin \alpha}$
$cos \alpha =\frac {x}{r}$, $\quad sec \alpha =\frac {1}{cos \alpha}$
$tan \alpha =\frac {y}{x}$, $\quad cot \alpha =\frac {1}{tan \alpha}$
Dimana cara membacanya: sin itu "sinus", cos itu "cosinus", tan itu "tangen", csc itu "cosecan", sec itu "secan" dan cot itu "cotangen". Ada juga yg menuliskan tan itu tg dan cot itu ctg definisinya sama saja.

B. Kuadran
Kuadran adalah daerah.
Materi trigonometri ini menggunakan kuadran Dimensi-2. Kuadran Dimensi-2 terbagi 4, yang ditandai dengan indeks 1, 2, 3, dan 4, bisa juga dituliskan dengan indeks angka romawi.
Berikut ini batas sumbu dari kuadran 1 s.d 4:
Kuadran 1 itu dibatasi oleh sumbu-$x$ positif dan sumbu-$y$ positif.
Kuadran 2 itu dibatasi oleh sumbu-$x$ negatif dan sumbu-$y$ positif.
Kuadran 3 itu dibatasi oleh sumbu-$x$ negatif dan sumbu-$y$ negatif. Dan
Kuadran 4 itu dibatasi oleh sumbu--$x$ positif dan sumbu-$y$ negatif.
Kemudian kita harus tau batas-batas sudut dari kuadran 1 s.d 4 tersebut, yakni:
Batas Sudut (satuan derajat) dari Kudran 1 s.d 4, yaitu:
Kuadran 1: $0 \le \alpha \le 90$
Kuadran 2: $90 \le \alpha \le 180$
Kuadran 3: $180 \le \alpha \le 270$
dan Kuadran 4: $270 \le \alpha \le 360$. Dimana batas sudut yg terkena irisan dinamakan sudut berelasi, sudut berelasi ada 5 yakni: 0, 90, 180, 270, dan 360.

C. Sudut Istimewa
Berikut gambar nilai-nilai trigonometri dalam sudut istemewa:

D. Rumus Sudut Berelasi
Kunci dalam pemahaman sudut berelasi itu mudah, kuncinya adalah untuk sudut pada posisi sumbu $x$ yakni 0, $\pi$, dan $2\pi$ (sudut dalam radian), itu tetap artinya perbandingannya tetap. Nah sebaliknya, untuk sudut di posisi vertikal itu berubah sin menjadi cos, cos menjadi sin, tan menjadi cot, cot menjadi tan, sec jadi csc, dan csc jadi sec. Dan juga jangan lupa melihat di kuadran mana sudutnya.
Sebagai contoh:
$sin(\pi + \alpha)$, sudut berada di kuadran-3 maka nilai sin negatif sebab sumbu-$y$ negatif dan $r$ selalu positif, karena $sin\alpha=\frac {y}{r}$, maka nilai sin pada kuadran ke-3 itu negatif, sehingga: $sin(\pi + \alpha)=-sin\alpha$.
Contoh lain, $tan(\frac {1}{2} \pi + \alpha)$ dengan cara yg sama maka akan menjadi $-cot \alpha$.

E. Rumus Sudut Rangkap
Berikut ini diberikan rumus-rumus sudut rangkap yg terkenal:
$sin (\alpha \pm \beta)=sin\alpha.cos\beta \pm sin\beta.cos\alpha$
$cos (\alpha \pm \beta)=cos\alpha.cos\beta \mp sin\alpha.sin\beta$
$tan (\alpha \pm \beta)= \frac {tan\alpha \pm tan\beta}{1 \mp tan\alpha.tan\beta}$

F. Rumus Sudut Ganda
Rumus sudut ganda itu berasal dari rumus sudut rangkap pada penjumlahan dimana kedua sudut rangkap itu sama, misalkan $\beta=\alpha$ maka sudut rangkapnya menjadi $\alpha + \alpha = 2.\alpha$. Perhatikan rumus sudut ganda yg terkenal ini:
$sin (2.\alpha) = 2.sin\alpha.cos\alpha$
$cos (2.\alpha) = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$ atau
$cos (2.\alpha) = 1-2.sin^2 \alpha = -1+2.cos^2 \alpha$
$tan (2.\alpha) = \frac {2.tan\alpha}{1-tan^2 \alpha}\quad$ atau
$tan (2.\alpha) = \frac {2.sin\alpha}{1-2.sin^2 \alpha}$

G. Rumus Sudut Setengah
Berikut ini rumus sudut setengah:
$sin \frac {1}{2} \alpha = \sqrt {\frac {1-cos\alpha}{2}}$
$cos \frac {1}{2} \alpha = \sqrt {\frac {1+cos\alpha}{2}}$
$tan \frac {1}{2} \alpha = \frac {1-cos\alpha}{sin\alpha}$
atau $\quad tan \frac {1}{2} \alpha = csc\alpha - cot\alpha$

H. Bentuk $\quad a.cos x + b.sin x$
Bentuk ini di formulakan oleh:
$\quad a.cos x + b.sin x=\sqrt {a^2+b^2}. cos(x-m)$,
dimana $m=arc tan \frac {b}{a}$.
Sebagai contoh: $sin\frac {1}{3}\pi + cos\frac {1}{3}\pi$
ini akan menjadi
$\sqrt {2}. cos (\frac {1}{3}\pi - \frac {1}{4}\pi)=\sqrt {2}. cos(\frac {1}{12}\pi)$.

Mungkin sampai disini tutorial kita pada materi Trigonometri, thank you semoga bermanfaat..






0 comments:

Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai operasi kombinasi. Sebelumnya sobat harus tau apa itu operasi faktorial. Operasi fak...

KOMBINASI


Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai operasi kombinasi. Sebelumnya sobat harus tau apa itu operasi faktorial. Operasi faktorial dilambangkan dengan tanda seru " ! ". Sebagai contoh 5!=5x4x3x2x1 atau bisa kita tulis dengan $5!=5.(5-1)!$.
Definisi formal faktorial:
Untuk setiap bilangan $n$ maka $n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)....1=n.(n-1)!$

Definisi formal:
Kombinasi merupakan operasi yang dirumuskan oleh $C(n, r)=\frac {n!}{r!.(n-r)!}$ dimana $n>r$.

Ada juga yg menuliskan rumus kombinasi sebagai berikut:
$C(n, r)=\frac {n.(n-1).(n-2)...(n-(r-1))}{r!}$

bentuk itu diperoleh karena $(n-r)!$ itu habis membagi $n!$.

Kita juga harus tau bentuk-bentuk penulisan lambang kombinasi, yakni:
1. $C(n, r)$
2. $_nC_r$, dan
3. ${n \choose r}$.

Nah setelah sobat mengenal definisi kombinasi tersebut, kini saatnya kita mengetahui apa kegunaan dari kombinasi itu.


Kegunaan Kombinasi

*Untuk mencari banyaknya cara memilih*
Misalkan ada 4 elemen yaitu $a, \quad b, \quad c,\quad$ dan $d$ maka jika kita ingin memelih 3 elemen dari 4 elemen itu kita peroleh pemilihannya ada empat cara yakni: $(a, \quad b, \quad c)$, $(a, \quad b, \quad d)$, $(b, \quad c, \quad d)$, dan $(a, \quad c, \quad d)$.

Contoh lain:
Seorang siswa diharuskan mengerjakan 7 soal dari 10 soal dengan nomor soal 1 s.d 10. Siawa itu juga diharuskan menjawab soal no.1, no.5, dan no.9. Berapa banyak cara pemilihan soal oleh siswa itu?
Jawab:
Karena 3 soal sudah dipilih yakni dari kalimat diharuskan menjawab soal no.1, no.5, dan no.9, maka sisa soal yg harus dipilih oleh siswa itu tinggal 7 soal. Sedangkan untuk mengerjakan 7 soal itu dia harus mengerjakan 4 soal lagi. Sehingga oleh rumus kombinasi maka banyak cara pemilihannya adalah: $C(7, 4)=\frac {7.6.5.4}{4.3.2.1}=35 $ cara.

*Sebagai koefisien dari perpangkatan $(x+y)^n$
Formulanya sebagai berikut:
$\quad (x+y)^n=\sum^n_{k=0}{n \choose r}.x^k.y^{n-k}$
rumus ini dinamakan rumus binomial.

sebagai contoh misalkan kita akan mencari nilai $(1+2)^2$ dengan menggunakan rumus binomial, maka $(1+2)^2=C(2, 0).1^0.2^{2-0}+$
$C(2, 1).1^1.2^{2-1}+C(2, 2).1^2.2^{2-2}$$=4+4+1=9.\quad$
Untuk bukti formalnya bisa kita gunakan induksi matematika yg dibahas dipertemuan lain.
Contoh:
Tentukan koefisien $x^4$ dari $(2x-3)^6$.
Jawab:
Jika sebelumnya kita tidak mengetahui rumus binomial itu, maka kita akan kesulitan menjawab soal ini. Soal ini juga bisa kita jawab dengan menggunakan bilangan segitiga pascal, dan sebenarnya bilangan segitiga pascal itu adalah koefisien-koefisien dari rumus binomial. Ok, langsung saja kita jawab, karena yang ditanya itu $x^4$, maka jelas bahwa $k=4$. Sehingga kita hanya mengambil suku pada $k=4$ saja, kita peroleh sukunya: $C(6, 4). (2x)^4.(-3)^{6-4}=$
$(15).(16).(9).x^4=2160.x^4$
sehingga koefisiennya= 2160.

*kombinasi digunakan untuk mencari barisan dan deret aritmatika bertingkat*
Barisan dan deret aritmatika bertingkat itu merupakan gabungan dari 2 atau lebih barisan atau deret yang saling terhubung. Misalnya barisan aritmatika tingkat-2 sebagai berikut:
2, 3, 5, 8, 12, ... (barisan pertama)
beda pertama: 1, 2, 3, 4, ... (barisan kedua)
beda kedua: 1, 1, 1, ... (barisan ketiga)
Nah untuk mencari rumus suku ke-$n$ nya maka suku pertama berturut-turut dari barisan pertama dan seterusnya kita kalikan dengan kombinasi yg bersesuainya lalu kita jumlahkan sebagai berikut:
$U_n={{n-1} \choose 0}.2 + {{n-1} \choose 1}.1 + {{n-1} \choose 2}.1$.
Nah sekarang kita coba mencari suku ke-4 dari barisan pertama, maka: $U_4={(4-1) \choose 0}.2 + {(4-1) \choose 1}.1 + {(4-1) \choose 2}.1=8$.
Jika untuk deret, misalkan kita akan mencari $S_n$ dari barisan pertama yakni 2+3+5+8+12+...
maka: $\quad S_n={n \choose 1}.2 + {n \choose 2}.1 + {n \choose 3}.1$. Misalkan kita akan mencari nilai $S_4$ maka $S_4={4 \choose 1}.2 + {4 \choose 2}.1 + {4 \choose 3}.1=18.$

Mungkin sampai disini tutorial kita kali ini dalam materi kombinasi, terima kasih atas kunjungannya di mathematic.my.id semoga bermanfaat..




0 comments:

Persamaan diophantine adalah persamaan bersuku banyak ax+by = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan integer (bulat). Persamaan...

PERSAMAAN DIOPHENTINE


Persamaan diophantine adalah persamaan bersuku banyak ax+by = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan integer (bulat).

Persamaan linear diophantine ax+by= c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika gcd(a,b) membagi c.

Contoh soal 1:
Apakah persamaan 15x+6y=190 memiliki penyelesaian di bilangan bulat?
Jawab:
Mungkin bagi kalian yang penasaran untuk menyelesaikan kasus ini, bisa dengan coba-coba.. Misalnya, jika x = 1, y-nya berapa, dan seterusnya.. Tapi itu tidak memungkinkan karena menghabiskan waktu.

Nah, untuk mendapatkan solusi, kita dari gcdnya dulu: gcd (15,6) = 3.
Namun, ternyata 190 tidak habis dibagi 3. Nah,artinya, persamaan di atas tidak punya solusi untuk semua bilangan bulat x dan y.

Contoh soal 2:
Tentukan semua pasangan (x, y) anggota bilangan bulat non-negatif yang memenuhi persamaan 7x + 5y = 100.
jawab:
Kita tahu bahwa bilangan bulat non-negarif itu adalah bilangan cacah.
karena gcd (7, 5)=1, maka mempunyai solusi, maka
7=1.5+2
2=7-5 lalu kedua ruas kita kali 50 maka
100=7(50)+5(-50) sehingga diperoleh x = 50 (mod 5) atau x = 0 (mod 5) dan y= -50 (mod 7) atau
y=6 (mod 7).
jika x=0 maka y=20, jika x=5 maka y=13. Perlu kita ketahui bahwa x dan y itu berlawanan arah.
Jadi batas x = floor (100/7)= 14 artinya karena x = 5k maka k yang memenuhi hanya k=0, 1, dan 2.
Jadi semua pasangan (x, y)={(0, 20), (5, 13), (10, 6)}

0 comments:

Dua orang perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes telah memperkenalkan sistem koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan sys...

SISTEM KOORDINAT KUTUB


Dua orang perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes telah memperkenalkan sistem koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan system koordinat Cartesius atau siku siku. Dasar pemikiran mereka ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambing $(x, y)$ setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus sesamanya (lihat gambar 1). Cara menggunakan koordinat Cartesius tersebut telah kita kenal sejak di SLTP. Sistem koordinat itu adalah dasar dari geometri analitik, dan sangat membantu pengembangan kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang kita capai hingga saat ini.
Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satu-satunya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain ialah menggunakan apa yang disebut dengan koordinat kutub (Gambar 2).

Perhatikan bahwa gambar 1 adalah grafik pada koordinat Cartesius.

sedangkan gambar 2 adalah grafik yang sama pada koordinat kutub.

Kita harus mengetahui bahwa untuk mengubah grafik fungsi koordinat kartesius ke dalam koordinat kutub itu diperlukan rumus:
$x = r. sin \theta $
$y = r. cos \theta$
$r = \sqrt {x^2 + y^2}$

dimana $\theta $ adalah sudut apit garis $r$ dengan sumbu $x$ positif.

Itulah ringkasan materi tentang sistem koordinat kutub semoga bermanfaat..











0 comments:

Asslm... wr. wb. Kali ini saya akan membagikan materi himpunan, yg dijelaskan sebagai berikut: Dalam matematika, himpunan adalah (kump...

HIMPUNAN


Asslm... wr. wb.

Kali ini saya akan membagikan materi himpunan, yg dijelaskan sebagai berikut:
Dalam matematika, himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Penjelasan gambar diatas: Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Notasi Himpunan
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan anggota bilangan yang umum dipakai.

Dan Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis, contoh:

Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.




0 comments:

Asslm... wr. wb. Apa kabar semuanya, kali ini saya akan membagikan materi tentang PLSV. Bagaimana itu? Baiklah Berikut ini merupakan ...

PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)


Asslm... wr. wb.

Apa kabar semuanya, kali ini saya akan membagikan materi tentang PLSV. Bagaimana itu?
Baiklah
Berikut ini merupakan pembahasan tentang pengertian sistem persamaan linear satu variabel, contoh soal persamaan linear satu variabel, persamaan linier satu variabel.

1. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel
Perhatikan kalimat-kalimat terbuka di bawah ini.
a. x – 3 = 5
b. 2p + 4 = 8
c.5n/6 =15

Kalimat-kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung ” = ” (sama dengan). Kalimat-kalimat seperti ini disebut persamaan.

Persamaan-persamaan tersebut mempunyai satu variabel (peubah), yaitu x, p, dan n di mana derajat dari masing-masing variabel adalah 1, maka persamaan seperti itu disebut persamaan linear satu variabel.

Bentuk umum PLSV adalah ax + b = 0

2. Sifat-Sifat PLSV
Misalkan A = B adalah persamaan linear dengan variabel x dan c adalah konstanta bukan nol. Persamaan A = B ekuivalen dengan persamaan-persamaan berikut:
1. A + C = B + C
2. A – C = B – C
3. A x C = B x C
4. A : C = B : C, C¹=0

3. Penyelesaian dan Bukan Penyelesaian
Misalkan suatu persamaan x + 3 = 7 dengan variabel x adalah 2, 3, dan 4. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita pilih pengganti x, yaitu:
x = 3, maka 2 + 3 = 7 pernyataan salah
x = 3, maka 3 + 3 = 7 pernyataan salah
x = 4, maka 4 + 3 = 7 pernyataan benar

Untuk x = 4, kalimat di atas menjadi benar, maka bilangan 4 disebut penyelesaiannya (jawaban atau akar) dari persamaan tersebut. Jadi, ditulis akarnya = 4.

Bilangan pengganti x yang membuat pernyataan salah, bukan merupakan penyelesaiannya seperti untuk x = 2 dan 3 bukan merupakan akar persamaan tersebut.

Cara menentukan penyelesaian di atas disebut cara substitusi. Untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan, selain dengan cara substitusi dapat juga dengan cara menjumlah, mengurangi, mengali, atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.
a. Penjumlahan atau Pengurangan
Menambah dan mengurangi kedua ruas persamaan

Contoh
1. Tentukan penyelesaian dari x – 5 = 8.

Penyelesaian:
x – 5 = 8
τ€‚œ<=> x – 5 + 5 = 8 + 5 (kedua ruas ditambahkan 5)
τ€‚œ<=> x = 13
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah 13.

2. Selesaikanlah persamaan 4x – 3 = 3x + 7.

Penyelesaian:
4x – 3 = 3x + 7
4x – 3 + 3 = 3x 7 + 3 (kedua ruas ditambahkan 3)
4x = 3x + 10
4x + (–3x) = 3x + 10 + (–3x) (kedua ruas ditambahkan –3x)
x = 10
Jadi, penyelesaiannya dari 4x – 3 = 3x + 7 adalah 10.

b. Perkalian atau Pembagian
Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.

Contoh
Tentukan penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut.





Demikian pembahasan tentang sistem persamaan linear satu variabel (SPLSV) dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasannya.
Salam sukses



0 comments:

Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar.. Pada pertemuan kali ini akan dijelaskan mengenai Bilangan Bulat. Penjelasan singkatnya sebagai ...

OPERASI PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN, DAN PEMBAGIAN


Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..
Pada pertemuan kali ini akan dijelaskan mengenai Bilangan Bulat. Penjelasan singkatnya sebagai berikut:

Konsep Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang memuat bilangan bulat positif, 0 (nol), dan bilangan bulat negatif. Jelas bahwa bilangan bulat tidak memuat bilangan pecahan ataupun bentuk akar.
Bilangan Bulat dapat dituliskan seperti berikut.
...., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .....

Perbandingan bilangan bulat
Pada garis bilangan bulat, bilangan yang berada di sebelah kiri pasti lebih kecil (nilainya kurang dari) bilangan yang ada di kanan. Hal ini menjadikan bahwa setiap bilangan negatif kurang dari 0 atau dapat dikatakan bahwa bilangan negatif pasti kurang dari bilangan positif.

Contoh:
-8 < 3 ( -8 berada di sebelah kiri 3) -4 > -9 (-4 berada di sebelah kanan -9)
7 > -10 (7 berada di sebelah kanan -10)

Berikut kami berikan trik cara mudah mengingat operasi penjumlahan bilangan bulat.
Lihat dan perhatikan pola berikut.


2 + 3 = 5 kalau semua negatif menjadi -2 + (-3) = -5

4 + 7 = 11 kalau semua negatif menjadi -4 + (-7) = -11

Kalimat Kunci :
Bilangan negatif ditambah bilangan negatif menjadi bilangan negatif yang lebih besar.

6 + (– 2) = 6 – 2 = 4 kalau posisi dibalik menjadi 2 – 6 = -4

12 + (– 5) = 12 – 5 = 7 kalau posisi dibalik menjadi 5 – 12 = -7

Kalimat kunci:
Penjumlahan dua bilangan bertanda tidak sama.
Tanda bilangan hasil mengikuti tanda bilangan yang besar.
Bilangan kecil dikurangi bilangan besar berupa bilangan negatif.


Cara mudah mengingat perkalian bilangan bulat
2 x 3 = 6
2 x (-3) = -6
-2 x 3 = -6
-2 x (-3) = 6

Tanda hasil perkalian dua bilangan bulat
(+) x atau ÷ (+) = (+)
(+) x atau ÷ (-) = (-)
(-) x atau ÷ (+) = (-)
(-) x atau ÷ (-) = (+)

Kalimat kunci:
Perkalian atau pembagian dua bilangan bertanda sama hasilnya bilangan positif.
Perkalian atau pembagian dua bilangan berbeda tanda hasilnya bilangan negatif.


Sifat-sifat bilangan bulat.
* Komutatif
1. a + b = b + a
2. a x b = b x a
contoh :
2 + (-6) = -6 + 2
-3 x 5 = 5 x (-3)

* Asosiatif
1. (a + b) + c = a + (b + c)
2. (a x b) x c = a x (b x c)
contoh :
(2 + (-6)) + 8 = 2 + ((-6) + 8)
(-3 x 5) x 2 = (-3) x ( 5 x 2 )

* Distributif perkalian terhadap penjumlahan atau perkalian
1. a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
2. a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
Contoh:
Perhatikan kesamaan hasil hitungan berikut
2 x ((-3) + 7) = (2 x (-3)) + (2 x 7)
2 x 4 = -6 + 14
8 = 8 (terbukti sama)

* Mempunyai bilangan identitas penjumlahan 0 (nol) dan identitas perkalian 1 (satu).
1. a + (-a) = -a + a = 0
2. a x 1= 1 x a = a
Contoh:
-6 + 6 = 6 + (-6) = 0
-12 + 12 = 12 + (-12) = 0
-9 x 1 = 1 x (-9) = -9
1 x 25 = 25 x 1 = 25


SOAL-SOAL LATIHAN
Penjumlahan dan Pengurangan (No. 8, 9, 10 untuk Contoh)
1. 9 + 7
2. 12 + (-3)
3. 19 – 8 – 7
4. 21 + (-8) – 6
5. -12 + 9 – (-10)
6. -15 – 8 + (-4)
7. -6 – 9 – (-7)
8. 10 + (-12) – (-15)
= 10 - 12 + 15
= -2 + 15
= 13
9. -14 - (-23) + 19 + (-7)
= -14 + 23 + 19 - 7
= -1 + 19 - 7
= 18 - 7
= 11
10. -24 + (-12) - 9 - (-16)
= -24 -12 - 9 + 16
= -45 + 16
= -29

Perkalian dan Pembagian (No. 8, 9, 10 untuk Contoh)
1. 3 x 9
2. 12 x (-3)
3. 36 : (-12)
4. -5 x (-8)
5. -48 : 6 x (-5)
6. -6 x (-3) x 2
7. 4 x 12 : (-6)
8. -24 : 8 x (-5)
= - 3 x (-5)
= 15
9. -60 : (-4) : (-3)
= 15 : (-3)
= -5
10. -72 : (-8) x 3
= 9 x 3
= 27

Operasi Hitung Campuran (No. 8, 9, 10 untuk Contoh)
1. -2 + 3 x (-5)
2. 5 – (-4) : 2
3. -12 : (-4) + 3 x (-6)
4. -10 + 6 x (-3) – (-4)
5. -24 + 36 : (-9) – 15
6. 24 + (-6) x 2 – (-20)
7. 30 + (-24) x 5 : (-6)
8. -75 – (-25) + 20 : 5
= -75 + 25 + 4
= -50 + 4
= -46
9. 60 – (-8) x 5 – 24
= 60 - (-40) - 24
= 60 + 40 - 24
= 100 - 24
= 76
10. (8 x (-7) – 4) : (-5)
= (-56 - 4) : (-5)
= -60 : (-5)
= 12




Privacy Policy

0 comments:

Asslm... wr. wb. Hai sobat sekalian, Sudah taukah sobat apa itu integral garis? Baiklah,, Pada postingan kali ini saya akan menjelas...

Integral Garis


Asslm... wr. wb.

Hai sobat sekalian,
Sudah taukah sobat apa itu integral garis?
Baiklah,,
Pada postingan kali ini saya akan menjelaskan tentang integral garis,,
Integral garis adalah integral pada bidang Dimensi-3 yg digunakan untuk mencari luas tirai.

Hah, pasti sobat bertanya dan berhayal tentang "tirai", 😁

Nah untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Pada gambar diatas terlihat jelas tirai yg terbentuk dari suatu garis C pada bidang xy, dan dibatasi oleh bidang z.

Garis C diberikan dalam persamaan parametrik dalam penggunaannya, seperti berikut:

Nah untuk menghitung luas tirai itu maka kita gunakan rumus dasarnya, sebagai berikut:

Waw... rumusnya panjang ya 😁
Yah begitulah matematika,

Ok, untuk lebih memahami maka sobat harus melihat contoh berikut:

Mudah bukan?

Jika kita memahami akar masalahnya pasti mudah.

Ok, sampai disini saja tutorial kali ini,
Saya akhiri
Asslm... wr. wb.




Privacy Policy

0 comments:

Asslm... sobat sekalian.. Kali ini saya akan sering tentang turunan fungsi komposisi, Sebelumnya sobat harus sudah mengerti tentang r...

TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI


Asslm... sobat sekalian..

Kali ini saya akan sering tentang turunan fungsi komposisi,

Sebelumnya sobat harus sudah mengerti tentang rumus dasar turunan dan juga fungsi komposisi, sehingga sobat tidak kebingungan,,

Ok langsung saja saya akan memberikan rumusnya.

Rumus turunan fungsi komposisi:
Gambar tersebut saya tulis tangan sendiri agar terkesan kreatif 😁
walaupun tidak cantik gambarnya..

Nah sebagai tambahan agar lebih memahami marilah kita perhatikan contoh ini:
Lambang o pada contoh diatas itu adalah lambang komposisi fungsi.

Mungkin sekian dulu ya postingan untuk rumus ini, semoga bermanfaat,,




Privacy Police

0 comments:

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah s...

INTEGRAL



Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Sejarah Singkat
Sejarah dari integral tidak lain merupakan bagian dari sejarah kalkulus. Dan Sejarah perkembangan kalkulus bisa dilihat dari beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.
Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Dan Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus.

Macam-macam Integral

1. Integral Tak Tentu
Integral tak tentu yang seperti sebelumnya dijelaskan adalah merupakan sebuah invers atau kebalikan dari turunan. Yang mana, apabila sebuah turunan dari suatu fungsi, jika diintegralkan akan menghasilkan sebuah fungsi itu sendiri.

Integral tak tentu menghasilkan fungsi dengan konstanta tak tentu C.

Rumus mencari integral tak tentu adalah:

dengan C adalah konstanta yang belum diketahui.

2. Integral Tertentu
Integral tertentu atau ada yang menyebutnya integral tentu merupakan pencarian luas daerah yang dibatasi oleh batas atas, batas bawah, dan batas horizontal.
Contoh gambar:

Integral tentu menghasilkan nilai suatu bilangan.

Rumus integral tentu adalah:

dengan adalah fungsi dari hasil pengintegralan tak tentu.




Privacy Policy

0 comments:

Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma alami. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli mate...

Bilangan e


Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma alami. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan Ο€. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekuivalen; sebagian ada di bawah.

Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah:

e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352


Sejarah Singkat

Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung suatu daerah di bawah hiperbola persegi panjang.Apakah dia mengetahui hubungan antara daerah di bawah hiperbola persegi panjang berhubungan dengan logaritma? Hal ini masih diperdebatkan. Saat tahun 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola persegi panjang dengan logaritma. Dia memeriksa secara eksplisit dan intensif hubungan antara daerah di bawah persegi panjang hiperbola "yx = 1" dan logaritma. Tentu saja, nilai e adalah sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 sampai e sama dengan 1. Tetapi karyanya tidak benar-benar diakui karena dia tidak menyebutkan bilangan ‘e’ secara jelas atau eksplisit.

Jacob Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas itu harus terletak antara 2 dan 3 sehingga kita bisa menganggap hal ini menjadi pendekatan pertama ditemukannya e. Dia juga menerima ini sebagai definisi e. Akan tetapi jelas tidak mengakui hubungan antara karyanya ada kaitannya dengan pada logaritma.

Saat ini tentu saja dari persamaan x = at, kami menyimpulkan bahwa t = log x di mana basis log nya a. Dari sini kita benar-benar berpikir bahwa log adalah sebuah fungsi, sementara awal logaritma terfikirnya atau diciptakan adalah sebagai alat bantu perhitungan. Jacob Bernoulli lah yang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial.

Pada tahun yang sama itu Leibniz menulis surat kepada Huygens dan dalam hal ini ia menggunakan notasi b untuk apa yang sekarang kita sebut e. Akhirnya nomor e punya nama (bahkan jika tidak salah satu yang sekarang) dan itu yang diakui. Mungkin sekarang sobat allmipa bertanya kenapa kita tidak belajar sejarah bilangan ‘e’ dari pertama kali nilai ‘e’ muncul. Alasannya adalah karena walaupun pekerjaan yang sebelumnya kita bahas, tidak menyebutkan atau mengatur tentang apa itu ‘e’, perlahan-lahan setelah ‘e’ didefinisikan kita mulai menyadari bahwa karya sebelumnya relevan. Kilas baliknya, perkembangan awal logaritma merupakan bagian dari pemahaman tentang nilai ‘e’.

Nah sekarang pertanyaannya Kenapa e? Kenapa tidak a, b, atau c, atau d atau alfabey yang lain?

Hal itu dikarenakan Leonhard Euler lah yang pertama kali menemukan bahwa e notasi untuk nomor ini. Ada yang mengklaim bahwa Euler menggunakan huruf e karena itu huruf pertama dari namanya. Ini mungkin terjadi karena e berasal dari "eksponensial". Apapun alasannya, notasi e pertama kali muncul dalam sebuah surat Euler kepada Goldbach pada tahun 1731. Dia membuat berbagai penemuan mengenai e tahun-tahun berikutnya, tetapi tidak sampai 1748 ketika Euler menerbitkan “Introductio di analysin infinitorum” Dia menunjukkan bahwa :
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

Dalam suatu analisis matematika, Identitas Euler adalah persamaan:
Di mana persamaan tersebut menunjukkan pada kita sobat allmipa bahwa ada hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:
0 adalah identitas penjumlahan
1 adalah identitas perkalian
e adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya adalah mendekati 2.71828182845905,
i adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah -i), dan
adalah Pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya adalah mendekati 3.14159265358979.
Harap perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penjumlahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul satu kali.
Identitas Euler diciptakan atau ditujukan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.
Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik (1, 0) pada bidang kompleks sebesar 180° (radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar 1 searah sumbu X. Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal (0, 0).

Penggunaan Bilangan e

* Bunga Bank
Awalnya, pada abad ke-17, seorang fisikawan dan matematikawan bernama Jacob Bernoulli tertarik dengan masalah bunga bank. Misalkan kita menyimpan uang 1 dolar di bank dan bank memberikan beberapa penawaran bunga seperti berikut ini.

Bank mau memberikan bunga 100% setiap tahun. Setelah setahun uang kita akan bertambah 100% sehingga di tahun berikutnya uang kita menjadi (1 + 1 × 100%) dolar = 2 dolar.
Penawaran 50% setiap 6 bulan sekali. Dalam 6 bulan pertama uang kita menjadi (1 + ½), dan enam bulan berikutnya menjadi (1 + ½) + [(1 + ½ ) × ½] = 1 × (1 + 1/2)2 = 2,25 dolar. Wow! Semakin beruntung!

Bagaimana jika kita buat penambahan bunganya semakin sering? Misalnya, penawaran 1 kali dalam sebulan untuk setahun dengan bunga (1/12) dari tabungan awal. Kita akan mendapat 1 × (1 + 1/12)12 = 2,61 dolar.
Untuk penawaran 1 kali dalam satu minggu dengan bunga (1/52) dari tabungan, kita bisa mendapatkan 1 × (1 + 1/52)52 = 2,69 dolar.
Bagaimana jika bunganya semakin sering seperti dalam sehari, setiap jam, setiap menit, setiap detik, setiap nanodetik, dan seterusnya menjadi pemberian bunga yang selalu berlanjut? Berapa hasil yang didapat untuk pemberian bunga yang selalu berlanjut itu? Itulah yang Bernoulli ingin ketahui. Namun, dia tidak berhasil mendapatkannya saat itu. Dia hanya mengira bahwa hasil itu haruslah suatu angka di antara 2 dan 3. Nah, 50 tahun kemudian Euler yang berhasil menemukannya. Euler mendefinisikannya sebagai formula baru, yaitu:

* Menghitung jumlah penduduk
untuk menghitung jumlah penduduk suatu negara jika diketahui laju pertumbuhan. Misalkan Indonesia memiliki laju pertumbuhan penduduk r = 1,2% per tahun. Pada tahun 2013, jumlah penduduk Indonesia adalah P0 = 249,9 juta jiwa. Dengan memanfaatkan bilangan Euler, jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2023 (atau 10 tahun kemudian) dapat diprediksi sebagai berikut:

* Fisika Atom
Di dalam pelajaran fisika atom, bilangan e sering dipakai untuk mengukur peluruhan unsur radioaktif. Contoh kasusnya, jika 100,0 mg neptunium-239 (239Np) meluruh menjadi 73,36 mg setelah 24 jam, berapakah laju peluruhan per harinya? Kita bisa menggunakan persamaan berikut ini:
dengan Ξ» adalah laju peluruhan. Perhatikan pangkat negatif pada argumen e menunjukkan bahwa nilai N selalu meluruh atau lebih kecil dibandingkan N0. Dengan memasukkan bilangan-bilangan yang diketahui, kita bisa uraikan:
Dengan demikian, kita peroleh laju peluruhan neptunium adalah sekitar 31% per hari.

Sekian postingan kali ini, semoga bermanfaat.

Bahan bacaan:

Ulasan dari akun Numberphile di Youtube seputar bilangan Euler.
https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant).




Privacy Policy

0 comments:

Postingan kali ini saya akan membagikan materi eksponen dan logaritma melalui disertai dengan aplikasi dalam masalah nyata yg saya bagikan ...

Eksponen dan Logaritma


Postingan kali ini saya akan membagikan materi eksponen dan logaritma melalui disertai dengan aplikasi dalam masalah nyata yg saya bagikan melalui google drive.
Eksponen dan Logaritma itu membahas tentang bagaimana sifat sifat perpangkatan bilangan. Eksponen itu mencari hasil perpangkatan. Logaritma itu mencari pangkatnya.

Perhatikan bentuk berikut:
Untuk bentuk eksponen:
$a^b=c$

Sedangkan untuk bentuk logaritma itu ada 2 versi.

Dari bentuk eksponen diatas maka bentuk logaritmanya (versi pertama) adalah:
$^alog(c)=b$

dan versi keduanya adalah:
$log_a (c)=b$

bisa kita lihat bahwa eksponen itu dua bilangan yg dipangkatkan, dan logaritma itu mencari nilai pangkat dari persamaan eksponen.

Kita hanya tinggal mengubah bentuknya saja, dari bentuk eksponen menjadi bentuk logaritma.
Untuk lebih jelasnya, maka saya akan membagikan materinya dalam bentuk file pdf.
Berikut ini filenya:

Materi Eksponen dan Logaritma

Mungkin sekian dulu postingan ini, semoga artikel ini bermanfaat.





Privacy Policy

0 comments: