PERSAMAAN KUADRAT (LENGKAP) - mathematic.my.id

PERSAMAAN KUADRAT (LENGKAP)

Persamaan Kuadrat

Berikut ini akan disajikan materi, soal, dan pembahasan tentang persamaan kuadrat (PK) secara singkat, padat, dan jelas.

Materi:

1. Bentuk Umum

Bentuk umum PK: $$ax^2+bx+c=0$$ dengan:
$a,~b,~c=$ bilangan ril.
$a \ne 0$.
Akar-akar persamaan kuadrat ada dua yaitu $x_1$ dan $x_2$.

2. Menentukan akar-akar

Ada 3 cara mencari akar-akar persamaan kuadrat:

1. Memfaktorkan

Contoh a:
Faktorkanlah $x^2-3x+2=0$
Jawab:
kita harus mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 2 dan jika dijumlahkan hasilnya $-3$ mudah untuk kita tebak kedua bilangan itu yakni: $-1$ dan $-2$. Jadi bentuk faktornya adalah: $(x-1)(x-2)=0$
Contoh b:
Faktorkanlah $2x^2-3x-2=0$
Jawab:
Berbeda dengan contoh a karena koefisien $x^2$ tidak bernilai 1. Caranya, kita kalikan koefisien $x^2$ dengan konstanta yang merupakan hasil konstanta baru dan koefisien $x^2$ menjadi 1, maka diperoleh:
$x^2-3x-4=0$ setelah itu faktorkan seperti contoh a, maka diperoleh $(x-4)(x+1)=0$ terakhir kita bagi dengan koefisien $x^2$ pada PK pertama, maka diperoleh: $$\left(x-\frac{4}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=0$$

2. Melengkapkan bentuk kuadrat

Perhatikan perubahan bentuk berikut: $$ax^2+bx+c=0$$ $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$ $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+\frac{c}{a}=0$$ bentuk akhir ini adalah bentuk kuadrat sempurna.
Contoh:
Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari $$-5x^2+3x+1=0$$ Jawab:
$$x^2-\frac{3}{5}x-\frac{1}{5}=0$$ $$\left(x-\frac{3}{10}x\right)^2+\frac{9}{100}-\frac{1}{5}=0$$ $$\left(x-\frac{3}{10}x\right)^2-\frac{11}{100}=0$$

3. Rumus $abc$:

Rumus ini diperoleh dari bentuk kuadrat sempurna yang mengakibatkan akar-akarnya dapat diperoleh secara langsung. Rumusnya adalah:
$$x_{1,~2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

3. Diskriminan (D)

Rumusnya: $~D=b^2-4ac$.
Sifat-sifatnya:

1. $~D>0$ (Akar-akar PK adalah ril dan berbeda).

2. $~D=0$ (Akar-akar PK sama atau kembar).

3. $~D<0$ (Akar-akar PK imajiner atau tidak ril).


4. Rumus-Rumus Akar

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ maka:
1. $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ 2. $$x_1.x_2=\frac{c}{a}$$ 3. $$x_1-x_2=\pm \frac{D}{a}$$

5. Membentuk Persamaan Kuadrat Baru

$x^2-$(jlh akar) $x+$ hasil kali akar $=0$

Rumus-rumus penjabaran akar-akar persamaan kuadrat

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, maka berlaku:
1. $~{x_1}^2+{x_2}^2=$$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
2. $~{x_1}^3+{x_2}^3=$$(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
3. $~{x_1}^2-{x_2}^2=$$(x_1+x_2)(x_1-x_2)$


Soal + Pembahasan:

1. Jika $~a-b=-12~$ dan $~a.b=-20~$ maka ....
A. $a < b$
B. $a>b$
C. $a=b$
D. $a \ge b$
E. Hubungan $a$ dan $b$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban A.
Karena angkanya kecil maka kita dapat dengan mudah menebaknya secara pasti bahwa $a=-10$ dan $b=2$. Jadi $a < b$.

2. Jika $p-q=8$, $~pq=12$, $~x=p^2+q^2-12$, dan $y=64$ maka ....
A. $x < y$
B. $x>y$
C. $x=y$
D. $x \ge y$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban B.
Jika kita tebak bahwa $6$ dan $2$ atau $-2$ dan $-6$ ini tidak memenuhi. Maka kita gunakan cara lain, yakni secara aljabar bahwa dari $$p^2+q^2=(p-q)^2+2pq$$ $$p^2+q^2=(8)^2+2(12)$$ $$p^2+q^2=88$$ sehingga $x=88-12=76$. Jadi $x>y$.

3. Akar-akar dari persamaan kuadrat: $x^2-x-12=0$ adalah ....
A. 3 atau 4 $\quad~$D. $-2$ atau 6
B. $-3$ atau 4 $\quad~$ E. $-6$ atau 2
C. 3 atau $-4$
Penyelesaian:
Jawaban B.
Mudah bagi kita untuk memfaktorkannya, kita menebak dua bilangan yang hasil kalinya $-12$ dan hasil jumlahnya $-1$, ya benar bilangan itu adalah $-4$ dan 3. Sehingga faktornya adalah $(x-4)(x+3)=0$. Jadi $x=4$ atau $x=-3$.

4. Akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2-7x-15=0$ adalah ....
A. 2 atau 5 $\quad~$D. $-3/2$ atau 5
B. $-2$ atau 5 $\quad~$ E. $3/2$ atau $-5$
C. $3/2$ atau 5
Penyelesaian:
Jawaban D.
ingat kembali bahwa jika koefisien $x^2$ tidak sama dengan satu, maka terlebih dahulu kalikan koefisiennya dengan konstanta sehingga diperoleh PK baru: $$x^2-7x-30=0$$ $$(x-10)(x+3)=0$$ Kemudian kita bagi dengan koefisien $x^2$, jadi: $$\left(x-\frac{10}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)=0$$ $x=-\frac{3}{2}$ atau $x=5$

5. Pemfaktoran dari persamaan kuadrat $$9x^2-16y^2=0$$ adalah ....
A. $(9x-16y)(9x+16y)=0$
B. $(3x-4y)(3x+4y)=0$
C. $(4x-3y)(4x+3y)=0$
D. $(x-3)(x+4)=0$
E. $(x-4)(x-3)=0$
Penyelesaian:
Jawaban B.
ingat kembali bentuk aljabar $a^2-b^2=(a-b)(a+b)=0$. Perhatikan bahwa $$9x^2-16y^2=0$$ $$(3x)^2-(4y)^2=0$$ $$(3x-4y)(3x+4y)=0$$

6. Jika $9x^2-25y^2=56$ dan $3x+5y=14$ maka ....
A. $x < y$
B. $x>y$
C. $x \ge y$
D. $x=y$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa $$9x^2-25y^2=56$$ $$(3x-5y)(3x+5y)=56$$ $$(3x-5y)(14)=56$$ $$3x-5y=4$$ kemudian kita tambahkan dan kurangkan dengan $3x+5y=14$ maka diperoleh $6x=18$ atau $x=3$ dan $-10y=-10$ atau $y=1$. Jadi $x>y$.

7. $x~$ dan $~y~$ adalah bilangan asli dengan $~x>y$. Jika $~x^2-10x+24=0~$ dan $~xy+x+y=34~$ maka nilai $~x.y=....$
A. 35 $\quad~$D. 12
B. 24 $\quad~$ E. 10
C. 18
Penyelesaian:
Jawaban B.
Perhatikan bahwa $$x^2-10x+24=0$$ $$(x-6)(x-4)=0$$ sehingga $x=6$ atau $x=4$, kemudian kita substitusikan ke $$xy+x+y=34$$ maka diperoleh pasangan $(x,~y)$ yakni $(6,~4)$ dan $(4,~6)$. Karena diketahui $~x>y~$ maka kita ambil pasangan $(6,~4)$. Jadi $~x.y=24$.

8. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $x^2-3x+7=0$ maka nilai ${x_1}^2+{x_2}^2+3x_1x_2=...$
A. 4 $\quad ~$ D. 23
B. 10 $\quad ~$ E. 30
C. 16
Penyelesaian:
Jawaban C.
Perhatikan bahwa $${x_1}^2+{x_2}^2+3x_1x_2$$ $$=(x_1+x_2)^2+x_1x_2$$ Kita tahu $x_1+x_2=-b/a=3$ dan $x_1.x_2=7$ maka $$=(3)^2+7=16$$
9. Jika $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan $3x^2-12x+21=0$ maka nilai dari $p^2+q^2+7pq=...$
A. 65 $\quad ~$ D. 49
B. 63 $\quad ~$ E. 35
C. 51
Penyelesaian:
Jawaban C.
$$p^2+q^2+7pq$$ $$=(p+q)^2+5pq$$ $p+q=-(-12)/3$,$~p+q=4$
$pq=21/3=7$. Jadi, $$(p+q)^2+5pq$$ $$=(4)^2+5(7)=51$$
10. Diketahui $a_1$ dan $a_2$ adalah akar-akar dari persamaan $a^2-6a-5=0$. Jika $m=a_1^2+a_2^2$ dan $n=(a_1+a_2)^2$ maka ....
A. $m < n$
B. $m=n$
C. Hubungan $m$ dan $n$ tidak dapat ditentukan
D. $m=n/2$
E. $m>n$
Penyelesaian:
Jawaban E.
Perhatikan bahwa $$m=(a_1+a_2)^2-2a_1a_2$$ $$m=(6)^2-2(-5)=46$$ dan $$n=(6)^2=36$$ Jadi $~m>n$.

11. Jika diketahui $~m+n=20~$ dan $~mn=19~$ maka ....
A. $~m < n$
B. $~m=n$
C. Hubungan $m$ dan $n$ tidak dapat ditentukan
D. $~m+n>1$
E. $~m>n$
Penyelesaian:
Jawaban C.
Karena bilangannya kecil maka mudah bagi kita untuk menentukan nilai $m$ dan $n$ yakni $(m,n)=(19,1)$ dan $(m,n)=(1,19)$. Karena ada lebih dari satu kemungkinan maka hubungan $m$ dan $n$ tidak dapat ditentukan.

12. Jika $~a-b=-12~$ dan $~ab=-20~$ maka ...
A. $~a>b$
B. $~a < b$
C. $~a=b$
D. $~a+b=0$
E. Hubungan $a$ dan $b$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban B.
Mudah kita tentukan nilai $a$ dan $b$ yakni $a=-2$ dan $b=10$. Jadi $a < b$.

13. Jika $a^3+a^2+a+2=x$ dan $a^4+3a^3+3a^2+$$3a+2=y$, maka ...
A. $~x>y$
B. $~x < y$
C. $~x=y$
D. $~x+a=y$
E. Hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban E.
Perhatikan bahwa $a^4+3a^3+3a^2+$$3a+2=a^4+$$3(a^3+a^2+a)+2$ $=a^4+3(x-2)+2=y$, bentuk terakhir ini tidak dapat disederhanakan lagi sehingga hubungan $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.

14. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5 adalah ...
A. $~x^2-2x-5=0$
B. $~x^2-5x-2=0$
C. $~x^2-7x-10=0$
D. $~x^2-7x+10=0$
E. $~x^2+7x+10=0$
Penyelesaian:
Jawaban D.
ingat rumus membentuk persamaan kuadrat. Jadi mudah kita peroleh: $x^2-7x+10=0$

15. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat $~m^2+5m-6=0~$ adalah ...
A. $~m^2+10m-24=0$
B. $~m^2+10m-12=0$
C. $~2m^2+10m-12=0$
D. $~m^2-10m+24=0$
E. $~2m^2+5m-6=0$
Penyelesaian:
Jawaban A.
Perhatikan bahwa:
Jumlah akar-akarnya adalah: $$2m_1+2m_2=2(m_1+m_2)$$ $$=2(-5)=-10$$ dan
Hasil kali akar-akarnya adalah: $$2m_1.2m_2=4.m_1.m_2$$ $$4.(-6)=-24$$ Jadi PK barunya adalah: $m^2+10m-24=0$.

16. Jumlah dua bilangan riil adalah 4 dan selisih kuadrat dari kedua bilangan tersebut adalah 12. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kedua bilangan tersebut adalah ...
A. $~x^2-4x+7=0$
B. $~x^2-4x-7=0$
C. $~2x^2-8x+7=0$
D. $~4x^2-16x+7=0$
E. $~4x^2-16x-7=0$
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalkan bilangan itu $x_1$ dan $x_2$ maka $x_1+x_2=4$ dan $x_1^2-x_2^2=12$ sehingga kita tinggal mencari nilai $x_1.x_2$. Perhatikan bahwa: $$x_1^2-x_2^2=4(x_1-x_2)$$ $$12=4(x_1-x_2)$$ $$x_1-x_2=3$$ kemudian eliminasikan dengan $x_1+x_2=4$ maka diperoleh $x_1=7/2$ dan $x_2=1/2$ sehingga $x_1.x_2=7/4$. Jadi PK barunya adalah: $$x^2-4x+\frac{7}{4}=0$$ kedua ruas kita kali 4 menjadi: $$4x^2-16x+7=0$$
17. Selisih dua bilangan adalah 6, dan jika kedua bilangan dijumlahkan hasilnya adalah 32. Berapa selisih dari kuadrat kedua bilangan tersebut?
A. 198 $\quad ~$ D. 192
B. 204 $\quad ~$ E. 288
C. 216
Penyelesaian:
Jawaban D.
Misalkan kedua bilangan itu $a$ dan $b$ maka $a-b=6$ dan $a+b=32$, jika kita kalikan maka hasilnya $a^2-b^2=192$.

18. Selisih dua bilangan positif adalah 5. Jumlah kuadratnya sama dengan 1500 kurangnya dari kuadrat jumlah kedua bilangan itu. Jumlah kedua bilangan tersebut adalah ...
A. 45 $\quad ~$ D. 60
B. 50 $\quad ~$ E. 65
C. 55
Penyelesaian:
Jawaban C.
Misalkan kedua bilangan positif itu adalah $a$ dan $b$, maka $a-b=5$, $~a^2+b^2=(a+b)^2-1500$. Perhatikan bahwa $$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$ $$a^2+b^2=25+2ab$$ sehingga diperoleh: $$25+2ab=(a+b)^2-1500$$ $$1525=a^2+b^2$$ kemudian substitusikan ke $~a^2+b^2=(a+b)^2-1500$ maka diperoleh: $~1525=(a+b)^2-1500$. Jadi $~a+b=\sqrt{3025}$$=55$.

19. Jika $x^2-43=200$ dan $y+6x=20$, maka pernyataan berikut yang benar adalah ...
A. $x>y$ untuk semua nilai $x$.
B. $x>y$, jika $x$ bilangan positif.
C. $x < y$, jika $x$ bilangan positif.
D. $3x>2y$ untuk semua nilai $x$.
E. $x$ dan $y$ tidak dapat ditentukan.
Penyelesaian:
Jawaban B.
Kita tahu bahwa $x=\pm 9\sqrt{3}$ maka:
Jika $x=9\sqrt{3}$ maka $y=20-54\sqrt{3}$, dan
Jika $x=-9\sqrt{3}$ maka $y=20+54\sqrt{3}$
Dari kedua pasangan $x$ dan $y$ itu maka jelas bahwa hanya opsi B yang benar.

20. Jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-5x+(k+3)=0$ dan $a^3+b^3=35$, maka nilai $k=...$
A. $-15 \quad ~~$ D. 3
B. $-13\frac{2}{3} \quad ~$ E. 15
C. $-3$
Penyelesaian:
Jawaban D.
Secara aljabar, $$a^3+b^3$$ $$=(a+b)^3-3ab(a+b)$$ $$=(5)^3-3(k+3)(5)$$ $$-15k+80=35$$ $$k=3$$

1 Response to "PERSAMAAN KUADRAT (LENGKAP)"

  1. Asslkm, pran untukvmelengkapkan kuadrat coba diuraikan lagi sebelum dapat baris yg ketiga, supaya siswa sy paham.

    ReplyDelete

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel