PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU - mathematic.my.id

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

Persamaan Diferensial Orde satu

Sebelum membahas lebih jauh maka anda diharuskan sudah menguasai materi turunan fungsi aljabar, turunan implisit, turunan fungsi trigonometri dan inversnya, turunan fungsi eksponen dan logaritma, dan teknik menghitung integral. Jika anda belum menguasai materi prasyarat di atas, maka anda dapat membacanya di link berikut ini:
1. Turunan fungsi aljabar
2. Turunan implisit
3. Turunan fungsi trigonometri dan inversnya
4. Turunan fungsi eksponen dan logaritma
5. Teknik menghitung integral
Jika anda sudah menguasai semua materi prasyarat di atas, maka anda dapat melanjutkan mempelajari materi persamaan diferensial orde satu ini.

1. Pengantar Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang metematika yang banyak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalah-masalah fisis tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk PD. Pada perkembangan ilmu sekarang, PD sebagai model yang banyak dijumpai dalam bidang-bidang sains, teknologi (teknik), biologi, ekonomi, ilmu sosial, demografi. PD digunakan sebagai alat untuk mengetahui kelakuan maupun sifat-sifat solusi masalah yang ditinjau. Karena itu, penting sekali mempelajari PD. Dalam postingan ini akan dipelajari PD yang lebih sederhana yaitu PD orde satu. Setelah mempelajari materi ini, anda diharapkan memahami metode penyelesaian PD orde satu dan terampil menggunakannya. Secara lebih rinci, setelah mempelajari ini anda diharapkan dapat:
1. Mengidentifikasi tipe-tipe PD orde satu yang dapat diselesaikan.
2. Menentukan solusi umum PD orde satu.
3. Menentukan PD orde satu yang solusi umumnya diberikan.
4. Menentukan solusi khusus dengan menggunakan syarat awal.
5. Memilih metode dan menggunakannya untuk menyelesaikan PD orde satu.
6. Memberikan contoh masalah konkret yang dapat dirumuskan dalam bentuk PD orde satu serta menyelesaikannya dengan tuntas.

Definisi 1.1:
Suatu PD orde satu dapat dinyatakan secara umum dalam dua bentuk yaitu:
Bentuk Implisit:
$$F\left(x,~y,~\frac{dy}{dx}\right)=0$$ atau $$F(x,~y,~y')=0$$
Bentuk Eksplisit:
$$\frac{dy}{dx}=f(x,~y)$$ atau $$y'=f(x,~y)$$

Contoh PD orde satu bentuk implisit:
$$xy'+y^2+x^2+1=0$$ atau $$x\frac{dy}{dx}+y^2+x^2+1=0$$

Contoh PD orde satu bentuk eksplisit:
$$y'=2y+e^x$$ atau $$\frac{dy}{dx}=2y+e^x$$

Contoh PD yang bukan orde satu:
$$y''=2y+e^x$$ atau $$\frac{d^2y}{dx^2}=2y+e^x$$

Definisi 1.2:
Suatu fungsi $~y=y(x)~$ dikatakan solusi PD orde satu jika $~y=y(x)~$ dan turunannya $~y'~$ memenuhi PD orde satu.

Contoh 1.1:
Anda dapat memeriksa bahwa $~y=x^2+1~$ adalah solusi PD: $~y'=2x.~$ Demikian pula $~y=x^2+C~$ dengan $~C~$ adalah konstanta, juga merupakan solusi PD: $~y'=2x.$

Catatan:
Solusi PD yang menggunakan konstanta $~C~$ disebut solusi umum, sedangkan solusi yang tidak berkonstanta $~C~$ karena telah disubatitusikan oleh nilai fungsi yang diketahui disebut solusi khusus.

Jadi solusi umum suatu PD masih memuat konstanta $C$, sedangkan solusi khusus diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta $C$ suatu bilangan tertentu atau suatu solusi yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan, misalnya syarat awal.

Contoh 1.2:
Tentukan solusi PD: $y'=cos~x$.
Penyelesaian:
Integralkan kedua ruas, maka diperoleh solusi umum PD itu adalah $y=sin~x+C$.
Jika diketahui $y(\pi/2)=10$ maka kita substitusikan $x=\pi/2$ dan $y=10$ sehingga diperoleh $$10=sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+C$$ $$C=10-1=9$$ sehingga solusi khususnya adalah $y=sin~x+9$.

Contoh 1.3:
Tentukan solusi PD $y'=x^{-1}$.
Penyelesaian:
Kita integralkan kedua ruas maka diperoleh $y=ln(x)+C$.

2. PD Orde Satu Variabel Terpisah

Definisi 2.1:
PD orde satu yang dapat ditulis dalam bentuk $$g(y).y'=f(x)$$ disebut PD orde satu variabel terpisah.
Dengan mengambil $$y=\frac{dy}{dx}$$ maka PD orde 1 variabel terpisah dapat dituliskan dalam bentuk $$g(y)~dy=f(x)~dx$$

Contoh 2.1:
PD: $~xyy'+x^2+1=0~$ adalah PD variabel terpisah karena jika semua ruas kita bagi dengan $x$ maka diperoleh $$yy'+\left(\frac{x^2+1}{x}\right)=0$$ atau $$yy'=-\left(\frac{x^2+1}{x}\right)$$

Contoh 2.2:
Ubahlah PD $~x(y+1)y'+x^2(y^2+4)=0~$ ke dalam bentuk variabel terpisah!
Penyelesaian:
Kita dapat mengubah bentuknya secara aljabar maka $$x(y+1)y'+x^2(y^2+4)=0$$ $$x(y+1)y'=-x^2(y^2+4)$$ $$\left(\frac{y+1}{y^2+4}\right)y'=-x$$ $$\left(\frac{y+1}{y^2+4}\right)~dy=-x~dx$$

Catatan:
Tidak ada cara khusus untuk mengubah bentuk PD orde 1 variabel terpisah. Untuk menyelesaikan PD orde 1 variabel terpisah, cukup mengintegralkan kedua ruas menjadi: $$\int f(y)~dy=\int f(x)~dx+C$$


Contoh 2.3:
Tentukan solusi dari PD $~xyy'+x^2+1=0$.
Penyelesaian:
Mudah kita ubah bentuk $~xyy'+x^2+1=0~$ menjadi: $$y~dy=-x-\frac{1}{x}~dx$$ sehingga: $$\int y~dy=\int \left(-x-\frac{1}{x}\right)~dx$$ $$\frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}x^2-ln |x|+C$$

3. PD Orde Satu Homogen

Definisi 3.1:
Suatu PD orde satu dikatakan homogen apabila dapat diubah kedalam bentuk: $$y'=g\left(\frac{y}{x}\right)$$

Metode penyelesaian PD orde satu homogen dilakukan dengan substitusi $z=y/x$ sehingga PD homogen itu berubah menjadi PD variabel terpisah.
PD homogen dapat diselesaikan dengan rumus:
$$\int \frac{dz}{g(z)-z}= ln~x+C$$ dimana $$z=\frac{y}{x}$$

Contoh 3.1:
Tentukan solusi $~2xyy'+x^2-2y^2=0$.
Penyelesaian:
Semua ruas kita bagi $2x^2$ maka diperoleh: $$\frac{y}{x}y'+\frac{1}{2}-\left(\frac{y}{x}\right)^2=0$$ $$zy'+\frac{1}{2}-z^2=0$$ $$y'=z-\frac{1}{2z}=g(z)$$ $$\int \frac{dz}{g(z)-z}=\int \frac{dz}{-\frac{1}{2z}}$$ $$\int \frac{dz}{-\frac{1}{2z}}=-\int 2z~dz=-z^2$$ Jadi solusinya adalah: $~-\left(\frac{x}{y}\right)^2=ln~x+C$.

Contoh 3.2:
Solusi dari $$x.sin\left(\frac{y}{x}\right).y'=y.sin\left(\frac{y}{x}\right)+x$$ adalah ....
Penyelesaian:
Semua ruas kita bagi $x$ dan dengan mengganti $y/x=z$ maka diperoleh: $$y'=\frac{1+z.sin~z}{sin~z}=g(z)$$ $$\frac{dz}{g(z)-z}=\frac{dz}{1/sin~z}$$ $$\frac{dz}{g(z)-z}=sin~z~dz$$ $$\int sin~z~dz=-cos~z$$ Jadi solusinya adalah: $$-cos\left(\frac{y}{x}\right)=ln~x+C$$

4. PD Orde Satu Linear

Bentuk Umum:
$$(a_1x+b_1y+c_1)dx+(a_2x+b_2y+c_2)dy=0$$
Cara penyelesaian terdiri atas 3 kasus:
1. Jika $a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2=k$ maka PD berubah menjadi $k~dx+dy=0$ yang merupakan PD variabel terpisah.

2. Jika $a_1/a_2=b_1/b_2=k\ne c_1/c_2$, maka dengan substitusi $u=a_2x+b_2y$ mengakibatkan bentuk umum akan menjadi bentuk PD variabel terpisah berikut: $$dx+m~du=0$$ dimana $$m=\frac{u+c_2}{(k.b_2-a_2)u+b_2.c_1-a_2.c_2}$$

3. Jika $a_1/a_2 \ne b_1/b_2$, maka dengan substitusi $u=a_1x+b_1y+c_1$ dan $v=a_2x+b_2y+c_2$ suatu PD homogen $(b_2u-a_2v)du+(a_1v-b_1u)dv=0$, atau $$\frac{dv}{du}=\frac{a_2z-b_2}{a_1z-b_1}=g(z)$$ dimana $$z=\frac{v}{u}$$ Sehingga kita tingga menyelesaikan PD homogen: $$\int \frac{dz}{g(z)-z}=ln|u|+C$$


Contoh 4.1:
Tentukan solusi umum PD: $$(4x-6y+2)dx+(2x-3y+3)dy=0$$
Penyelesaian:
Ini adalah cara penyelesaian pada kasus 2 yakni $$m=\frac{u+3}{-8u-12}$$ $$m=-\frac{1}{8}\left(\frac{u+3}{u+3/2}\right)$$ $$m=-\frac{1}{8}\left(1+\frac{3/2}{u+3/2}\right)$$ Kemudian semua ruas dari $~dx+m~du=0$ kita integralkan, diperoleh:
$$x-\frac{1}{8}\left[u+\frac{3}{2}ln\left(u+\frac{3}{2}\right)\right]=C$$ Jika kita substitusikan $u=2x-3y$ maka diperoleh solusi umumnya: $$6x+3y-\frac{3}{2}ln\left(2x-3y+\frac{3}{2}\right)=C$$

Contoh 4.2:
Tentukan solusi umum PD: $$(2x-y+2)dx+(x+2y+2)dy=0$$ Penyelesaian:
Ini adalah kasus 3, maka $$\frac{dv}{du}=\frac{v-2u}{u+2v}$$ Jika $v/u=z$, maka dengan membagikan pembilang dan penyebut dengan $u$ diperoleh: $$\frac{dv}{du}=\frac{z-2}{1+2z}=g(z)$$ mudah bagi kita untuk menyelesaikan $$\int \frac{dz}{g(z)-z}$$ Sehingga solusi umumnya adalah: $$u^2(z^2+1)=C^2.e^{-tan^{-1}z}$$


5. PD Orde Satu Eksak

Misalkan $f(x,~y)$ adalah suatu fungsi dua variabel maka diferensial total $df$ adalah: $$df=\frac{\partial f}{\partial x} dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$
Contoh 5.1
Tentukan diferensial total fungsi $f(x,~y)=x^3y^2$
Penyelesaian:
$$df=3x^2y^2dx+2x^3ydy$$

Contoh 5.2
Tentukan diferensial total fungsi $f(x,~y)=x.sin~y-y^2$
Penyelesaian:
$$df=sin~y~dx+(x.cos~y-2y)~dy$$

Sekarang PD orde satu eksak didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 5.1:
Suatu PD orde satu berbentuk: $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ disebut eksak apabila terdapat fungsi $f(x,y)$, sehingga $df(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy$ dan syarat penting: $$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$

Penyelesaian PD Eksak:
Karena $$\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)$$ dan $$\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$$ maka: $$f(x,y)=\int M(x,y)~dx+g(y)=C$$ dimana $$\frac{\partial (\int M(x,y)~dx)}{\partial y}+g'(y)=N(x,y)$$ Kemudian kita tinggal mencari $g(y)=\int g'(y)~dy$


Contoh 5.3
Solusi umum persamaan diferensial $$\left(x+\frac{2}{y}\right).y'=-y$$ adalah ....
Penyelesaian:
Mudah untuk kita ubah menjadi: $$\left(x+\frac{2}{y}\right)dy+ydx=0$$ Kita tahu dari definisi PD orde satu eksak bahwa: $M=y$ dan $N=x+2/y$ yang kita peroleh bahwa syarat pentingnya terpenuhi bahwa: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=1$$ sehingga PD pada contoh ini adalah PD eksak. Kemudian diperoleh: $$f=xy+g(y)$$ karena $$\frac{\partial f}{\partial y}=x+g'(y)$$ $$=N=x+\frac{2}{y}$$ sehingga $g'(y)=2/y$ sehingga jelas bahwa $g(y)=2.ln~y$. Jadi solusi umumnya adalah $f=xy+2.ln~y=C$.

Contoh 5.4
Solusi umum persamaan diferensial $e^ydx+(xe^y+2y)dy=0$ adalah ....
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa: $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=e^y$$ maka PD itu eksak, sehingga kita peroleh: $$f(x,y)=xe^y+g(y)$$ dan $$\frac{\partial f}{\partial y}=N$$ $$xe^y+g'(y)=xe^y+2y$$ maka kita peroleh: $~g'(y)=2y$, atau $~g(y)=\int 2y~dy=y^2$. Jadi solusi umumnya adalah: $$xe^y+y^2=C$$

Demikianlah postingan materi PD orde satu ini, sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat,,

0 Response to "PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel