PERPANGKATAN BILANGAN REAL - mathematic.my.id

PERPANGKATAN BILANGAN REAL

Perpangkatan bilangan real

Perpangkatan merupakan penulisan singkat dari perkalian berulang. Sebagai contoh $(2).(2).(2)=2^3$, dimana 3 merupakan banyaknya bilangan 2 yang dikalikan. Akan tetapi pangkat bukan hanya bilangan asli, melainkan pangkat dapat berupa bilangan real, sebagai contoh $2^{3,12574}$ dimana bentuk ini tidak dapat diubah ke dalam bentuk perkalian. Tetapi hal yang lebih penting adalah mengetahui sifat-sifat perpangkatan.

Definisi:
$$\underbrace{a.a.\cdots.a}_{\mbox{n kali}}=a^n$$

Selanjutnya akan diberikan sifat-sifat perpangkatan lengkap.

Berikut ini diberikan sifat-sifat perpangkatan:
1. $$a^m.a^n=a^{m+n}$$ 2. $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$ 3. $$a^0=1$$ 4. $$a^{-b}=\frac{1}{a^b}$$ 5. $$(a^b)^c=(a^c)^b=a^{bc}$$ 6. $$a^b.c^b=(a.c)^b$$ 7. $$a^{\frac{b}{c}}=\sqrt[c]{a^b}$$

Bukti:
1. Berdasarkan definisi, jelas bahwa $$\underbrace{a.a.\cdots.a}_{\mbox{m kali}}.\underbrace{a.a.\cdots.a}_{\mbox{n kali}}$$ yang berakibat menjadi $a$ sebanyak $m+n$.
2. Kita habiskan penyebut, yakni $a^n$ maka akan bersisa $a^{m-n}$.
3. Melalui sifat 2, jika $m=n$ maka menghasilkan $a^0=1$.
4. $a^{-b}=a^{0-b}$ $=\frac{a^0}{a^b}=\frac{1}{a^b}$
5. Perhatikan bahwa perkalian $a^b$ sebanyak $c$, atau perkalian $a^c$ sebanyak $b$. Jadi berdasarkan sifat 1 maka $\underbrace{b+b+\cdots+b}_{\mbox{c kali}}=b.c$ atau sebaliknya.
6. Karena $a$ dan $c$ banyaknya sama maka mereka dapat dipasangkan menjadi $a.c$.
7. Pangkat $\frac{1}{c}$ merupakan bentuk akar/kebalikan pangkat /lawan dari pangkat. Perhatikan bentuk $a^{\frac{b}{c}}$ sama dengan $$(a^b)^{\frac{1}{c}}$$ karena pangkat $\frac{1}{c}$ merupakan bentuk akar maka jelas bahwa $$(a^b)^{\frac{1}{c}}=\sqrt[c]{a^b}$$
Kita sudah membuktikan ke tujuh sifat perpangkatan di atas.

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh soal tentang perpangkatan:
1. Bentuk sederhana dari $$\left(\frac{a^{-2}b^{-2/3}}{a^{-2/3}b^{4/3}}\right)^{-3/4}$$ adalah ....
Jawab:
$$=\left(a^{-2+2/3}b^{-2/3-4/3}\right)^{-3/4}$$ $$=(a^{-4/3} b^{-2})^{-3/4}$$ $$=a^{(-4/3).(-3/4)}.b^{-2.(-3/4)}$$ $$=a.b^{3/2}$$ $$=a.b^{1+1/2}=ab\sqrt{b}$$


2. $16^{0,125}-(0,5)^{-0,5}=... $
Jawab:
$$=(2^4)^{1/8}-(2^{-1})^{-1/2}$$ $$=2^{1/2}-2^{1/2}=0$$

3. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $$\sqrt{4^{2x+1}}=(16)^{x-2}$$ adalah ...
Jawab:
Kita samakan basisnya: $$\to (\sqrt{4})^{2x+1}=(2^4)^{x-2}$$ $$2^{2x+1}=2^{4x-8}$$ sehingga: $$2x+1=4x-8$$ $$-2x=-9$$ $$x=\frac{9}{2}=4,5$$

Demikianlah materi tentang perpangkatan dan sifat-sifatnya, sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat..

0 Response to "PERPANGKATAN BILANGAN REAL"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel