LOGARITMA DAN SIFATNYA - mathematic.my.id

LOGARITMA DAN SIFATNYA

Logaritma dan sifatnya

Apakah kamu pernah berfikir sewaktu pertama kali mempelajari logaritma bahwa ia sulit?
Pada postingan ini akan dijelaskan secara lengkap bagaimana sifat-sifat logaritma itu ditemukan. Tetapi sebelum mempelajari logaritma, kamu harus sudah mengetahui tentang perpangkatan. Jika belum mengetahui tentang perpangkatan, kamu bisa membacanya melalui link ini: Operasi Perpangkatan Bilangan Real
Jika sudah mengetahui semua tentang perpangkatan, maka kamu bisa mempelajari tentang logaritma. Baiklah, pertama kamu pasti tau bahwa $2^3=8$, ini adalah bentuk perpangkatan. Sekarang dari $2^3=8$ ini, coba kamu keluarkan pangkat $3=...$, inilah yang disebut bentuk logaritma, yakni bentuk yang mengeluarkan pangkat.
Dari $2^3=8$ maka $3=~^2log(8)$ ini adalah bentuk perubahan dasar yang harus kamu ketahui sebelum melanjutkan memahami sifat-sifat logaritma yang lainnya. Bentuk perubahan dasar logaritma dapat kita buat dalam suatu peubah, misalnya $a,~b,~$ dan $c$ sebagai berikut:

Definisi:
$$a^b=c~\iff~^alog(c)=b$$


Sekarang sebagai latihan coba kamu ubah bentuk perpangkatan berikut ke dalam bentuk logaritma:
1. $2^{x+1}=16$
2. $(-3x+5)^6=y-5$
3. $x^{-7y+9}=4(m+8)$
Kemudian sebagai latihan juga, coba kamu ubah bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk perpangkatan:
1. $^dlog(5)=2$
2. $^{x+y}log(-3x+7)=6-y$
3. $^{m^2}log(2m)=2$

Selanjutnya kita akan membahas sifat-sifat logaritma.
$^alog(a^b)=b$
Bisakah kamu membuktikan sifat ini?. Untuk membuktikan sifat itu sangatlah mudah, caranya tinggal kamu ubah saja ke bentuk perpangkatan, yang menghasilkan $a^b=a^b$ (terbukti).
Perlu diingat:
Dalam membuktikan suatu persamaan, jika ruas kanan sama dengan ruas kiri maka pembuktian sudah selesai.

Sekarang bagaimana dengan sifat yang ini:
$a^{^alog(b)}=b$
Bisakah kamu membuktikan sifat yang ini?. Untuk membuktikannya coba kamu ubah ke dalam bentuk logaritma, maka diperoleh: $^alog(b)=~^alog(b)$ (terbukti).


Kemudian sifat berikutnya:
$^alog(b^c)=c.[^alog(b)]$
Pembuktiannya: Coba kamu ubah ke dalam bentuk perpangkatan, maka diperoleh: $$a^{c.[^alog(b)]}=b^c$$ kemudian ingat kembali sifat perpangkatan bahwa $$x^{m.n}=(x^m)^n=(x^n)^m$$ sehingga diperoleh: $$(a^{^alog(b)})^c=b^c$$ karena bentuk $a^{^alog(b)}$ sudah kita bahas pada sifat sebelumnya, yakni $a^{^alog(b)}=b$ maka bentuk $(a^{^alog(b)})^c=b^c$ menjadi $b^c=b^c$ (terbukti).

Selanjutnya sifat:
$$^alog(b)=\frac{1}{^blog(a)}$$
Untuk membuktikan ini, coba ubah ke bentuk perpangkatan menjadi: $$a^{\frac{1}{^blog(a)}}=b$$ ingat kembali sifat perpangkatan, jika $$m^n=p$$ maka $$m=p^{\frac{1}{n}}$$ dari sifat perpangkatan ini maka: $$a=b^{^blog(a)}$$ $$a=a$$ (Terbukti).

Selanjutnya sifat:
$^alog(b).^blog(c)=~^alog(c)$
Perhatikan pengubahan bentuk aljabarnya menjadi: $$^alog(b)=\frac{^alog(c)}{^blog(c)}$$ Kemudian ubah ke bentuk perpangkatan, menjadi: $$a^{\frac{^alog(c)}{^blog(c)}}=b$$ dari sifat sebelumnya maka menjadi: $$(a^{^alog(c)})^{^clog(b)}=b$$ $$c^{^clog(b)}=b$$ $$b=b$$ (Terbukti).

Selanjutnya sifat:
$$^alog(b)=\frac{^xlog(b)}{^xlog(a)}$$
Kita kali silang menjadi: $$^alog(b).^xlog(a)=~^xlog(b)$$ Dari sifat-sifat sebelumnya maka menjadi: $$\left(\frac{1}{^blog(a)}\right)\left(\frac{1}{^alog(x)}\right)=~^xlog(b)$$ $$\frac{1}{^blog(a).^alog(x)}=~^xlog(b)$$ $$\frac{1}{^blog(x)}=~^xlog(b)$$ $$^xlog(b)=~^xlog(b)$$ (Terbukti).


Selanjutnya sifat:
$$^{a^b}log(c)=\frac{1}{b}.^alog(c)$$
Untuk membuktikannya, coba ubah ke bentuk pangkat, maka menjadi: $$(a^b)^{\frac{1}{b}.^alog(c)}=c$$ $$a^{b.\frac{1}{b}.^alog(c)}=c$$ $$a^{^alog(c)}=c$$ $$c=c$$ (Terbukti).

Selanjutnya sifat:
$$^alog(b.c)=^alog(b)+^alog(c)$$
Pembuktian: ubah ke bentuk perpangkatan, maka menjadi: $$a^{^alog(b)+^alog(c)}=b.c$$ ingat sifat perpangkatan $x^{m+n}=x^m.x^n$. Sehingga bentuk logaritma di atas menjadi: $$a^{^alog(b)}.a^{^alog(c)}=b.c$$ $$b.c=b.c$$ (Terbukti).
kita dapat juga menympulkan bahwa: $$^alog\left(\frac{b}{c}\right)=^alog(b)-^alog(c)$$
coba buktikan!
Itulah sifat-sifat dan pembuktiannya pada materi logaritma.
Berikut ini diberikan contoh soal hots:
1. Diketahui $~^{x.y}log(y)=3~$ dan $~y^y=8$. Nilai dari $~x^y~$ adalah ....
Penyelesaian:
Dari $$^{x.y}log(y)=3$$ kita peroleh: $$\frac{1}{^ylog(x)+^ylog(y)}=3$$ $$\frac{1}{1+^ylog(x)}=3$$ $$^ylog(x)=\frac{1}{3}-1$$ $$^ylog(x)=-\frac{2}{3}$$ Kemudian ubah ke bentuk perpangkatan, maka menjadi: $$x=y^{-\frac{2}{3}}$$ Sehingga: $$x^y=(y^{-\frac{2}{3}})^y$$ $$x^y=(y^y)^{-\frac{2}{3}}$$ $$x^y=8^{-\frac{2}{3}}$$ $$x^y=2^{-2}=\frac{1}{4}$$


2. Diketahui $$^4log(3x+\frac{73}{4})=y-1$$ dan $$y=~^2log(x+9)$$ Nilai terbesar dari $y$ adalah ....
Penyelesaian:
Dari $$^4log(3x+\frac{73}{4})=y-1$$ maka $$\frac{^2log(3x+\frac{73}{4})}{^2log(4)}=y-1$$ $$^2log(3x+\frac{73}{4})=2(y-1)$$ Ubah ke bentuk perpangkatan, menjadi: $$(2^{y-1})^2=3x+\frac{73}{4}$$ $$\frac{(2^y)^2}{4}=3x+\frac{73}{4}$$ Karena $y=~^2log(x+9)$ maka menjadi: $$(x+9)^2=12x+73$$ $$x^2+6x+8=0$$ $$(x+2)(x+4)=0$$ $$x=-2,~~x=-4$$ Jadi nilai $y$ terbesar itu ketika $x=-2$ atau $y=^2log(7)$.

Demikianlah postingan ini tentang logaritma. Sampai jumpa di postingan lainnya dan semoga bermanfaat..

0 Response to "LOGARITMA DAN SIFATNYA"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel