ALJABAR - mathematic.my.id

ALJABAR

aljabar

Pengantar

Semua orang tahu bahwa rasa ingin tahu yang kuat merupakan kunci kesuksesan dalam belajar. Pada bahasan ini akan difokuskan tentang kunci awal untuk sukses belajar matematika. Pasti kalian bertanya "judul postingannyakan aljabar?". Memang judul besarnya aljabar dan memang aljabar merupakan kunci dasar dalam mempelajari ilmu matematika. Postingan ini akan mengupas tuntas tentang dasar aljabar yang pada hakikatnya materi aljabar ini luas sampai pada jenjang perkuliahan, tetapi pembahasan ini tidak sampai ke jenjang perkuliahan. Lalu apa sebenarnya aljabar itu?, aljabar memiliki lingkup yang luas, aljabar dapat diartikan suatu cara pengoperasian kalimat matematis. Kalimat matematis meliputi bilangan dan variabel, yang dapat dimodifikasi bentuknya tetapi memiliki kebenaran yang sama. Sebagai contoh bentuk kalimat $1+2$ memiliki kebenaran yang sama dengan $2+1$, ini salah satu contoh dalam aljabar. Akan lebih baik bila Kita mempelajari lingkup dasar aljabar yang meliputi:

Pokok-pokok pembahasan di atas merupakan lingkup dasar materi aljabar.

Apa itu bilangan?

Bilangan merupakan angka atau nilai atau skalar. Bilangan dapat menyatakan suatu keadaan ruang dan waktu yang dinyatakan dalam satuan tertentu. Sebagai contoh: Saya memiliki 10 buku tulis.
Dia mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 60 km/jam.
Ibu memasak kue selama 30 menit.
dan lain sebagainya.
Peran bilangan dan satuan sangat penting dan memang sudah ada sejak lama. Kita tidak akan jauh membahas tentang satuan. Yang akan kita bahas adalah bilangan. Secara logis bilangan terbagi dua yaitu bilangan nyata dan bilangan khayalan. Bilangan nyata sering disebut bilangan real/riil yang diambil dalam bahasa inggris dan bilangan khayal sering disebut bilangan imajiner yang juga diadopsi dalam bahasa inggris. Kita telah mempelajari garis bilangan sejak sekolah dasar, garis bilangan itu merupakan garis bilangan real. Bilangan real itu memuat bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional terbagi atas bilangan bulat, cacah, asli, dan bilangan pecahan. Bilangan irrasional merupakan bilangan dengan desimal tak terbatas dan tak berulang. Bilangan rasional berasal dari kata rasio yang berarti pembagian dua bilangan, yakni berbentuk pecahan biasa. Berikut ini diberikan definisi bilangan rasional:
Bilangan rasional adalah bilangan yang berbentuk $$\frac{a}{b}$$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat serta $b \ne 0$.

Kemudian apa itu bilangan bulat?. Bilangan bulat sudah kita pelajari sejak sekolah dasar. Kita tahu bilangan bulat itu meliputi ..., $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2, 3, ... dimana ... menyatakan bilangan seterusnya. Perlu kita ketahui bahwa bilangan 0 bukan termasuk bilangan positif maupun negatif.
Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari 0, 1, 2, dan seterusnya. Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari 1, 2, 3, dan seterusnya. Kemudian kita tahu bahwa bilangan pecahan dapat berbentuk pecahan biasa, campuran, dan desimal. Contoh bilangan pecahan biasa adalah $\frac{2}{3}$, $-\frac{5}{2}$, dan sebagainya. Contoh bilangan pecahan campuran yaitu $2\frac{1}{3}$, $-1\frac{7}{13}$, dan sebagainya. Contoh bilangan pecahan desimal yaitu $3,7651;$ $-2,4;$ dan sebagainya. Lalu contoh bilangan irrasional bagaimana?, contoh bilangan irrasional adalah $\pi$, $e$, bilangan akar tak sempurna, dan lain-lain. Kemudian apa itu bilangan imajiner?, bilangan imajiner tidak dipelajari secara khusus bahkan pada jenjang SMA, bilangan imajiner dipelajari secara khusus sewaktu perkuliahan. Berikut ini diberikan definisi bilangan imajiner.
Definisi:
Bilangan imajiner adalah bilangan yang berbentuk $~x+i.\sqrt{y}~$ dimana $x,~y \in R$ dan $y \ne 0$ serta $$i=\sqrt{-1}$$ Jika $x$ dan $y$ keduanya tidak nol maka bilangan itu adalah bilangan kompleks

Kemudian lambang bilangan,
untuk lambang bilangan real adalah $R$.
Lambang bilangan bulat adalah $Z$.
Lambang bilangan asli adalah $N$.
Lambang bilangan rasional adalah $Q$.
Lambang bilangan kompleks adalah $C$.
Pembaca pasti sudah mengerti tentang bilangan dan jenis-jenisnya yang sudah dijelaskan di atas. Selanjutnya kita akan membahas tentang operasi matematis.

Apa itu operasi matematis dasar?

Operasi matematis yaitu: tambah, kurang, kali, bagi, pangkat, akar pangkat dan logaritma. Apakah ada operasi matematis dasar lain?, tidak, tidak ada operasi matematis dasar lain. Ke tujuh operasi matematis itu adalah operasi matematis dasar. Lalu ada yang bertanya apakah operasi seperti trigonometri, turunan, integral, dan lain-lain merupakan operasi matematis?, ya mereka juga merupakan operasi matematis tingkat lanjut dan materinya juga dikhususkan. Tetapi operasi tingkat lanjut tidak lepas dengan operasi dasar yang berperan penting. Jadi pembaca sudah memahami bahwa operasi matematis dasar hanya ada 7. Kemudian kita akan mempelajari tentang apa saja sifat-sifat operasi matematis dasar?

Apa saja sifat-sifat operasi matematis dasar?

Sebelum mengenal jauh sifat-sifat operasi dasar maka kita harus mengetahui sifat perjumpaan tanda positif dan negatif. Berikut ini sifat perjumpaan tanda:
Sifat perjumpaan tanda positif dan negatif
  • Tanda yang sama bila berjumpa maka hasilnya positif
  • Tanda yang berbeda bila berjumpa maka hasilnya negatif

Sebagai contoh
$$-3+(-5)=-3-5$$ $$\frac{-8}{-2}=\frac{8}{2}$$ tanda positif dapat dihilangkan ketika awal penulisan.
kemudian berikut ini diberikan tiga sifat operasi dasar:
Sifat-sifat Operasi Dasar:
1. Sifat Komutatif
Sifat komutatif adalah sifat dimana suku-suku dalam kalimat matematis dapat berpindah tempat. Operasi yang memiliki sifat ini adalah operasi penjumlahan dan perkalian. Sebagai contoh $5-7$ akan sama dengan $-7+5$, contoh lain $-6.(3)$ akan sama dengan $-3.(6)$.
2. Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif adalah sifat yang menggunakan tanda kurung. Sifat ini dimiliki oleh operasi tambah dan kali. Sebagai contoh $(3+4)+5=3+(4+5)$, contoh lain 3x(4x5)=(3x4)x5.
3. Sifat Distributif
Sifat distributif diberikan oleh:
$a.(b+c)=a.b+a.c$.
Contoh:
$-4.(7-8)=-4.(7)+(-4)(-8)=4$

Kemudian diberikan sifat-sifat dasar operasi pecahan sebagai berikut:
1. $$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$$ 2. $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a.d+b.c}{b.d}$$ 3. $$\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$$ 4. $$\frac{a}{b} : \frac{c}{d}=\frac{a.d}{b.c}$$ 5. $$\pm a\frac{b}{c}=\pm a \pm \frac{b}{c}$$

Contoh:
$$-\frac{3}{5}:\frac{-7}{10}.\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right)=...$$
Penyelesaian:
$$=\frac{3(10)}{7(5)}.\frac{2(4)+3(-1)}{3(4)}$$ $$=\frac{6}{7}.\frac{5}{12}$$ $$=\frac{5}{14}$$

Kemudian 2 lagi sifat penting yakni sifat perpangkatan dan sifat logaritma yang dapat anda baca di link ini:

Selanjutnya akan kita bahas mengenai kalimat matematis.

Apa itu kalimat matematis?

Kalimat matematis dalam aljabar dasar yaitu kalimat yang mempunyai tiga unsur penyusun yakni variabel, koefisien, dan konstanta. Diberikan definisi sebagai berikut:
Definisi kalimat matematis dalam aljabar dasar:
Diberikan suatu kalimat matematis $$ax+c$$ dimana
$a$ adalah koefisien.
$x$ adalah variabel.
$c$ adalah konstanta.

Contoh:
Tentukan variabel, koefisien, dan konstanta dari kalimat $$-70cd^2+8$$
Penyelesaian:
variabelnya adalah $cd^2$.
koefisiennya adalah $-70$.
konstantanya adalah $8$.

Kemudian perhatikan contoh berikut ini:
Contoh:
Akan diisi 5 liter minyak ke dalam tong yang berisi minyak setengah bagian. Tentukan kalimat matematisnya dengan kapasitas tong sebagai variabel!
Penyelesaian:
Misalkan kapasitas tong adalah $x$ liter, maka mudah kita buat kalimat matematisnya, yakni: $$\frac{1}{2}x+5$$

Selanjutnya akan kita bahas mengenai pengubahan bentuk kalimat matematis.

Bagaimana mengubah bentuk kalimat matematis?

Mengubah bentuk kalimat matematis itu menggunakan sifat-sifat operasi yang telah kita pelajari sebelumnya. Kemudian penting juga bahwa pengubahan kalimat matematis dalam suatu persamaan. Misalnya contoh sederhana, $2+...=5$ kalimat ini mengandung titik-titik yang dapat kita variabelkan misalnya $x$, sehingga kalimat itu menjadi $2+x=5$, mudah untuk kita tebak bahwa nilai $x=3$. Lalu bagaimana dengan kalimat seperti ini $$-3.(5-...)-10=26...(a)$$ jika kalimatnya semakin kompleks pasti kita tidak dapat menebaknya secara langsung. Lalu bagaimana caranya?, caranya adalah mengoperasikan kedua ruas dengan operasi yang sama. Kita mulai dengan mengganti ... menjadi $x$, kemudian ke dua ruas kita tambah 10 maka persamaan $(a)$ menjadi $$-3.(5-x)-10+10=26+10$$ diperoleh: $$-3.(5-x)+0=36$$ $$-3.(5-x)=36$$ kemudian ke dua ruas kita bagi dengan $-3$ maka diperoleh: $$5-x=-12$$ kemudian kedua ruas kita tambah dengan $(x+12)$ maka diperoleh: $$5+12=x$$ Jadi $x=17$.
Secara cepat kita dapat memindahkan langsung suku-suku lain sehingga pada satu ruas kita menemukan hanya satu suku yang tersisa. Dapat kita simpulkan bahwa:
$+$ berpindah menjadi $-$ atau sebaliknya.
Kali berpindah menjadi bagi atau sebaliknya.
Pangkat berpindah menjadi akar atau sebaliknya.

Contoh:
Carilah nilai $x$ dari persamaan: $$\frac{5}{3x^2-1}+10=35$$ Penyelesaian:
Dengan cara cepat, perhatikan hasil berikut: $$\frac{5}{3x^2-1}=25$$ $$5=25.(3x^2-1)$$ $$3x^2-1=\frac{1}{5}$$ $$3x^2=1+\frac{1}{5}$$ $$x^2=\frac{6}{5}:3=\frac{2}{5}$$ $$x=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$$ Mungkin dari sebagian pembaca yang sudah mahir pemindahan suku dapat memperpendek langkah pengerjaan.
Lalu bagaimana jika kita ingin mengeluarkan pangkat?. Sebagai contoh: kita tahu bahwa $2^3=8$ maka $3=...$
Jawab:
untuk menjawab soal di atas maka bentuknya adalah logaritma, yakni $3=~^2log~8$. Untuk membahas lengkap tentang logaritma maka pembaca dapat membacanya dibagian sebelumnya tentang sifat operasi dasar aljabar dalam link logaritma dan sifat-sifatnya.

Apa itu persamaan?

Seperti yang sudah dalam contoh pada bagian sebelumnya. Persamaan itu disimbolkan dengan tanda "=" yang berada di tengah ruas kiri dan ruas kanan. Sebagai contoh $x+1=6$. Persamaan dalam aljabar itu dapat berupa bentuk polinom, bentuk rasional, dan bentuk campuran. Pada pembahasan ini hanya memperkenalkan apa itu persamaan. Jika anda ingin mengkaji lebih dalam tentang persamaan seperti persamaan polinomial, persamaan nilai mutlak, dan lain-lain. Selanjutnya akan kita bahas mengenai apa itu pertidaksamaan.

Apa itu pertidaksamaan?

Pertidaksamaan disimbolkan oleh: <, >, $\le$, $\ge$, dan $\ne$. Khusus untuk tanda <, >, $\le$, $\ge$ maka jika memindahkan operasi perkalian atau pembagian suku negatif maka lambangnya berubah arah. Sebagai contoh:
Kita tahu bahwa $~6>3,~$ misalnya kedua ruas kita kali atau kita bagi dengan $-1$ maka tidak mungkin hasilnya $-6>-3$, jadi lambangnya harus berubah arah sehingga menjadi: $-6<-3$.

Contoh lain:
Tentukan akar penyelesaian dari $-2x+5 \ge 11$.
Jawab:
$$-2x+5 \ge11$$ $$-2x \ge 6$$ $$x \le -3$$

Demikianlah penjelasan mengenai dasar aljabar yang merupakan kunci dasar dalam ilmu matematika. Terima kasih dan sampai jumpa dalam postingan yang lainnya.

0 Response to "ALJABAR"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel