TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI DAN INVERSNYA - mathematic.my.id

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI DAN INVERSNYA

Dibawah ini disajikan rangkuman turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut:

$D_x$sin $x=$ cos$x$
$D_x$cos$x=-$sin$x$
$D_x$tan$x=$sec$^2x$
$D_x$cot$x=-$csc$^2x$



Fungsi-Fungsi Komposit $\quad$ Aturan di atas dapat kita rangkaikan dengan aturan rantai untuk memperoleh turunan fungsi $u$ yang lebih rumit. Misalnya, jika $u=f(x)$ dapat didiferensialkan, maka: $D_x$sin$u=$ cos$u.D_xu$.
Berikut ini diberikan beberapa contoh:

Contoh 1:
Tentukan $D_x$sin$(3x^2+4)$
Penyelesaian:
Ambil $u=3x^2+4$, maka:
$D_x$sin$(3x^2+4)=D_x$sin$u$
$=$ cos$u.D_xu$
$=$ [cos$(3x^2+4)$]$.6x$
$=6x.$cos$(3x^2+4)$.

Contoh 2:
Tentukan $D_x$tan$^2(9x)$
Penyelesaian:
Kita harus menggunakan dua kali aturan rantai, sebagai berikut:
$D_x$tan$^2(9x)=2.$tan$(9x).D_x$tan$(9x)$
$=2.$tan$(9x).$sec$^2(9x).D_x9x$
$=2.$tan$(9x).$sec$^2(9x).9$
$=18.$tan$(9x).$sec$^2(9x)$

Contoh 3:
Apabila $y=($sin$^2x)/(1-$cot$x)$, maka tentukan $dy/dx$
Penyelesaian:
$\frac{dy}{dx}=\frac{(1-cotx).D_xsin^2x-sin^2x.D_x(1-cotx)}{(1-cotx)^2}$
$=\frac{(1-cotx).2sinx.cosx-sin^2x.csc^2x}{(1-cotx)^2}$
$=\frac{2.sinx.cosx-2cos^x-1}{(1-cotx)^2}$


Turunan Fungsi Invers Trigonometri
Diberikan rumus-rumus sebagai berikut:

$D_x$sin$^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad x=(-1,1)$
$D_x$cos$^{-1}x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\quad x=(-1,1)$
$D_x$tan$^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$
$D_x$sec$^{-1}x=\frac{1}{|x|.\sqrt{1-x^2}}\quad |x|>1$


Contoh 4:
Tentukan $D_x$sin$^{-1}(3x-1)$.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
$D_x$sin$^{-1}(3x-1)=\frac{D_x(3x-1)}{\sqrt{1-(3x-1)^2}}$
$=\frac{3}{\sqrt{-9x^2+6x}}$

Contoh 5:
Tentukan $D_x$tan$^{-1}\sqrt{x+1}$
Penyelesaian:
$D_x$tan$^{-1}\sqrt{x+1}=\frac{D_\sqrt{x+1}}{1+(\sqrt{x+1})^2}$
$=\frac{1}{x+2}.\frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}$
$=\frac{1}{2(x+2)\sqrt{x+1}}$

Tiap rumus pendiferensialan akan menghasilkan rumus integral, khususnya:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=$ sin$^{-1}x+C$
$\int \frac{dx}{1+x^2}=$ tan$^{-1}x+C$
$\int \frac{dx}{x.\sqrt{x^2-1}}=$ sec$^{-1}|x|+C$


Contoh 6:
Hitunglah $\int \limits_{0}^{1/2}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$
Penyelesaian:
$\int \limits_{0}^{1/2}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}=$ sin$^{-1}x \Bigr |_{0}^{1/2}$
$=$ sin$^{-1}(1/2)-$sin$^{-1}0$
$=\pi/6-0=\pi/6$.

Contoh 7:
Seorang berdiri di atas sebuah bukit vertikal kira-kira 200 kaki di atas sebuah danau. Dia melihat sebuah perahu bermotor. Yang bergerak menjauhi bukit dengan laju 25 kaki per detik. Berapa laju perubahan sudut penglihatan $\theta$ (sudut depresi) apabila perahu berada pada jarak 150 kaki dari bukit itu?
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

Dari gambar di atas tampak bahwa sudut depresi $\theta$ memenuhi hubungan:
$\theta=$ tan$^{-1}(200/x)$
Maka:
$\frac{d \theta}{dt}=\frac{1}{1+(200/x)^2}.\frac{-200}{x^2}.\frac{dx}{dt}$
$=\frac{-200}{x^2+40000}. \frac{dx}{dt}$
Apabila kita substitusikan $x=150$ dan $dx/dt=25$, maka kita peroleh: $d \theta /dt=-0,08$ radian per detik.

Demikian penjelasan materi ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.

0 Response to "TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI DAN INVERSNYA"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel