TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, KONTINGENSI, KONVERS, KONTRAPOSISI, DAN INVERS - mathematic.my.id

TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, KONTINGENSI, KONVERS, KONTRAPOSISI, DAN INVERS

Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi, Konvers, Kontraposisi, dan Invers.


Postingan ini membahas lingkup materi logika matematika tentang tautologi, kontradiksi, kontingensi, konvers, kontraposisi, dan invers. Sebuah tautologi ialah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan penyusunnya. Sebaliknya, sebuah pernyataan yang selalu salah tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan penyusunnya dinamakan kontradiksi. Sedangkan pernyataan yang bukan tautologi dan bukan kontradiksi disebut kontingensi. Sebuah kontingensi akan bernilai benar untuk beberapa nilai kebenaran pernyataan-pernyataan penyusunnya dan bernilai salah untuk yang lain. Tautologi juga sering disebut benar secara logika. Konvers, kontraposisi, dan invers akan dijelaskan sekaligus pada bagian ke 4.



1. Tautologi

Definisi Tautologi:
Sebuah pernyataan majemuk disebut tautologi jika pernyataan tersebut selalu bernilai benar untuk semua nilai yang mungkin dari pernyataan-pernyataan komponennya.


Contoh:
Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut adalah tautologi.
(a) $p \vee (\sim p)$
(b) $(p \wedge q) \to p$
(c) $ ((p \vee q) \wedge \sim p) \to q $
Penyelesaian:
(a) Berikut ini tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk $p \vee (\sim p)$

$p$ $\sim p$ $p \vee (\sim p)$
T F T
T T T

Karena semua baris dalam kolom 3 bernilai T, maka $p \vee (\sim p)$ merupakan tautologi.

(b) Jika $p \wedge q = a$ dan $(p \wedge q) \to p=b$, maka:

$p$ $q$ $a$ $b$
T T T T
T F F T
F T F T
F F F T

Karena semua baris dalam kolom 4 bernilai T, maka $(p \wedge q) \to p$ merupakan tautologi.

(c) Jika $[(p \vee q) \wedge \sim p =a]$, maka:
$ ((p \vee q) \wedge \sim p) \to q = a \to q$.
Sehingga:

$p$ $q$ $p \vee q$ $\sim p$ $a$ $a \to q$
T T T F F T
T F T F F T
F T T T T T
F F F T F T

Karena semua baris dalam kolom 6 bernilai T, maka $ ((p \vee q) \wedge \sim p) \to q$ merupakan tautologi.



2. Kontradiksi

Definisi Kontradiksi:
Sebuah pernyataan majemuk disebut kontradiksi jika pernyataan tersebut selalu bernilai salah untuk semua nilai yang mungkin dari pernyataan-pernyataan komponennya. Istilah lain dari kontradiksi adalah mustahil (absurdity).


Contoh:
Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut adalah kontradiksi.
(a) $p \wedge \sim p$
(b) $(p \wedge q) \wedge \sim p$
Penyelesaian:
(a) Berikut ini tabel kebenaran $p \wedge \sim p$:

$p$ $\sim p$ $p \wedge \sim p$
T F F
T F F
F T F
F T F

(b) Berikut ini tabel kebenaran untuk pernyataan $(p \wedge q) \wedge \sim p$

$p$ $q$ $p \wedge q$ $\sim p$ $(p \wedge q) \wedge \sim p$
T T T F F
T F F F F
F T F T F
F F F T F

Karena semua elemen dalam kolom 5 bernilai F, maka $(p \wedge q) \wedge \sim p$ merupakan kontradiksi.



Catatan:
Negasi dari sebuah tautologi adalah kontradiksi, dan sebaliknya.



3. Kontingensi

Definisi Kontingensi:
Kontingensi (contingency) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dapat bernilai benar atau salah, bergantung pada nilai-nilai kebenaran dari variabel-variabel pernyataannya.


Contoh:
Menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut adalah kontingensi.
(a) $p \to (q \wedge p)$
(b) $(p \to q) \wedge (p \vee q)$
Penyelesaian:
(a) Tabel kebenaran untuk pernyataan $p \to (q \wedge p)$ adalah:

$p$ $q$ $q \wedge p$ $p \to (q \wedge p)$
T T T T
T F F F
F T F T
F F F T

Karena semua baris dalam kolom 4 tidak semua bernilai T atau F, maka $p \to (q \wedge p)$ merupakan kontingensi

(b) Jika $p \to q = a$, $p \vee q =b$, dan $(p \to q) \wedge (p \vee q)=c$ maka tabel kebenaran untuk pernyataan $(p \to q) \wedge (p \vee q)$ adalah:

$p$ $q$ $a$ $b$ $c$
T T T T T
T F F T F
F T T T T
F F T F F


4. Konvers, Kontraposisi, dan Invers

Jika $p \to q$ adalah sebuah implikasi, maka terdapat beberapa pernyataan yang berhubungan dengan $p \to q$, yaitu: konvers, kontraposisi, dan invers.

Definisi Konvers, Kontraposisi, dan Invers:
1. Konvers (converse) dari pernyataan $p \to q$ adalah $q \to p$.
2. Kontraposisi/Kontrapositif (contrapositive) dari $p \to q$ adalah $(\sim q) \to (\sim p)$.
3. Invers (inverse) dari $p \to q$ adalah $(\sim p) \to (\sim q)$.


Contoh:
Tulislah konvers, kontrapositif, dan invers dari implikasi-implikasi berikut:
(a) Jika $x$ positif, maka $x^2$ positif.
(b) Jika hari hujan, maka saya basah kuyup.
(c) Jika $x=3$ maka $x$ adalah bilangan bulat ganjil.
Penyelesaian:
(a) Konvers: Jika $x^2$ positif, maka $x$ positif.
$\quad$ Kontraposisi: Jika $x^2$ tidak positif, maka $x$ tidak positif.
$\quad$ Invers: Jika $x$ tidak positif, maka $x^2$ tidak positif.

(b) Konvers: Jika saya basah kuyup, maka hari hujan.
$\quad$ Kontrapositif: Jika saya tidak basah kuyup, maka hari tidak hujan.
$\quad$ Invers: Jika hari tidak hujan, maka saya tidak basah kuyup.

(c) Konvers: Jika $x$ adalah bilangan bulat ganjil, maka $x=3$.
$\quad$ Kontraposisi: Jika $x$ bukan bilangan bulat ganjil, maka $x \ne 3$.
$\quad$ Invers: Jika $x \ne 3$, maka $x$ bukan bilangan bulat ganjil.

Selesailah pembahasan tentang tautologi, kontradiksi, kontingensi, konvers, kontraposisi, dan invers. Jika ada yang bertanya dipersilahkan di kolom komentar. Sekian dan terima kasih.

0 Response to "TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, KONTINGENSI, KONVERS, KONTRAPOSISI, DAN INVERS"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel