RINGKASAN MATERI BILANGAN KOMPLEKS - mathematic.my.id

RINGKASAN MATERI BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks adalah bilangan yang mencakup bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks didefinisikan oleh:

$z=x+iy$
Dimana $x$ dan $y$ adalah bilangan riil, serta
$i=\sqrt{-1}$.

Perhatikan bahwa pada definisi itu jika $y=0$ maka $z$ adalah bilangan riil. Jika $x=0$ maka $z$ adalah bilangan imajiner murni. Dan jika $x$ dan $y$ tidak nol maka $z$ adalah bilangan kompleks, ada juga yang mengatakan bilangan imajiner.
Kemudian perhatikan pernyataan penting berikut:

Daerah $x$ disebut dengan daerah riil dan daerah $y$ disebut dengan daerah imajiner.

Pernyataan di atas dapat kita gambarkan kedalam koordinat kartesius seperti berikut ini:

Contoh 1:
Gambarkan bilangan $z=3+4i$ dalam bentuk vektor!
Penyelesaian:
Mudah untuk kita gambarkan, perhatikan gambar berikut untuk menjawab contoh 1 di atas.
Im singkatan untuk sumbu atau daerah imajiner dan Re singkatan untuk sumbu atau daerah riil.

Kita beralih ke bentuk umum. Jika panjang vektor itu adalah $r$, panjang daerah riil adalah $x$, dan panjang daerah imajiner adalah $y$, maka:
$x^2+y^2=r^2$ (ingat dalil pythagoras). Lebih lanjut dalam trigonometri jika $\alpha$ adalah sudut apit $x$ dan $r$ maka bilangan $z$ dapat ditulis dengan:
$z=r.cos \alpha+i.r.sin \alpha$ atau
$z=r.(cos \alpha+i.sin \alpha)$ atau bisa disingkat dengan:
$z=r.$cis $\alpha$
Dimana cis $\alpha = cos \alpha+i.sin \alpha $
Dengan $\alpha=arctg(y/x)$
Bentuk $z=r.$ cis $\alpha$ disebut sebagai bentuk polar bilangan kompleks.

Contoh 2:
Ubahlah bentuk $z=3+4i$ ke dalam bentuk polar!
Penyelesaian:
$r=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\alpha = arc tg (4/3) \approx 0,927$, maka:
$z=$ 5. cis 0,9272

Berikut ini diberikan sifat-sifat bilangan kompleks:

Sifat-sifat bilangan kompleks:
1. Memiliki sifat komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian
2. Memiliki sifat asosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian
3. Memenuhi sifat distributif
4. Panjang $z$ ditulis dengan $|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$
5. Jika $z=x+iy$, maka konjugatnya adalah $\overline{z}=x-iy$
6. Nilai $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
7. Nilai $\overline{z_1.z_2}=\overline{z_1}.\overline{z_2}$




Contoh 3:
Dengan menggunakan sifat di atas, diberikan bahwa:
$z_1=2-i$
$z_2=-3+4i$, dan
$z_3=-1-5i$.
Tentukan:
a. $z_1.(z_2+z_3)$
b. $|z_1+z_3-2.z_2|$
c. $\overline{z_2.z_3-3.z_1}$
Penyelesaian:
a. Dengan menggunakan sifat distributif maka kita peroleh bahwa:
$ z_1.(z_2+z_3)=z_1.z_2+z_1.z_3$
$z_1.z_2=-6+8i+3i+4=-2+11i$
$z_1.z_3=-2-10i+i-5=-7-9i$
Jadi, $ z_1.(z_2+z_3)=-9+2i$
b. $-2z_2=-2.(-3+4i)=6-8i$
$ z_1+z_3-2.z_2=1-6i+6-8i=7-14i$.
Jadi,
$|z_1+z_3-2.z_2|=\sqrt{49+196}=7\sqrt{5}$.
c. $\overline{z_2.z_3-3.z_1}= \overline{z_2}.\overline{z_3}-3.\overline{z_1}$
$=(-3-4i).(-1+5i)-3.(2+i)$
$=23-11i-6-3i=17-14i$
Jadi, $\overline{z_2.z_3-3.z_1}=17-14i$.

Pembagian Bilangan Kompleks $\quad$ Cara membagikan dua bilangan kompleks yaitu dengan mengalikan konjugat penyebutnya.
Contoh 4:
Tentukan $(2+i)/(-6+5i)$
Penyelesaian:
Dengan mengalikan dengan konjugat penyebutnya, maka menjadi:
$(2+i)(-6-5i)/[(-6+5i)(-6-5i)]$
$=(-7-16i)/61$

Kemudian berikut ini diberikan rumus perpangkatan bentuk polar yang diberikan sebagai berikut:

Untuk setiap bilangan riil $m$ maka berlaku: $\quad$ cis$^n \alpha=$ cis $n.\alpha$


Contoh 5:
Nilai dari $(-2+3i)^{2020}$ adalah ....
Penyelesaian:
Karena $-2+3i \approx -\sqrt{13}.$ cis $-0,9827$, maka
$(-2+3i)^{2020}=13^{1010}.$ cis $-1985,054$
$=13^{1010}.(0,9078+0,4191i)$

Kemudian diberikan rumus hubungan eksponen dengan bentuk polar bilangan kompleks sebagai berikut:

$e^{i.\alpha}=$ cis $\alpha$
Dimana $\alpha$ bersatuan radian.

Contoh 6:
Tentukan nilai $e^{\pi .i}$
Penyelesaian:
Dari rumus di atas diperoleh:
$e^{\pi .i}=$ cis $\pi=-1$.

Demikian ringkasan materi tentang Ringkasan Materi Bilangan Kompleks. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.

0 Response to "RINGKASAN MATERI BILANGAN KOMPLEKS"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel