PERTUMBUHAN DAN PELULUHAN EKSPONEN - mathematic.my.id

PERTUMBUHAN DAN PELULUHAN EKSPONEN

Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar. Menjelang tahun 2000, penduduk dunia mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya?.

Untuk menyelesaikan persoalan ini secara matematis, kita andaikan $y=f(t)$ adalah banyaknya penduduk bumi pada saat $t$, dengan $t$ banyaknya tahun setelah tahun 1975. Jelaslah bahwa $f(t)$ bilangan bulat dan grafiknya "meloncat" apabila ada seseorang lahir atau meninggal dunia. Akan tetapi loncatan ini kecil dibandingkan dengan banyaknya penduduk yang besar, oleh karena itu kita dapat menganggap $f$ sebagai suatu fungsi yang dapat didiferensialkan.
Kita dapat pula mengandaikan bahwa penambahan $\Delta y$ populasi (angka kelahiran dikurangi angka kematian) dalam jangka waktu $\Delta t$ sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi $\Delta y = ky \Delta t$ atau $\Delta y/\Delta t=ky$. Kondisi $y=y_0$ pada $t=0$ akan menghasilkan $C=$ ln $y_0$. Jadi,

$dy/dt=ky \quad ....(1)$

Apabila $k>0$ maka populasi meningkat, sedangkan apabila maka populasi berkurang. Untuk penduduk dunia, dan menurut pengamatan, $k \approx 0,0198$ ($t$ dihitung dengan tahun), meskipun para pakar statistik menunjukkan jumlah yang lebih rendah.
Pada persamaan (1), dengan memisahkan variabel-variabel dan mengintegralkannya maka kita peroleh:



ln $y=kt+C$

Syarat pada saat $t=0$ dan $y=y_0$ akan menghasilkan $C=$ ln $y_0$. Sehingga

ln $y-$ ln $y_0=kt$
atau:

Dalam bentuk eksponen ini menjadi:

$y=y_0.e^{kt}$



Kembali kemasalah populasi dunia. Dalam rumus terakhir itu, $t$ adalah banyaknya tahun setelah 1 Januari 1975 dan $y$ dinyatakan dengan satuan milyar. Jadi $y_0=4$, oleh karena $k=0,0198$, maka:
$y=4.e^{0,0198}$. Ditahun 2000 nilai $t=25$, kita dapat meramalkan bahwa $y$ akan bernilai
$y=4.e^{(0,0198)(25)} \approx 6,6$ milyar, perhitungan kita menggunakan kalkulator.

Contoh 1:
Dari masalah populasi dunia di atas, setelah berapa lamakah penduduk dunia akan menjadi dua kali lipat?
Penyelesaian:
Pertanyaan tersebut eqivalen dengan pertanyaan: setelah berapa tahunkah lewat 1975 penduduk dunia mencapai 8 milyar?. Jadi bila dirumuskan, kita harus menentukan $t$ dari persamaan
$8=4.e^{0,0198.t}$
Setelah kedua ruas dibagi dengan 4, kita menarik logaritma
ln 2 = 0,0198.$t$ maka $t=35$ tahun. Jadi populasi dunia akan dua kali lipat dalam 35 tahun pertama setelah tahun 1975.

Contoh 2:
Banyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hari ada 10.000. Setelah 2 jam, banyaknya bakteri ini menjadi 40.000. Berapa banyak bakteri pada pukul 17.00?
Penyelesaian:
Diketahui $y_0=10000$, $y=40000$, dan $t=2$. Sehingga
$40000=10000.e^{k(2)} \quad$ atau $4=e^{2k}$. Jadi $k=$ (ln 4)$/$2 atau $k \approx 0,693$. Jadi,
$y=10000.e^{0,693.t}$ dan untuk $t=5$ kita peroleh $y=10000.e^{(0,693).(5)}=320000$

Model eksponensial untuk pertumbuhan populasi adalah tidak sempurna karena proyek tersebut cepat dan semaki cepat bertumbuh jauh melampaui bayangan semula (Gambar 1 di bawah). Dihampir semua kasus (termasuk kasus populasi dunia), jumlah yang terbatas akan ruang dan sumber daya akhirnya akan memaksa laju pertumbuhan yang lebih lambat. Ini mendorong kita pada model pertumbuhan penduduk yang lain yang disebut model logistik, dimana kita mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan tersebut proporsional baik terhadap besarnya populasi $y$ maupun terhadap selisih $L-y$, dimana $L$ adalah populasi maksimum yang dapat ditunjang. Model ini membentuk persamaan diferensial

Perhatikan bahwa untuk nilai $y$ yang kecil, $dy/dt \approx kLy$ yang memberikan pertumbuhan tipe eksponensial. Tetapi bila $y$ mendekati $L$, maka $dy/dt$ akan semakin kecil mengurangi laju pertumbuhan dan menghasilkan kurva pertumbuhan (Gambar 2). Perhatikan gambar berikut:


Peluluhan Radio Aktif $\quad$ Tidak semua benda akan tumbuh. Khususnya zat-zat radio aktif mengalami peluluhan. Proses ini berjalan dengan laju yang sebanding dengan banyaknya zat yang ada pada suatu saat. Sehingga zat-zat yang meluluh itu juga memenuhi persamaan diferensial,
$dy/dt=ky$
tetapi sekarang nilai $k$ negatif. Walaupun demikian jawabannya tetap $y=y_0.e^{kt}$ (Gambar 3 di atas).
Contoh 3:
Karbon 14, salah satu dari tiga isotop karbon adalah zat radio aktif. Zat ini meluluh dengan laju yang sebanding dengan banyaknya zat itu pada suatu saat. Setengah umurnya adalah 5730 tahun, artinya zat tersebut memerlukan waktu 5730 tahun untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awal ada 10 gram, berapakah sisanya setelah 2000 tahun?
Penyelesaian:
Setengah umur 5730, memungkinkan kita untuk menentukan nilai $k$. Sebab,
$1/2=1.e^{k.(5730)}$
$k=-$(ln 2)/5730 atau
$k=-0,000121$.
Jadi, $y=10.e^{-0,000121.(2000)} \approx 7,80$ gram.

0 Response to "PERTUMBUHAN DAN PELULUHAN EKSPONEN"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel