PENGGUNAAN TURUNAN FUNGSI - mathematic.my.id

PENGGUNAAN TURUNAN FUNGSI

Penggunaan Turunan Fungsi Sebelum membahas lebih jauh tentang bagian ini, diharuskan untuk mengerti materi dasar turunan fungsi. Jika belum mengetahui dasar materi turunan, maka bisa dibaca di link ini: Materi Turunan Fungsi Aljabar dan Sifat-Sifatnya.
Jika sudah mengetahui tentang materi dasar turunan fungsi, maka dapat memahami lebih jauh tentang bagian ini. Berikut ini daftar isi yang diberikan:

Daftar Isi



1. Sejarah Singkat Ilmuan Isaac Newton

Saya tidak tahu bagaimana saya tampak pada dunia; tetapi bagi saya sendiri saya tampaknya hanyalah seperti seorang anak laki-laki yang bermain-main di pantai, dan mengalihkan diri sendiri sekarang dan kemudian menemukan koral yang lebih halus atau kerang yang lebih indah daripada yang biasa, sementara samudera besar dari kebenaran semuanya terbentang di hadapan saya tak terungkapkan.
~ Isaac Newton



Newton, lahir pada keluarga petani Inggris pada hari Natal 1642. Isaac Newton sebagai seorang pemuda remaja memperlihatkan sedikit harapan akademis. Ia bosan dengan sekolah, lebih senang membuat layangan, roda air, jam, dan perkakas lain. Seorang paman pertama kali mengenali bakat luar biasa anak tersebut, ia membujuk ibu Newton untuk memberangkatkan Newton ke Trinity Collage dari Universitas Cambridge. Di sana ia kena pengaruh Isaac Barrow, seorang pakar ilmu agama dan mahaguru matematika. Barrow melihat di dalam Newton kemampuan yang lebih besar daripada dirinya dan menyerahkan kemahaguruannya kepada Newton pada waktu umur Newton hanya 26 tahun.
    Sebelum itu, sesaat setelah diwisuda dari Trinity, Newton pergi pulang untuk menghindari wabah penyakit pes 1664-1665. Selama 18 bulan, sejak Januari 1665, ia menekuni masalah-masalah matematika dan ilmu yang terkemuka. Tidak terdapat kejeniusan yang dapat dibandingkan penuh dalam sejarah ilmu. Dalam waktu singkat tersebut, Newton menemukan teorema Binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial maupun integral, teori warna-warna, dan hukum grafitasi universal. Lagrange memuji bahwa Newtonlah jenius terbesar yang pernah hidup dan yang paling mujur, karena hanya sekali sistem semesta dapat dikembangkan.
    Sama seperti banyak ilmuan sebayanya, Newton adalah seorang pemeluk agama yang shaleh dan dikatakan telah memberikan waktu yang sama banyaknya untuk mempelajari injil dan untuk matematika. Ia meninggal sebagai seorang terhormat pada usia 85 tahun dan dimakamkan dengan kebesaran bangsanya di Westminster Abbey.
Kembali ke Daftar Isi


2. Maksimum dan Minimum

    Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan besar. Contoh lain, seorang dokter akan menentukan dosis obat yang terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Contoh lain, seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendisdribusian produknya. Kadang kala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan dan meminimumkan fungsi tertentu. Bila demikian, metode kalkulus menyediakan sarana yang ampuh untuk memecahkan masalah seperti itu.

    Andaikan kita mengetahui fungsi $f$ dan domain (daerah asal) $S$ seperti pada gambar 2.1 berikut:


    Tugas kita yang pertama adalah menentukan apakah $f$ memiliki nilai maksimum atau minimum pada $S$. Anggap bahwa nilai-nilai tersebut ada, kita ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam $S$ nilai-nilai itu berada. Akhirnya, kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum. Menganalisis ketiga tugas ini merupakan tujuan pokok pada bagian ini. Kita mulai dengan memperkenalkan kosakata yang tepat dalam definisi berikut:

Definisi:
Andaikan $S$, daerah asal $f$ memuat titik $c$. Kita katakan bahwa:
(i) $f(c)$ adalah nilai maksimum $f$ pada $S$ jika $f(c) \ge f(x)$ untuk semua $x$ di $S$.
(ii) $f(c)$ adalah niali minimum $f$ pada $S$ jika $f(c) \le f(x)$ untuk semua $x$ di $S$.
(iii) $f(c)$ adalah nilai ekstrim $f$ pada $S$ jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.


Pertanyaan Eksistensi   Apakah $f$ mempunyai nilai maksimum atau minimum pada $S$?. Jawabannya tergantung, pertama-tama pada himpunan $S$ tersebut. Perhatikan gambar 2.2 berikut:

    Ambillah $f(x)=1/x$ pada $S=(0, \infty)$, fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum ataupun minimum. Jika fungsi pada gambar 2 itu dibatasi pada $s=[1, 3]$ maka ia mempunyai nilai maksimum $f(1)=3$ dan nilai minimum $f(3)=1/3$. Jika fungsi itu dibatasi pada $S=(1, 3]$, maka $f$ tidak mempunyai nilai maksimum dan mempunyai nilai minimum $f(3)=1/3$.
    Jawaban juga tergantung pada tipe fungsi. Ambillah fungsi tak kontinu $g$ pada gambar 2.3 berikut:

    Pada $S=[1, 3]$, $g$ tidak mempunyai nilai maksimum (menjadi cukup dekat ke 2 tetapi tidak pernah mencapainya). Tetapi, $g$ mempunyai nilai minimum yaitu $g(2)=0$.
    Terdapat sebuah teorema bagus yang menjawab pertanyaan eksistensi untuk beberapa masalah yang muncul dalam praktek. Walaupun secara intuisi ini jelas, bukti yang teliti sangat sukar; kita biarkan itu untuk pelajaran lebih lanjut.

Teorema A:
(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika $f$ kontinu pada selang tertutup [$a, b$], maka $f$ mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.


Perhatikan kata-kata kunci: $f$ harus kontinu dan himpunan $S$ harus berupa selang tertutup.

Dimana Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim?   Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang $I$ sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dari sembilan tipe. Beberapa dari selang ini memuat titik-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya, $I=[a, b]$ memuat titik ujung dua-duanya; $[a, b)$ hanya memuat titik ujung kiri; $(a, b)$ tidak memuat titik ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung (lihat gambar 2.4 berikut).

    Jika $c$ sebuah titik pada $f'(c)=0$, kita sebut $c$ titik stasioner. Nama itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stasioner, grafik $f$ mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim sering kali terjadi pada titik-titik stasioner (lihat gambar 2.5 berikut).

    Akhirnya, jika $c$ adalah titik dalam dari $I$ dimana $f'$ tidak ada, kita sebut $c$ titik singular. Ini merupakan titik dimana grafik $f$ mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal, atau mungkin berupa lompatan. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular (Perhatikan gambar 2.6)

    Ketiga jenis titik ini (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular) merupakan titik-titik kunci dari teori maksimum-minimum. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi $f$ yang termasuk salah satu dari tiga tipe ini disebut titik kritis $f$.

Contoh 2.1:
Cari titik-titik kritis dari $f(x)=-2x^3+3x^2$ pada $[-\frac{1}{2}, 2]$.
Penyelesaian:
titik-titik ujung adalah $-\frac{1}{2}$ dan 2. Untuk mencari titik-titik stasioner, kita pecahkan $f'(x)=-6x^2+6x=0$ untuk $x$, diperoleh 0 dan 1. Tidak terdapat titik-titik singular. Jadi, titik-titik kritisnya adalah $-\frac{1}{2}$, 0, 1, 2.

Teorema B:
(Teorema Titik kRITIS). Andaikan $f$ didefinisikan pada selang $I$ yang memuat titik $c$. Jika $f(c)$ adalah titik ekstrim, maka $c$ haruslah suatu titik kritis, yakni $c$ berupa salah satu:
(i) Titik ujung dari $I$.
(ii) Titik stasioner dari $f(f'(c)=0)$.
(iii) Titik singular dari $f(f'(c))$ tidak ada.


Apakah yang dimaksud dengan nilai-nilai ekstrim?  Mengingat teorema A dan B, sekarang kita dapat menyatakan suatu prosedur yang sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu $f$ pada selang tertutup $I$.
  Langkah 1: Carilah titik-titik kritis dari $f$ pada $i$.
  Langkah 2: Hitunglah $f$ pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh 2.2:
Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari:
$f(x)=-2x^3+3x^2$ pada $[-\frac{1}{2}, 2]$.
Penyelesaian:
Dalam contoh 2.1, kita kenali $-\frac{1}{2}$, 0, 1, 2 sebagai titik kritis. Sekarang $f(-\frac{1}{2})=1$, $f(0)=0$, dan $f(2)=-4$. Jadi, nilai maksimum adalah 1 (dicapai pada $-\frac{1}{2}$ dan 1) dan nilai minimum adalah $-4$ (dicapai pada 2).Grafik $f$ diperlihatkan dalam gambar 2.7 berikut:


Contoh 2.3:
Fungsi $F(x)=x^{2/3}$ kontinu dimana-mana. Cari nilai-nilai maksimum dan minimumnya pada $[-1, 2]$.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar 2.8 berikut:

$F'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}$, tidak pernah 0. Tetapi $F'(0)$ tidak ada, sehingga 0 adalah titik kritis, sama seperti titik-titik ujung $-1$ dan 2. Sekarang $F(-1)=1$, $F(0)=0$, dan $F(2)=\sqrt[3]{4} \approx 1,59$. Jadi nilai maksimumnya adalah $\sqrt[3]{4}$ dan nilai minimumnya adalah 0.

Masalah-Masalah Praktis   Yang dimaksudkan dengan masalah praktis adalah masalah yang mungkin timbul dalam kehidupan sehari-hari. Masalah-masalah yang demikian jarang mempunyai titik-titik singular; faktanya, untuk masalah-masalah ini nilai-nilai maksimum dan minimum biasanya terjadi pada titik-titik stasioner, walaupun titik-titik ujung harus diperiksa. Berikut disajikan dua contoh khas:

Contoh 2.4:
Kotak persegi panjang dibuat dari papan triplek dengan panjang 24 inci dan lebar 9 inci, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya, seperti gambar gambar 2.9. Carilah ukuran kotak yang volumenya maksimum, dan berapakah volume itu?

Penyelesaian:
Andaikan $x$ adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong dan $V$ adalah volume kotak yang dihasilkan. Maka:
$V=x(9-2x)(24-2x)$
$V=216x-66x^2+4x^3$
Sekarang $x$ tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari 4,5. Jadi, masalah kita adalah memaksimumkan $V$ pada $[0; 4,5]$. Titik-titik stasioner ditemukan dengan menetapkan $dV/dx$ sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:
$\frac{dV}{dx}=216-132x+12x^2$
$\quad = 12(18-11x+x^2)$
$\quad = 12(9-x)(2-x)=0$.
Ini memberikan $x=2$ atau $x=9$, tetapi 9 tidak pada selang $[0; 4,5]$. Kita lihat bahwa hanya terdapat tiga titik kritis, yaitu 0, 2, dan 4,5. Pada titik-titik ujung 0 dan 4,5 menghasilkan $V=0$, sedangkan pada titik 2 menghasilkan $v=200$. Kita simpulkan bahwa kotak mempunyai volume maksimum 200 inci kubik. Pada $x=2$ yakni jika kotak berukuran panjang 20 inci, lebar 5 inci, dan tinggi 2 inci.

Contoh 2.5:
Seorang peternak mempunyai 100 meter kawat berduri yang akan dipakai membuat dua pagar identik yang berdampingan, seperti diperlihatkan dalam gambar 2.10. Berapakah ukuran seluruh kelilingnya agar luasnya maksimum?

Penyelesaian:
Andaikan $x$ adalah lebar dan $y$ adalah panjang. Karena tersedia 100 meter kawat, maka $3x+2y=100$ atau $y=50-\frac{3}{2}x$ luas total $A$ diberikan oleh:
$A=xy=50x-\frac{3}{2}x^2$
Karena harus terdapat 3 sisi sepanjang $x$ maka $0 \le x \le \frac{100}{3}$. Jadi masalah kita adalah memaksimumkan $A$ padaa $[0, \frac{100}{3}]$. Sekarang,
$\frac{dA}{dx}=50-3x$
Jadi kita tetapkan $\frac{dA}{dx}=0$ dan menyelesaikannya. Kita peroleh $x=50/3$. Jadi terdapat 3 titik kritis, yaitu 0, 50/3, dan 100/3. Kita substitusikan titik kritis itu ke $A(x)$, maka
$A(0)=A(100/3)=0$ dan
$A(50/3)=416,67$. Jadi ukuran yang diinginkan adalah $x=50/3$ meter dan $y=25$ meter.

    Sekarang akan dibahas contoh terakhir yang menggambarkan suatu masalah yang dialami oleh sebuah perusahaan yang menyalurkan produknya dengan mempergunakan truk. Dengan bertambahnya kecepatan truk tersebut, biaya operasinya (bahan bakar, minyak pelumas, dan lain-lain) bertambah, sedangkan biaya tenaga kerja (pengemudi) menjadi berkurang. Berapakah kecepatan yang paling ekonomis bagi sebuah truk yang akan menjalankan tugas?
Contoh 2.6:
Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar $(30+v/2)$ sen dolar per mil pada saat dikemudikan dengan kecepatan $v$ mil per jam. Pengemudinya dibayar 14 dollar per jam. Pada kecepatan berapakah biaya pengiriman ke suatu kota yang jauhnya $k$ mil akan paling murah?, dengan anggapan bahwa aturan kecepatan yang diperbolehkan adalah $40 \le v \le 60$.
Penyelesaian:
Misalkan $C$ adalah biaya total dalam sen dollar untuk menjalankan truk sejauh $k$ mil. Maka,
$C=$ Biaya Pengemudi $+$ Biaya Operasi
$=\frac{k}{v}.(1400)+k(30+v/2)$
$=1400kv^{-1}+\frac{k}{2}v+30k$, maka:
$\frac{dC}{dv}=-1400kv^{-2}+k/2$
dengan mengambil $dC/dv=0$, maka diperoleh: $v=53$ (dibulatkan).
Pada kecepatan 53 mil per jam merupakan nilai optimum, akan tetapi kita harus meninjau $C$ pada tiga titik kritis 40, 53, dan 60 untuk meyakinkan.
$v=40$ maka $C=85k$
$v=53$ maka $C=82,9K$
$v=60$ maka $C=83,3k$
Dapat disimpulkan bahwa pada kecepatan 53 mil per jam adalah yang terbaik.
Kembali ke Daftar Isi


3. Gradien Garis Singgung, Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi

Diberikan definisi sebagai berikut:

Definisi:
Andaikan $f$ terdefinisi pada selang $I$ (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa:
(i) $f$ adalah naik pada $I$ jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam $I$,
$\quad x_1$ < $x_2 \iff f(x_1)$ < $f(x_2)$
(ii) $f$ adalah turun pada $I$ jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam $I$,
$\quad x_1$ < $x_2 \iff f(x_1)>f(x_2)$
(iii) $f$ monoton murni pada $I$ jika ia naik pada $I$, ataupun jika ia turun pada $I$.



Bagaimana kita memutuskan di mana suatu fungsi naik?. Seseorang mungkin menyarankan bahwa kita menggambarkan grafiknya dan memperhatikannya. Tetapi sebuah grafik biasanya digambar dengan merajah beberapa titik dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan suatu kurva mulus. Siapa yang dapat yakin bahwa grafik tidak bergoyang diantara titik-titik yang dirajah. Kita memerlukan prosedur yang lebih baik. Perhatikan gambar 3.1 berikut:



3.1. Gradien Garis Singgung
    Kita telah mengetahui apa itu gradien garis sejak sekolah menengah pertama. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara mencari gradien garis yang menyinggung suatu grafik fungsi pada suatu titik. Berikut ini diberikan rumus atau teorema gradien garis singgung yang melibatkan turunan pertama.



Teorema Garis Singgung:  
Suatu kurva $y$ dan suatu titik $(a, b)$ pada kurva itu. Diberikan $m$ adalah gradien garis yang melalui titik itu (menyinggung kurva) dirumuskan oleh:  
  $m=y'(a,b)$



Contoh 3.1.1:
Tentukan gradien garis singgung lingkaran $x^2+y^2+4x-6y+3=0$ pada titik (1, 2).
Penyelesaian:
Kita akan mencari $y'$ dengan menggunakan turunan implissit, sehingga kita peroleh:
$2x+2y.y'+4-6.y'=0$
$y'=(2x+4)/(6-2y)$.
Jadi, gradien garis singgungnya: $m=3$.



3.2. Kemonotonan Fungsi
  Ingat kembali bahwa turunan pertama atau $f'(x)$ memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik $f$ di titik $x$. Kemudian jika $f'(x)>0$, garis singgung naik ke kanan (lihat gambar 3.2 berikut).

Serupa, jika $f'(x)$ < 0, garis singgung jatuh ke kanan. Fakta-fakta ini membuat teorema berikut secara intuisi.

Teorema A:
(Teorema Kemonotonan). Andaikan $f$ kontinu pada selang $I$ dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari $I$.
(i) Jika $f'(x)>0$ untuk semua titik $x$ dari $I$, maka $f$ naik pada $I$.
(ii) Jika $f'(x)$ < 0 untuk semua titik $x$ dari $I$, maka $f$ turun pada $I$.


Teorema ini biasanya membolehkan kita secara persis menentukan dimana suatu fungsi yang terdiferensial naik dan dimana ia turun. Ini masalah Penyelesaian dua pertidaksamaan.

Contoh 3.2.1:
Jika $f(x)=2x^3-3x^2-12x+7$, cari dimana $f$ naik dan dimana $f$ turun.
Penyelesaian:
Kita mulai dengan mencari $f'(x)>0$ dan $f'(x)$ < 0.
$f'(x)=6x^2-6x-12$
$=6(x+1)(x-2)$
Maka kita peroleh:
$(x+1)(x-2)>0$ dan
$(x+1)(x-2)$ < 0.
Ini merupakan bentuk pertidaksamaan kuadrat yang telah kita pelajari. Jai:
$f$ naik pada $x$ < $-1$ dan $x > 2$, serta
$f$ turun pada $x=(-1, 2)$
Grafik fungsi itu dapat dilihat dalam gambar 3.3 berikut:


Contoh 3.2.2:
Tentukan dimana $g(x)=x/(1+x^2)$ naik dan dimana turun?
Penyelesaian:
$g'(x)=\frac{(1+x^2)-x(2x)}{(1+x^2)^2}$
$=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$
$=\frac{(1-x)(1+x)}{(1+x^2)^2}$
Karena penyebut selalu positif, maka penyebut dapat kita abaikan. Maka untuk $g(x)$ naik pada:
$(x-1)(x+1)>0$
$x$ < $-1$ atau $x>1$,
Dan $g(x)$ turun pada: $(x-1)(x+1)$ < 0 atau $x=(-1, 1)$.

3.3. Kecekungan Fungsi
  Sebuah fungsi mungkin naik, turun, atau tetap. Ini membuat kita menganalisa apakah grafik cekung ke bawah atau ke atas. Untuk menjawab ini, maka kita gunakan teorema kecekungan sebagai berikut:

Teorema B:
(Teorema Kecekungan). Diberikan $f$ terdiferensial dua kali pada selang terbuka $(a, b)$,
(i) Jika $f''(x)>0$ untuk semua $x$ dalam $(a, b)$, maka $f$ cekung ke atas pada $(a, b)$.
(i) Jika $f''(x)$ < 0 untuk semua $x$ dalam $(a, b)$, maka $f$ cekung ke bawah pada $(a, b)$.



Untuk kebanyakan fungsi, teorema ini mengubah masalah penentuan kecekungan ke masalah penyelesaian ketaksamaan.

Contoh 3.3.1:
Dimana $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+4$ naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah?
Penyelesaian:
$f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$
$f''(x)=2x-2=2(x-1)$
Dengan menyelesaikan ketaksamaan $(x+1)(x-3)>0$ atau $(x+1)(x-3)>0$ maka kita simpulkan bahwa $f$ naik pada $x=(-\infty, -1)$ dan $x=(3, \infty)$. Fungsi itu turun pada $x=(-1, 3)$.
Dengan menyelesaikan $2(x-1)>0$ dan $2(x-1)$ < 0 maka: $f$ cekung ke atas pada $x=(1, \infty)$ dan cekung ke bawah pada $x=(-\infty, 1)$.

Kembali ke Daftar Isi

4. Lebih Banyak Masalah Maksimum dan Minimum

    Masalah yang telah kita pelajari sebelumnya (bagian 2) biasanya menganggap bahwa himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang muncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika kita menerapkan secara benar. Ingat dalam hati bahwa maksimum atau minimum tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum atau minimum global.

Ekstrim Pada Selang Terbuka   Kita berikan dua contoh untuk melukiskan prosedur yang sesuai untuk selang terbuka atau setengah terbuka.

Contoh 4.1:
Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari $f(x)=x^4-4x$ pada $(-\infty, \infty)$.
Penyelesaian:
$f'(x)=4x^3-4=4(x^2-1)$
$=4(x-1)(x^2+x+1)$
Karena $x^2+x+1=0$ tidak mempunyai penyelesaian bilangan riil, maka hanya terdapat satu titik kritis yaitu $x=1$. Untuk {$x$ < 1, $f'(x)$ < 0}, sedangkan untuk {$x>1$, $f'(x)>0$}. Maka $f$ turun disebelah kiri $x=1$ dan naik disebelah kanan $x=1$ sehingga $f(1)=-3$ adalah nilai minimum dari $f$. Serta jelas bahwa $f$ tidak mempunyai nilai maksimum. Perhatikan gambar 4.1 berikut:



Contoh 4.2:
Sebuah surat selebaran memuat 50 inci persegi bahan cetak. Jalur bebas cetak di atas dan di bawah selebar 4 inci dan di samping kiri dan kanan selebar 2 inci. Berapa ukuran surat selebaran tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkin?
Penyelesaian:
Andaikan surat edaran mempunyai lebar $x$ dan tinggi $y$ (lihat gambar 4.2 berikut)

Maka luasnya adalah: $A=xy$
Kita bermaksud meminimumkan $A$, seperti terlihat dalam gambar, $A$ diungkapkan dalam bentuk dua variabel, situasi yang tidak kita ketahui bagaimana menanganinya. Tetapi kita akan mencari sebuah persamaan yang mengaitkan $x$ dan $y$ sehingga salah satu dari variabel ini dapat dihilangkan dari ungkapan untuk $A$. Ukuran bahan cetakan adalah $x-4$ dan $y-8$ dan luasnya adalah 50 inci persegi, sehingga $(x-4)(y-8)=50$. Jika kita selesaikan persamaan ini untuk $y$, kita peroleh:
$y=\frac{50}{x-4}+8$
Dengan penggantian ungkapan ini untuk $y$ dalam $A=xy$ memberikan:
$A=\frac{50x}{x-4}+8x$
Nilai-nilai $x$ yang diperbolehkan adalah $x=(4, \infty)$, kita ingin meminimumkan $A$ pada selang ini.
Sekarang $\frac{dA}{dx}=\frac{(x-4)50-50x}{(x-4)^2}+8$
$=\frac{8x^2-64x-72}{(x-4)^2}=\frac{8(x+1)(x-9)}{(x-4)^2}$.
Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menyelesaikan $dA/dx=0$, ini menghasilkan $x=9$ dan $x=-1$. Kita tolak $x=-1$ karena ia tidak dalam selang $(4, \infty)$. Karena $dA/dx$ < 0 untuk $x$ dalam (4, 9) dan $dA/dx >0$ untuk $x$ dalam $(9, \infty)$, kita simpulkan bahwa $A$ mencapai nilai minimumnya pada $x=9$. Nilai ini membuat $y=18$ (diperoleh dengan menggantikannya dalam persamaan yang mengaitkan $x$ dan $y$). Sehingga ukuran surat edaran yang akan memakai kertas paling sedikit adalah 9 inci x 18 inci.

Contoh 4.3:
Cari ukuran tabung tegak yang volumenya sebesar mungkin yang dapat ditempatkan di dalam sebuah kerucut tegak.
Penyelesaian:
Andaikan $a$ tinggi dan $b$ jari-jari dari alas krucut yang diketahui (dua-duanya konstanta). Nyatakan dengan $h$, $r$, dan $V$ masing-masing tinggi, jari-jari, dan volume dari tabung yang dimasukkan. Perhatikan gambar 4.3 berikut:

Volume tabung adalah:
$V=\pi r^2 h$
Dari segitiga-segitiga yang serupa, diperoleh:
$\frac{a-h}{r}=\frac{a}{b}$
yang memberikan
$h=a-\frac{a}{b}r$
Kita substitusikan $h$ dalam $V$ diperoleh:
$V=\pi r^2 (a-\frac{a}{b}r)$
$V=\pi ar^2-\pi \frac{a}{b} r^3$.
Kita ingin memaksimumkan $V$ untuk $r$ dalam selang [0, $b$]. (Seseorang secara yakin menganjurkan - dan dengan alasan yang benar - bahwa selang yang sesuai adalah (0, $b$). Sebanarnya, jawabnya sama saja, walaupun kita harus menerapkan Uji Turunan Pertama jika kita lakukan dengan menggunakan (0, $b$) sebagai daerah asal).
Sekarang,
$\frac{dV}{dr}=2 \pi ar-3 \pi \frac{a}{b} r^2=\pi ar (2-\frac{3}{b} r)$
Ini menghasilkan titik stasioner $r=2b/3$, yang memberikan tiga titik kritis yang harus ditinjau: 0, $2b/3$, dan $b$. Dengan melihat pada gambar itu bahwa $r=0$ dan $r=b$ keduanya memberikan volume 0. Jadi $r=2b/3$ harus memberikan nilai maksimum itu. Kita substitusikan $r$ dalam $h$ diperoleh $h=a/3$. Jadi, ukuran tabung tegak dalam krucut itu adalah $r=2b/3$ dan $h=a/3$.

Berdasarkan contoh-contoh di atas, kita menyarankan sebuah metode langkah demi langkah untuk dipakai dalam masalah maks-min terapan. Jangan mengikutinya secara membabi buta; kadang-kadang akal sehat menyarankan alternatif lain atau penghilangan beberapa langkah.
Langkah 1: Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesuai untuk besaran-besaran kunci.
Langkah 2: Tuliskan rumus untuk besaran $Q$ yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan dalam bentuk variabel-variabel tersebut.
Langkah 3: Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel-variabel ini dan karenanya menyatakan $Q$ sebagai fungsi dari satu variabel misalnya $x$.
Langkah 4: Tentukan himpunan nilai-nilai $x$ yang mungkin, biasanya sebuah selang.
Langkah 5: Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner di mana $dQ/dx=0$.
Langkah 6: Gunakan teori bagian ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberikan maksimum atau minimum.
Kembali ke Daftar Isi


5. Penerapan Ekonomi

    Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulus biasa yang dikenakan baju baru.

    Pandang sebuah perusahaan khas, PT ABC. Untuk memudahkan anggap bahwa ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang; mungkin berupa televisi, aki kendaraan, atau sabun dalam peti. Jika ABC menjual $x$ satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga $p(x)$ untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa $p$ tergantung pada $x$ karena bilamana ABC memperbesar keluarannya, kemungkinan ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan ABC diberikan oleh $R(x)=x.p(x)$ (banyak satuan kali harga tiap satuan).
    Untuk memproduksi dan memasarkan $x$ satuan, ABC akan mempunyai biaya total $C(x)$.Ini biasanya jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan, dan sebagainya) ditambah biaya variabel, yang secara langsung tergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi.

Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba, kita simbolkan $P(x)$, yakni selisih antara pendapatan dan biaya.
$P(x)=R(x)-C(x)$
$=x.p(x)-C(x)$
Umumnya sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. Pada dasarnya, suatu produk akan berupa satuan-satuan diskrit (anda tidak dapat membuat atau menjual 0,23 pesawat televisi atau 3,14 accu mobil). Jadi, fungsi $R(x)$, $C(x)$, dan $P(x)$ pada umumnya didefinisikan hanya untuk $x=$ 0, 1, 2, .... dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit (perhatikan gambar 5.1 berikut).


Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik-titik ini kita hubungkan satu sama lain sehingga membentuk kurva (perhatikan gambar 5.2 berikut).

dengan demikian $R$, $C$, dan $P$ dapat dianggap sebagai fungsi yang dapat didiferensialkan. Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari model matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuat model dari suatu masalah yang nyata dijumpai, kita harus menyederhanakan beberapa asumsi. Ini berati bahwa jawaban yang kita peroleh hanya merupakan jawaban pendekatan - salah satu alasan bahwa ilmu ekonomi sedikit kurang sempurna.

Penggunaan kata Marjinal    Dari masalah PT ABC, andaikan ABC mengetahui fungsi biaya $C(x)$ dan untuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktur utama PT ABC, Badirun ingin menetapkan biaya tambahan tiap satuan jika ABC memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, apakah itu akan lebih sedikit dari pendapatan tambahan tiap satuan? Jika demikian, akan merupakan pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya. Jika fungsi biaya adalah seperti yang diperlihatkan dalam gambar 5.3 berikut:

Direktur utama Badirun menanyakan nilai $\Delta C/\Delta x$ pada saat $\Delta x=1$. Tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai
$\lim \limits_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta C}{\Delta x}}$
Pada saat $x=2000$, ini disebut biaya marjinal. Kita para matematikawan mengenalinya sebagai $dC/dx$, turunan $C$ terhadap $x$. Dengan nafas serupa, kita definisikan harga marjinal sebagai $dp/dx$.

Contoh 5.1:
Andaikan $C(x)=8300+3,25x+40 \sqrt[3]{x}$ rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka jika $x=1000$.
Penyelesaian:
Biaya rata-rata:
$\frac{c(x)}{x}=\frac{8300+3,25x+40x^{1/3}}{x}$
Biaya marjinal:
$\frac{dC}{dx}=3,25+\frac{40}{3}x^{-2/3}$
Pada $x=1000$, ini masing-masing mempunyai nilai-nilai 11,95 dan 3,38. Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp11.950 untuk memproduksi 1000 satuan yang pertama; untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 1000 hanya memerlukan biaya Rp3.380.

Contoh 5.2:
Sebuah perusahaan memperkirakan bahwa akan dapat menjual 1000 satuan tiap minggu jika menetapkan harga satuan sebesar Rp3.000, tetapi bahwa penjualan mingguannya akan meningkat 100 satuan dengan tiap penurunan harga sebesar 100. Jika $x$ adalah banyaknya satuan yang terjual tiap minggu $(x \ge 1000)$, cari:
(a) fungsi harga, $p(x)$.
(b) banyaknya satuan dan harga yang berpadanan yang akan memaksimumkan pendapatan mingguan.
(c) pendapatan mingguan maksimum.
Penyelesaian:
(a) kita mengetahui bahwa
$x=1000 + \frac{3-p(x)}{0,1} (100)$
atau eqivalennya,
$p(x)=4-0,001x$.
(b) $R(x)=x p(x)=4x-0,001x^2$
$\frac{dR}{dx}=4-0,002x$
titik-titik kritis hanyalah titik ujung 1000 dan titik stasioner 2000, yang diperoleh dengan menetapkan $dR/dx=0$. Uji turunan pertama ($R'(x)>0$ untuk $1000 \le x$ < 2000 dan $R'(x)$ < 0 untuk $x> 2000$) memperlihatkan bahwa $x=2000$ memberikan pendapatan maksimum. Ini berpadanan terhadap harga satuan $p(2000)=$ Rp2.000.
(c) Pendapatan mingguan maksimum adalah $R(2000)=$ Rp4.000.000.

Contoh 5.3:
Dalam memproduksi dan menjual $x$ satuan komoditi tertentu, fungsi harga $p$ dan fungsi biaya $C$ (dalam ribuan rupiah) diberikan oleh:
$p(x)=5-0,002x $
$C(x)=3+1,1 x$
Cari ungkapan untuk pendapatan marjinal,biaya marjinal, dan keuntungan marjinal serta tentukan tingkat produksi yang akan menghasilkan keuntungan total maksimum.
Penyelesaian:
$R(x)=xp(x)=5x-0,002x^2$
$P(x)=R(x)-C(x)=-3+3,9x-0,002x^2$
Jadi, kita mempunyai turunan-turunan berikut:
Pendapatan marjinal: $\frac{dR}{dx}=5-0,004x$
Biaya marjinal: $\frac{dC}{dx}= 1,1$
Laba marjinal: $\frac{dP}{dx}=\frac{dR}{dx} - \frac{dC}{dx}=3,9-0,004x$
Untuk memaksimumkan laba, kita tetapkan $dP/dx=0$. Ini memberikan $x=975$ sebagai satu-satunya bilangan kritis yang ditinjau. Ia memang menyediakan suatu maksimum, seperti bila diperiksa dengan uji turunan pertama. Jadi laba maksimumnya adalah $P(975)=$ Rp1.898,25 (ribu) atau = Rp1.898.250,-. Perhatikan bahwa di $x=975$, pendapatan marjinal dan biaya marjinal dua-duanya adalah Rp1.100,-. Secara umum, sebuah perusahaan harus mengharapkan berada pada tingkat laba maksimum bila biaya produksi sebuah satuan tambahan tepat sama dengan pendapatan dari satuan tersebut.

Pernyataan yang baru dibuat menganggap bahwa fungsi biaya dan fungsi pendapatan adalah fungsi yang baik, fungsinya dapat didiferensialkan dan bahwa titik ujungnya tidak penting. Dalam beberapa situasi, fungsi biaya sebenarnya melompat, seperti bila ditambahkan seorang karyawan baru atau sebuah peralatan baru. Juga sebuah pabrik mungkin mempunyai kapasitas maksimum, sehingga memperkenalkan titik ujung penting. Kita berikan kemungkinan-kemungkinan ini dalam dua contoh berikutnya.

Contoh 5.4:
Perusahaan XYZ menghasilkan kursi rotan. Dengan mesinnya yang sekarang, mempunyai keluaran tahunan maksimum sebanyak 500 satuan. Jika ia membuat $x$ kursi, dan menetapkan harga $p(x)=200-0,15x$ (ribu) rupiah per buahnya dan akan mempunyai total biaya tahunan $C(x)=4000 +6x-0,001x^2 (ribu) rupiah. Berapa tingkat produksi yang memaksimumkan total laba tahunan?
Penyelesaian:
$R(x)=x p(x) = 200x-0,15x^2$
sehingga
$P(x)=R(x)-C(x)=-4000+194x-0,149x^2$. Jadi,
$\frac{dP}{dx}=194-0,298x=0$
yang menghasilkan titik stasioner 651. Tetapi 651 tidak pada selang [0, 500], sehingga titik-titik kritis yang diperiksa hanyalah kedua titik-titik ujung yakni 0 dan 500. Jika maksimumnya di 0 maka perusahaannya akan cepat bangkrut. Jadi maksimumnya terjadi di $x=500$ yang menghasilkan keuntungan maksimum sebesar $P(500)=$ Rp55.750.000,-.

Contoh 5.5:
Dengan tambahan sebuah mesin baru, perusahaan XYZ pada contoh 5.4 di atas dapat menaikkan produksi tahunannya sebanyak 750 kursi. Tetapi fungsi biayanya menjadi berbentuk
$C(x)= 4000+6x-0,001x^2$ jika $0 \le x \le 500$; dan
$C(x)=6000+6x-0,003x^2$ jika 500 < $x \le 750$.
Berapa tingkat produksi yang memaksimumkan total keuntungan tahunan dibawah situasi ini?
Penyelesaian:
Fungsi biaya baru menghasilkan fungsi keuntungan baru
$P(x)=-4000+194x-0,149x^2$ jika $0 \le x \le 500$; dan
$P(x)=-6000+194x-0,147x^2$ jika 500 < $x \le 750$; dan
Pada selang $x=$ (500, 750)
$\frac{dP}{dx}=194-0,294x$
yang memberikan titik stasioner $x=660$. Terdapat empat titik kritis yakni 0, 500, 660, dan 750. Nilai-nilai $P$ yang berpadanan adalah $-4000$, 55.750, 58.007, dan 56.813. Kita simpulkan bahwa suatu tingkat produksi 660 satuan memberikan keuntungan maksimum. Perhatikan grafik pada gambar 5.4 berikut yang memperjelas contoh ini.

Kembali ke Daftar Isi


6. Dalil L'Hopital

Dalil L'Hopital ini berkaitan dengan pencarian nilai limit fungsi bentuk fungsi rasional. Penggunaan dalil ini dapat dipakai jika hasil limitnya bentuk tak tentu. Jika anda belum mengetahui tentang apa itu limit, maka bisa membaca di link ini: Limit Fungsi Dasar
Diberikan dalil L'Hopital sebagai berikut:

Dalil L'Hopital:
Jika nilai dari $\lim \limits_{x \to c} {\frac{f(x)}{g(x)}}$ berbentuk tak tentu, maka berlaku:

$\lim \limits_{x \to c} {\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim \limits_{x \to c} {\frac{f'(x)}{g'(x)}}$.   Dan jika nilainya masih berbentuk tak tentu maka tentukan turunan ke 2 sampai seterusnya sampai hasil limitnya ada.


Contoh 6.1
$\lim \limits_{x \to 0} {sin x/tanx}= ....$
Penyelesaian:
Jika kita cari dengan cara substitusi maka akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Jadi cara mudahnya kita gunakan dalil L'Hopital seperti yang dijelaskan di atas. Maka diperoleh:
$\lim \limits_{x \to 0} {sin x/tanx}=\lim \limits_{x \to 0} {cos x/sec^2x}=1$. (ingat turunan fungsi trigonometri, jika lupa bisa dibaca di link ini: Turunan Fungsi Trigonometri)

Contoh 6.2:
$\lim \limits_{x \to 0} {\frac{x-sin x}{1-cosx}}= ....$
Penyelesaian:
Jika kita cari dengan cara substitusi maka akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Jadi cara mudahnya kita gunakan dalil L'Hopital seperti yang dijelaskan di atas. Maka diperoleh:
$\lim \limits_{x \to 0} {\frac{x-sin x}{1-cosx}}=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{1-cos x}{sinx}}$
Perhatikan bahwa jika kita substitusikan maka hasilnya 0/0, maka harus kita turunkan kembali, sehingga diperoleh:
$\lim \limits_{x \to 0}{\frac{1-cos x}{sinx}}=\lim \limits_{x \to 0}{\frac{sinx}{cosx}}=0$.
Jadi diperoleh hasil limitnya 0.

Contoh 6.3:
$\lim \limits_{x \to 1} {(2-x)^{1/(x-1)}}=....$
Penyelesaian:
Jika kita substitusikan langsung maka menghasilkan $1^{\infty}$, ini adalah bentuk tak tentu. Coba perhatikan penyederhanaan ini:
$=\lim \limits_{x \to 1} {e^{\frac{ln(2-x)}{x-1}}}$
Perhatikan bahwa bentuk pangkatnya adalah fungsi rasional, yang jika kita substitusikan $x=1$ akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Maka kita gunakan dalil L' Hopital,
$=\lim \limits_{x \to 1} {\frac{ln(2-x)}{x-1}}=\lim \limits_{x \to 1} {\frac{-1/(2-x)}{1}}$
$=\lim \limits_{x \to 1}{\frac{-1}{2-x}}=-1$.
Jadi, $\lim \limits_{x \to 1} {(2-x)^{1/(x-1)}}=1/e$.
Kembali ke Daftar Isi



7. Teorema Nilai Rata-Rata

    Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema ini mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara $A$ dan $B$, maka terdapat paling sedikit satu titik $C$ pada grafik antara $A$ dan $B$ sehingga garis singgung di titik $C$ sejajar talibusur $AB$ . Perhatikan gambar 7.1 hanya terdapat satu titik $C$ yang demikian, dan dalam gambar 7.2 terdapat beberapa titik $C$.



Diberikan teorema nilai rata-rata sebagai berikut:

Teorema Nilai Rata-rata:
Jika $f$ kontinu pada selang tertutup [$a$, $b$] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari ($a$, $b$), maka terdapat paling sedikit satu bilangan $c$ dalam ($a$, $b$) dimana
$f(b)-f(a)=(b-a).f'(c)$


Dari teorema di atas maka kita dapat mencari titik $c$ dengan $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Contoh 7.1:
Cari bilangan $c$ yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk $f(x)=2\sqrt{x}$ pada selang [1, 4].
Penyelesaian:
$f'(x)=2.\frac{1}{2} x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$.
dan
$\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=2/3$. Jadi $1/\sqrt{c}=2/3$ atau $c=9/4$.

Contoh 7.2:
Diberikan $f(x)=x^3-x^2-x+1$ pada selang $x=$ [$-1$, 2]. Jika titik $A(-1, f(-1))$ dan titik $B(2, f(2))$, maka berapa banyak garis singgung kurva yang sejajar dengan garis $AB$ dengan titik singgung $x$ masih berada dalam selang $x=$ [$-1$, 2]?.
Permasalahan semavam ini dapat diselesaikan dengan teorema nilai rata-rata.
$f'(x)=3x^2-2x-1$
dan
$\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=1$. Maka diperoleh:
$3c^2-2c-2=0$ (ini adalah persamaan kuadrat).
Karena nilai diskriminannya lebih besar nol, maka kedua akarnya riil, dan karena nilai ekstrimnya negatif maka terbuka ke atas. Jadi untuk mengetahui apakah akar-akar itu dalam selang [$-1$, 2] maka cukup kita substitusikan kedua titik ujung selang itu yakni $x=-1$ dan $x=2$ diperoleh:
$f(-1)=3>0$ dan $f(2)=6>0$, sehingga jelas bahwa kedua akar persamaan $3c^2-2c-2=0$ berada dalam selang [$-1$, 2]. Jadi, banyak garis singgung kurva yang sejajar dengan garis $AB$ dengan titik singgung $x$ masih berada dalam selang $x=$ [$-1$, 2] sebanyak 2 garis.
Kembali ke Daftar Isi


Itulah pembahasan tentang beberapa penggunaan turunan fungsi yang dapat dijelaskan dalam postingan ini. Jika para pembaca ada yang tidak paham, ingin menambahi ataupun mengkritik maka dipersilahkan untuk berkomentar pada kolom komentar yang disediakan di bawah. Sekian dan terima kasih, sampai jumpa di postingan lainnya, semoga bermanfaat..

0 Response to "PENGGUNAAN TURUNAN FUNGSI"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel