KALKULUS FUNGSI LOGARITMA ASLI

September 15, 2020
Keampuhan kalkulus, baik berupa turunan maupun integral harus dikuasai materi dasarnya dalam memahami pertemuan ini. Coba perhatikan pernyataan turunan fungsi berikut:
$D_x (x^3/3) = x^2$
$D_x (x^2/2) = x^1$
$D_x (x) = 1=x^0$
$D_x (???) = x^{-1}$
$D_x (-x^{-1}) = x^{-2}$
$D_x (\frac{-x^{-2}}{2}) = x^{-3}$
Apakah tidak terdapat fungsi yang memiliki turunan $1/x$?. Sebaliknya, apakah tidak terdapat anti-turunan $(1/x)dx$?. Kita akan mendekati kesimpulan ini, jika kita membatasi perhatian terhadap berbagai fungsi yang telah dipelajari. Akan tetapi, kita sedang berusaha untuk menciptakan fungsi baru sesuai aturan dasar kalkulus utama yakni turunan dan integral. Fungsi pertama yang kita bahas adalah fungsi logaritma asli. Berikut ini definisi fungsi logaritma asli.

Definisi
Fungsi logaritma asli ditulis sebagai ln, didefinisikan dengan:
$ln (x)=\int^x_1 1/t dt;$ $\quad x>0$
Daerah definisinya adalah himpunan bilangan riil positif.



Perhatikan gambar berikut:

Pada gambar di atas menunjukkan arti geometri dari $ln(x)$. Diagram ini mengukur luas dibawah kurva $y=1/t$ antara 1 dan $x$ jika $x>-1$ dan nilai negatif dari luas ini jika 0 < $x$ < 1.
Tidak seorangpun akan ragu bahwa $ln(x)$ terdefinisi dengan baik untuk $x>0$. Dan apakah turunan dari fungsi baru ini? Benar-benar apa yang kita inginkan. Kemudian kita akan membahas turunan logaritma asli.
Turunan Fungsi Logaritma Asli Kita mengetahui bahwa turunan suatu integral terhadap batas atasnya adalah pengevaluasian integral tersebut di batas atas. Jadi,

$D_x$ ln $x=1/x \quad$, dimana $x>0$.


Dengan menggunakan aturan rantai, andaikan $u=f(x)>0$ maka apabila $f$ dapat dideferensialkan, kita peroleh:
$D_x$ ln $u=\frac{1}{u} D_x u$.

Contoh 1: Tentukan $D_x$ ln $\sqrt{x}$
Penyelesaian:
Andaikan $u=\sqrt{x}=x^{1/2}$, maka
$D_x$ ln $\sqrt{x}=\frac{1}{x^{1/2}}.\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2x}$.

Contoh 2: Tentukan $D_x$ ln $(x^2-x-2)$.
Penyelesaian:
Karena fungsi didalam ln harus > 0, maka $x^2-x-2>0$, diperoleh $x<-1$ atau $x>2$., pada daerah ini berlakulah:
$D_x$ ln $(x^2-x-2)=\frac{1}{x^2-x-2} D_x(x^2-x-2)$
$=\frac{2x-1}{x^2-x-2}$.

Contoh 3: Perlihatkan bahwa $D_x$ ln $|x|=1/x$, $\quad x \ne 0$.
Penyelesaian:
Ada dua kasus, pertama apabila $x>0$, $|x|=x$ maka $D_x$ ln $|x|=D_x$ ln $x=1/x$.
Kedua apabila $x$ < 0, maka $|x|=-x$, sehingga $D_x$ ln $|x|=D_x$ ln $(-x)=\frac{1}{-x}.(-1)=1/x$. Dari hasil ini kita peroleh bahwa:
$\int \frac{1}{x} dx =$ ln $|x|+C, \quad x \ne 0$.
Kalau $x$ diganti dengan variabel $u$, kita peroleh rumus:

$\int \frac{1}{u} du =$ ln $|u|+C, \quad u \ne 0$.



Contoh 4: Hitunglah $\int \frac{5}{2x+7} dx$.
Penyelesaian:
Andaikan $u=2x+7$ jadi $du=2dx$ atau $dx=\frac{1}{2} du$, maka bentuk integral menjadi:
$\int \frac{5}{2x+7} dx=\frac{5}{2}. \int \frac{1}{u} du$. sehingga
$= \frac{5}{2}$ ln $|2x+7|+C$.

Contoh 5: Hitunglah $\int \frac{x}{10-x^2} dx$.
Penyelesaian:
Andaikan $u=10-x^2$, maka $du=-2x dx$ atau $x dx = -\frac{1}{2} du$. maka bentuk integral menjadi:
$\int \frac{x}{10-x^2} dx=\int \frac{x dx}{10-x^2}=-\frac{1}{2}.\int \frac{1}{u} du$, sehingga diperoleh:
$=-\frac{1}{2}.$ ln $|10-x^2|+C$.

Sekian postingan kalkulus fungsi logaritma asli, sampai jumpa dan semoga bermanfaat..
Previous
Next Post »
0 Komentar