KALKULUS FUNGSI EKSPONEN UMUM DAN FUNGSI LOGARITMA UMUM - mathematic.my.id

KALKULUS FUNGSI EKSPONEN UMUM DAN FUNGSI LOGARITMA UMUM

Kalkulus Eksponen Umum
Definisi fungsi eksponen umum yang terkait dengan bilangan $e$ dan logaritma asli (ln), sebagai berikut:

Definisi:
Untuk $a>0$ dan $x$ bilangan riil sebarang, maka $a^x=e^{x.ln(a)}$

Definisi tersebut tentunya akan berguna apabila sifat-sifat tentang pangkat tetap berlaku; hal ini memang akan kita buktikan di bawah ini. Untuk meyakinkan definisi tersebut, kita gunakan dia untuk menghitung $3^2$ (dengan bantuan kalkulator).
$3^2=e^{2.ln(3)} \approx e^{2.(1,0986123)} \approx 9,0000002$
Perbedaan yang kecil ini diakibatkan pembulatan oleh kalkulator itu.

Berikut ini sifat-sifat eksponen umum:

Apabila $a>0$, $b>0$, $x$ dan $y$ bilangan riil, maka:
(i) $\quad a^x.a^y=a^{x+y}$
(ii) $\quad a^x/a^y=a^{x-y}$
(iii) $\quad (a^x)^y=a^{xy}$
(iV) $\quad (ab)^x=a^x.b^x$
(v) $\quad (a/b)^x=a^x/b^x$


Berikut ini rumus turunan dan integral fungsi eksponen umum:

$D_x a^x=a^x$ ln $a$
$\int a^x dx = a^x/$(ln $a$) $+C$

Rumus integral tersebut adalah akibat langsung dari pendiferensialan $D_x a^x$

Contoh 1:
Tentukan $D_x 3^{\sqrt{x}}$
Penyelesaian:
Gunakan aturan rantai dengan memisalkan $u=\sqrt{x}$.
$D_x 3^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}}.$ln 3 $.D_x \sqrt{x}$
$=(3^\sqrt{x}$ ln 3$)/(2\sqrt{x})$

Contoh 2:
Tentukan $dy/dx$ jika $y=(x^4+2)^5+5^{x^4+2}$
Penyelesaian:
Soal ini dapat diselesaikan dengandiferensial implisit,
$dy/dx=5(x^4+2)^4.4x^3+5^{x^4+2}.$ln 5 $.4x^3$

Contoh 3:
Tentukan $\int 2^{x^3}.x^2 dx$
Penyelesaian:
Ambil $u=x^3$ maka $du=3x^2dx$ atau $x^2 dx=(1/3)du$. Sehingga
$\int 2^{x^3}.x^2 dx=(1/3).\int 2^u du$
$=(1/3).2^u/($ln 2$)+C=2^{x^3}/($3.ln 2$)+C$.

Kalkulus Logaritma Umum
Logaritma umum dinotasikan sebagai $^a log$ atau $log_a$ dimana $a$ adalah basis logaritmanya.

Definisi:
Andaikan $a$ bilangan positif dan $a \ne 1$. Maka
$y=log_a x \iff x=a^y$

Semula orang menggunakan bilangan 10 sebagai bilangan pokok, logaritma itu dinamakan logaritma biasa. Tetapi dalam kalkulus orang menggunakan bilangan $e$ sebagai bilangan pokok logaritma. Perhatikan bahwa:

$log_e(x) =ln(x)$

Perhatikan bahwa apabila $y=log_a x$ maka $x=a^y$ sehingga

$ln(x)=y.ln(a)$
$y=ln(x)/ln(a)$
$log_a x=ln(x)/ln(a)$

Dari hubungan tersebut dapat kita tarik kesimpulan bahwa fungsi $log_a$ memiliki sifat-sifat yang lazimnya berlaku untuk logaritma. Begitu pula berlaku rumus turunan berikut:

$D_x log_a x= 1/ [x.ln(a)]$

Contoh 1:
Apabila $y=log_{10}(x^4+13)$, tentukanlah $dy/dx$
Penyelesaian:
Ambil $u=x^4+13$ dan gunakan aturan rantai.



Contoh 2:
Tentukan $D_x(x^x)$
Penyelesaian:
$y=x^x$
ln $y=x.$ln $x$
Cari $y'$ dengan teknik turunan implisit
$\frac{1}{y}.y'=x.\frac{1}{x}+$ ln $x$
$y'=y.(1+$ln $x)=x^x.(1+$ ln $x)$.
Jadi, $D_x(x^x)=x^x.(1+$ ln $x)$.

0 Response to "KALKULUS FUNGSI EKSPONEN UMUM DAN FUNGSI LOGARITMA UMUM"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel