INDUKSI MATEMATIKA - mathematic.my.id

INDUKSI MATEMATIKA


Sering kali dalam proses matematis kita perlu menetapkan bahwa suatu proposisi tertentu $P_n$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat $n \ge 1$ (atau mungkin setiap bilangan bulat $n \ge N$). Di sini diberikan tiga buah contoh:
$1. \quad P_n: 1^2+2^2+3^2+...+n^2$
$\quad =n(n+1)(2n+1)/6$
$2. \quad Q_n: 2^n>n+20$.
$3. \quad R_n: n^2-n+41$ adalah bilangan prima.
Proporsi $P_n$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif, dan $Q_n$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan 5 (seperti akan ditunjukkan kemudian). Tetapi proposisi ketiga, $R_n$ adalah menarik. Perhatikan bahwa untuk $n=1, 2, 3, ...$, nilai-nilai $n^2-n+41$ adalah 41, 43, 47, 53, 61, ... (merupakan bilangan-bilangan prima). Kenyataannya kita akan mendapatkan suatu bilangan prima untuk semua $n$ sampai 40, tetapi pada $n=41$ rumus tersebut menghasilkan bilangan komposit 1681 = (41)(41). Dengan menunjukkan bahwa suatu proposisi adalah benar untuk 40, masing-masing kasus mungkin akan menghasilkan suatu proposisi, tetapi tentu saja tidak dapat dibuktikan bahwa hal ini benar untuk semua $n$. Perbedaan antara kasus dengan sembarang bilangan terhingga dan semua kasus sangat besar.

Apa yang harus dilakukan? Adakah prosedur untuk menetapkan bahwa suatu proposisi $P_n$ adalah benar untuk semua $n$? Jawaban yang dapat membenarkan ini diberikan oleh Prinsip Induksi Matematis.

(Prinsip Induksi Matematis). Misalkan {$P_n$} adalah suatu deret proposisi yang memenuhi kedua persyaratan di bawah ini:
(i) $P_n$ adalah benar untuk nilai awal.
(ii) $P_{k+1}$ benar jika dan hanya jika $P_k$ benar, dimana $k \subseteq n$

Kita tidak perlu membuktikan prinsip ini, biasanya prinsip ini diambil sebagai suatu aksioma yang wajar.

Contoh 1:
Buktikan bahwa
$P_n: 1^2+2^2+3^2+...+n^2$
$=n(n+1)(2n+1)/6$
adalah benar untuk semua $n \ge 1$.
Penyelesaian:
- Pertama kita cari untuk nilai awal yakni, untuk $n=1$
$P_1=1^2=1(1+1)(2+1)/6=1$ adalah benar.
- Kedua asumsikan benar bahwa untuk $n=k$ maka $P_k=1^2+2^2+3^2+...+k^2$
$=k(k+1)(2k+1)/6$ adalah benar, dengan $k \in N$.
- Ketiga kita untuk $n=k+1$, kita cari $P_{k+1}$ dengan menggunakan dasar asumsi pada langkah kedua,
$P_{k+1}=1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2$
$=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2$
$=(k+1)(2k^2+k+6k+6)/6$
$=(k+1)(2k^2+7k+6)/6$
$=(k+1)(k+2)(2k+3)/6$
Perhatikan bahwa jika kita substitusikan $n=k+1$ ke dalam $P_n$ ruas kanan maka akan sita peroleh hal yang sama dengan hasil akhir di atas.

Contoh 2:
Buktikan bahwa $P_n: 2^n>n+20$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat $n \ge 5$.
Penyelesaian:
Pertama-tama perhatikan bahwa $P_5: 2^5>5+20$ adalah benar. Kedua, asumsikan bahwa $P_k: 2^k>k+20$ adalah benar untuk $k \in n$. Ketiga Cari $P_{k+1}$ berdasarkan asumsi,
$2^{k+1}=2.(2^k)>2.(k+20)$
$2^{k+1}>2k+40$ ...(i)
Substitusikan langsung $n=k+1$ ke $P_n$ yakni,
$P_{k+1}: 2^{k+1}>(k+1)+20$
$P_{k+1}: 2^{k+1}>k+21 ...(ii)$
Jadi persamaan $(ii)$ adalah benar berdasarkan persamaan $(i)$, sebab $2k+40>k+21$

Contoh 3:
Buktikan bahwa $P_n: \quad (x-y)$ adalah faktor dari $x^n-y^n$, untuk setiap bilangan asli $n$.
Penyelesaian:
- Pertama untuk $n=1$ benar bahwa $(x-y)$ adalah faktor dari $(x-y)$.
- Kedua asumsikan benar untuk $n=k$ maka $(x-y)$ adalah faktor dari $x^k-y^k$, sehingga $x^k-y^k=Q(x,y).(x-y)$.
- Ketiga untuk $n=k+1$ maka:
$x^{k+1}-y^{k+1}=x^{k+1}-x^ky+x^ky-y^{k+1}$
$=x^k(x-y)+y(x^k-y^k)$
$=x^k(x-y)+y.Q(x,y).(x-y)$
$=[x^k+y.Q(x,y)].(x-y)$
Jadi, terbukti bahwa untuk $n=k+1$ maka $(x-y)$ adalah faktor dari $x^{k+1}-y^{k+1}$.

0 Response to "INDUKSI MATEMATIKA"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel