FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS - mathematic.my.id

FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS


Enam fungsi dasar trigonometri (yaitu sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan) sudah kita pelajari, jika belum mengetahui tentang enam fungsi dasar trigonometri ini maka bisa dibaca di link ini: Trigonometri Dasar.
Mengenai fungsi inversnya, akan kita pelajari dibagian ini.

Fungsi Invers Sinus dan Cosinus $\quad$ Dalam kasus sinus dan cosinus, kita batasi daerah asalnya sedangkan daerah hasilnya kita ambil seluas mungkin asalkan fungsi itu memiliki invers. Kita definisikan fungsi-fungsi invers sinus dan cosinus sebagai berikut:

Definisi:
Untuk memperoleh invers dari sinus dan cosinus, kita batasi daerah asal fungsi sinus pada selang $x=[-\pi /2, \pi /2]$, dan fungsi cosinus pada selang $x=[0, \pi]$, sehingga:
$x=$ sin $^{-1} y \iff y=$ sin $x$
$x=$ cos $^{-1} y \iff y=$ cos $x$

Lambang sin$^{-1}$ dapat ditulis dengan arcsin dan cos$^{-1}$ dapat ditulis dengan arccos. Perlu diingat bahwa:

invers dari trigonometri itu menghasilkan nilai sudut baik dalam satuan derajat maupun satuan radian.


Contoh 1:
Hitunglah:
(a) sin$^{-1}(\sqrt{2}/2)$
(b) sin$^{-1}(-1/2)$
(c) cos$^{-1}(\sqrt{3}/2)$
(d) cos$^{-1}(-1/2)$
(e) cos(cos$^{-1}(0,6)$)
(f) sin$^{-1}$(sin $3\pi /2$).
Penyelesaian:
(a) sin$^{-1}(\sqrt{2}/2)=\pi /4$
(b) sin$^{-1}(-1/2)=-\pi /6$
(c) cos$^{-1}(\sqrt{3}/2)=\pi /6$
(d) cos$^{-1}(-1/2)=2\pi/3$
(e) cos(cos$^{-1}(0,6)$) = 0,6
(f) sin$^{-1}$(sin $3\pi /2$) $=-\pi/2$
Kita harus berhati-hati, khususnya pada soal (f). Salahlah kita kalau jawabannya $3\pi/2$ sebab arcsin$^{-1}y$ ada dalam selang $[-\pi/2,\pi/2]$. Untuk menyelesaikan soal (f) ini kita tulis
sin$^{-1}$(sin $3\pi/2$) = sin$^{-1}(-1)=-\pi/2$

Contoh 2:
Hitunglah:
(a) cos$^{-1}(-0,61)$
(b) sin$^{-1}(-0,87)$
(c) sin$^{-1}(1,21)$
(d) sin$^{-1}$(sin 4,13)
Penyelesaian:
Gunakan kalkulator dan gunakan pula satuan radian. Kalkulator sendiri telah disesuaikan sedemikian rupa sehingga jawabannya cocok dengan definisi yang telah kita berikan.
(a) cos$^{-1}(-0,61)$ = 2,2268569
(b) sin$^{-1}(-0,87)$ = $-$1,0552023
(c) Kalkulator memberikan suatu tanda sesuatu yang salah, sebab nilai sin$^{-1}(1,21)$ tidak ada.
(d) sin$^{-1}$(sin 4,13) = $-$0,9884073

Fungsi Invers tangen dan cotangen $\quad$ Kita juga membatasi nilai $x$ untuk invers tangen. Perhatikan definisi berikut:

Definisi:
Untuk memperoleh invers fungsi tangen, kita batasi daerah asalnya pada selang $x=(-\pi/2, \pi/2)$. Sedangkan untuk fungsi cotangen kita batasi daerah asalnya pada selang $x=(0, \pi)$. Sehingga:
$x=$ tan$^{-1}y \iff y=$ tan$x$
$x=$ cot$^{-1}y \iff y=$ cot$x$

Contoh 3:
Hitunglah:
(a) tan$^{-1}(1)$
(b) cot$^{-1}(\sqrt{3}$
(c) tan$^{-1}$(tan $\pi/4$)
(d) cot (cot$^{-1}(1/\sqrt{3})$
Penyelesaian:
(a) tan$^{-1}(1)=45$ derajat
(b) cot$^{-1}(\sqrt{3}=30$ derajat
(c) tan$^{-1}$(tan $\pi/4$) = tan$^{-1}(1)=\pi/4$ radian
(d) cot (cot$^{-1}(1/\sqrt{3})=$cot $(\pi/3)=1/\sqrt{3}$

Fungsi Invers secan dan cosecan $\quad$ Perhatikan definisi berikut:

Untuk memperoleh fungsi invers secan batasan $x=[0, \pi]$ dan $x \ne \pi/2$. Sedangkan untuk fungsi cosecan batasan $x=[\pi/2, 3\pi/2]$ dan $x \ne \pi$. Sehingga:
$x=$ sec$^{-1}y \iff y=$ sec$x$
$x=$ csc$^{-1}y \iff y=$ csc$x$

Karena sec$x=1/$(cos$x$) maka sec$^{-1}y=$ cos$^{-1}(1/y)$. Dengan cara yang sama maka diperoleh csc$^{-1}y=$ sin$^{-1}(1/y)$.

Contoh 4:
Hitunglah:
(a) sec$^{-1}(-1)$
(b) sec$^{-1}(2)$
(c) csc$^{-1}(2)$
Penyelesaian:
(a) sec$^{-1}(-1)=$ cos$^{-1}(-1)=\pi$
(b) sec$^{-1}(2)=$ cos$^{-1}(1/2)=\pi/2$
(c) csc$^{-1}(2)=$ sin$^{-1}(1/2)=\pi/6$

Empat Pemakaian Kesamaan $\quad$ Beberapa kesamaan yang berguna pada bagian ini adalah:

(1) sin (cos$^{-1}x$) $=\sqrt{1-x^2}$
(2) cos (sin$^{-1}x$) $=\sqrt{1-x^2}$
(3) sec (tan$^{-1}x$) $=\sqrt{1+x^2}$
(4) tan (sec$^{-1}x$) $=\sqrt{x^2-1}$

Kita dengan mudah dapat membuktikan empat kesamaan di atas. Sebagai contoh kesamaan pertama,
$cos (sin^{-1}x)=\sqrt{1-(sin (sin^{-1}x))^2}$
$=\sqrt{1-x^2}$

Contoh 5:
Hitunglah sin[2.cos$^{-1}(2/3)$]
Penyelesaian:
Ingat hubungan sudut ganda sin$2\alpha=2.$sin$\alpha$.cos$\alpha$. Dengan substitusi $\alpha=$ cos$^{-1}(2/3)$, maka diperoleh:
sin[2.cos$^{-1}(2/3)$]
$=2.$ sin[cos$^{-1}(2/3)$]. cos[cos$^{-1}(2/3)$]
$=2.(\sqrt{1-4/9}).(2/3)=4\sqrt{5}/9$

Contoh 6:
Buktikan bahwa
cos(2 tan$^{-1}x$) $=(1-x^2)/(1+x^2)$
Penyelesaian:
Kita gunakan hubungan sudut ganda cos$2\alpha=$ 2.cos$^2\alpha -1$. Dengan substitusi $\alpha=$ tan$^{-1}x$, maka:
cos(2 tan$^{-1}x$) $=$ cos $2\alpha$
$\quad=$ 2.cos$^2\alpha -1$
$\quad= 2/($sec$^2\alpha)$
$\quad= 2/(1+$ tan$^2\alpha)$
$\quad= [2/(1+x^2)]-1$
$\quad= (1-x^2)/(1+x^2)$

Demikianlah postingan kali ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.

0 Response to "FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel