KALKULUS FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA

September 16, 2020
Pada pertemuan kali ini kita akan membahas materi perkuliahan mengenai fungsi invers dan turunannya. Suatu fungsi $f$ memadankan suatu nilai $x$ dalam daerah asalnya $D$ dengan nilai tunggal $y$ dalam daerah hasilnya $R$.

Perhatikan gambar 1 dan 2 berikut:
Pada gambar 1 dan 2 di atas itu $f$ dapat dibalik. Yaitu untuk suatu nilai $y$ dalam $R$, kita peroleh kembali nilai $x$ yang oleh $f$ itu dipadankan dengan $y$. Fungsi yang baru ini, yang memadankan nilai $y$ dengan $x$, kita lambangkan dengan $f^{-1}$. Perhatikan bahwa daerah asal $f^{-1}$ adalah $R$ dan daerah hasilnya adalah $D$, fungsi ini dinamakan invers $f$. Lambang $f^{-1}$ bukan berarti $1/f$. Ada kalanya kita dapat menemukan sebuah rumus untuk $f^{-1}$. Apabila $y=f(x)=2x$, maka $x=f^{-1}(y)=\frac{1}{2}y$ (Gambar 1). Begitu pula apabila $y=f(x)=x^3-1$, maka $x=f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y+1}$ (Gambar 2). Dalam tiap hal tersebut kita menyatakan $x$ dengan variabel $y$. Hasilnya adalah $x=f^{-1}(y)$.
Tetapi kehidupan jauh lebih rumit dari yang ditunjukkan kedua contoh di atas. Tidak semua fungsi dapat dibalik secara jelas. Perhatikan gambar 3 dan 4 berikut:
Pada gambar 3 di atas, untuk nilai $y$ tertentu terdapat dua nilai $x$ yang memenuhinya. Pada gambar 4 fungsi $y=g(x)=$ sin $x$ lebih buruk lagi. Untuk setiap nilai $y$, akan tak terhingga banyaknya nilai $x$ yang memenuhi. Fungsi semacam ini tidak memiliki invers; paling tidak, fungsi-fungsi tidak memiliki invers kecuali kalau kita membatasi nilai $x$ nya sedemikian rupa, pokok bahasan ini akan dibahas kemudian.

Eksistensi Fungsi Invers Kita sekarang hendak mencari persyaratan bila suatu fungsi $f$ memiliki balikan. Salah satu ciri adalah bahwa fungsi itu adalah satu-satu, yakni $x_1 \ne x_2$ mengakibatkan $f(x_1 \ne f(x_2)$. Ini eqivalen dengan persyaratan geometri bahwa tiap garis datar memotong grafik $y=f(x)$ pada paling banyak satu titik. Akan tetapi dalam suatu keadaan tertentu, ciri tersebut agak sulit dipakai, sebab kita harus mengetahui "jalan" grafik fungsi tersebut dengan lengkap. Suatu ciri atau sifat yang agak mudah dipakai ialah bahwa fungsi tersebut pada daerah definisinya adalah fungsi yang naik atau fungsi yang turun.

Teorema A:
Apabila $f$ monoton murni pada daerah asalnya, maka $f$ memiliki invers.

Teorema A tersebut mudah digunakan, sebab untuk menentukan apakah $f$ monoton, kita cukup menyelidiki tanda dari $f'$.
Contoh 1:
Buktikan bahwa $f(x)=x^5+2x+1$ memiliki invers.
Penyelesaian:
$f'(x)=5x^4+2>0$ untuk semua $x$. Jadi $f$ naik pada seluruh himpunan bilangan riil, ini berarti $f$ memiliki invers.

Dalam hal ini kita tidak mengatakan bahwa kita dapat memberikan rumus untuk $f^{-1}$. Sebab ini akan berarti bahwa kita harus dapat menyatakan $x$ dengan $y$ dalam persamaan $y=x^5+2x+1$, yang tak mungkin dapat kita lakukan di sini.

Ada cara untuk menemukan balikan suatu fungsi, yang tidak memilikinya dalam daerah definisi yang asli. Untuk menemukan balikannya kita membatasi daerah asalnya sehingga fungsi itu di daerah yang baru akan turun atau naik saja. Perhatikan gambar 5 dibawah ini:
Untuk $y=f(x)=x^2$ kita dapat membatasi daerah asalnya pada $x \ge 0$. Untuk $y=g(x)=$ sin $x$ kita dapat membatasi daerah asalnya pada selang $[-\pi /2, \pi /2]$. Maka pada selang-selang baru ini $f$ dan $g$ memiliki invers. Bahkan untuk $f^{-1}$ ada rumusnya yaitu $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$.

Apabila $f$ memiliki invers $f^{-1}$ maka $f^{-1}$ juga memiliki invers yaitu $f$. Jadi dapat dikatakan bahwa $f$ dan $f^{-1}$ merupakan pasangan fungsi invers. Dirumuskan:

$f^{-1}(f(x))=x$ dan $f^{-1}(f(y))=y$

Contoh 2:
Buktikan bahwa $f(x)=2x+6$ memiliki invers; tentukan rumus untuk $f^{-1}(y)$ dan cocokkanlah dengan rumus dalam kotak di atas.
Penyelesaian:
Oleh karena $f$ fungsi naik, maka $f^{-1}(y)$ kita cari $x$ dari $y=2x+6$ yang menghasilkan $x=(y-6)/2=f^{-1}(y)$. Sedangkan
$f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+6)$
$=\frac{(2x+6)-6}{2}=x$. Sedangkan
$f(f^{-1}(y))=f((y-6)/2)$
$=2. \frac{y-6}{2}+6=y$.

Grafik $y=f^{-1}(x)$ Andaikan $f$ memiliki invers. Maka

$x=f^{-1}(y) \iff y=f(x)$

Jadi $y=f(x)$ dan $x=f^{-1}(y)$ menentukan pasangan bilangan $(x, y)$ yang sama, sehingga grafik dua hubungan itu identik. Akan tetapi kita biasanya menggunakan $x$ sebagai variabel bebas dan $y$ sebagai variabel tak bebas. Timbul pertanyaan, bagaimanakah bentuk grafik $y=f^{-1}(x)$ (perhatikan bahwa kita telah menukar peranan $x$ dan $y$). Apabila kita perhatikan, penukaran peranan ini mengakibatkan pencerminan grafik pada garis $y=x$. Ini berarti bahwa grafik $y=f^{-1}(x)$ adalah gambar cermin grafik $y=f(x)$ (Perhatikan gambar 6).

Cara yang sama dapat pula digunakan untuk menentukan suatu rumus $f^{-1}(x)$. Untuk hal ini kita tentukan terlebih dahulu $f^{-1}(y)$ kemudian kita tukar $x$ dan $y$ dalam rumus $x=f^{-1}(y)$. Jadi kita dapat menentukan $g=f^{-1}(x)$ dengan langkah-langkah berikut:
Langkah 1: Nyatakanlah $x$ dengan $y$ dari persamaan $y=f(x)$.
Langkah 2: Nyatakan bentuk dalam $y$ yang telah ditentukan itu sebagai $f^{-1}(y)=x$.
Langkah 3: Gantilah, kemudian $y$ dengan $x$ dan $x$ dengan $y$ dalam bentuk $x=f^{-1}(y)$ sehingga diperoleh $y=f^{-1}(x)$.

Contoh 3:
Tentukan rumus untuk $f^{-1}(x)$ apabila $y=f(x)=\frac{x}{1-x}$.
Penyelesaian:
Kita buktikan terlebih dahulu bahwa $f$ memiliki invers. Akan tetapi, apabila dalam langkah pertama kita memperoleh satu nilai $x$ untuk tiap $y$, maka $f^{-1}$ ada. (Perhatikan bahwa untuk $y=g(x)=x^2$, kita peroleh $x=\pm \sqrt{y}$ yang menyatakan bahwa $g^{-1}$ tidak ada). Kembali ke contoh 3, perhatikan langkah-langkah penyelesaian berikut:
Langkah 1: $y=\frac{x}{1-x}$
$(1-x)y=x$
$y-xy=x$
$x+xy=y$
$x(1+y)=y$
$x=\frac{y}{1+y}$
Langkah 2: $f^{-1}(y)=\frac{y}{1+y}$
Langkah 3: $f^{-1}(x)=\frac{x}{1+x}$

Turunan Fungsi Invers Pasal ini kita akhiri dengan menyelidiki hubungan antara turunan fungsi dan turunan inversnya. Perhatikan terlebih dahulu apa yang akan terjadi apabila sebuah garis $l_1$ dicerminkan terhadap garis $y=x$. Pada gambar 7 dibawah, pada gambar sebelah kiri tampak gambar cermin $l_2$dari garis $l_1$ apabila dicerminkan. Sedangkan terhadap garis $y=x$ kemiringan $m_1$ dan $m_2$ masing-masing dari $l_1$ dan $l_2$ dihubungkan dengan $m_2= 1/m_1$ apabila $m_1 \ne 0$. Apabila $l_1$ adalah garis singgung grafik $f$ di titik $(c, d)$ maka $l_2$ adalah garis singgung grafik $f^{-1}$ di titik $(d, c)$, perhatikan gambar 7 berikut:
Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa:
$(f^{-1})'(d)=m_2=\frac{1}{m_1}=\frac{1}{f'(c)}$.
Uraian di atas sesungguhnya bukanlah bukti yang secara matematika dapat dipertanggungjawabkan sebab didasarkan pada sebuah gambar. Walaupun demikian dapatlah masuk akal teorema berikut:

Teorema B
(Teorema fungsi invers). Andaikan $f$ dapat diturunkan dan monoton murni pada selang $I$. Apabila $f'(x) \ne 0$ pada suatu $x$ dalam $I$, maka $f^{-1}$ dapat diturunkan dititik $y=f(x)$ pada daerah hasil $f$ dan berlakulah:
$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}$

Contoh 4
Andaikan $y=f(x)=x^5+2x+1$ (lihat contoh 1). Tentukan $(f^{-1})'(4)$.
Penyelesaian:
Walaupun kita tidak dapat menentukan rumus untuk $f^{-1}$, kita gunakan teorema B, bahwa $y=4$ itu berasal dari $x=1$ (jika kita substitusikan ke $y$). Oleh karena $f'(x)=5x^4+2$ maka kita peroleh:
$(f^{-1})'(4)=1/f'(1)==1/7$.

Demikian materi kali ini tentang Kalkulus Fungsi Invers dan Turunannya, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.
Previous
Next Post »
0 Komentar