FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA - mathematic.my.id

FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA

Di dalam matematika terapan digunakan banyak sekali campuran tertentu fungsi-fungsi $e^x$ dan $e^{-x}$. Oleh karena itu fungsi campuran ini kita beri nama khusus.

Definisi:
(Fungsi Hiperbol). Fungsi sinus hiperbol, cosinus hiperbol dan empat fungsi sejenis lainnya didefinisikan sebagai berikut:
sinh $x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$
cosh $x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$
tanh $x=($sinh $x)/($cosh $x)$
coth $x=($cosh $x)/($sinh $x)$
sech $x=1/$cosh $x$
csch $x=1/$sinh $x$



Istilah yang kita gunakan memberikan kesan seolah-olah ada hubungan dengan fungsi-fungsi trigonometri. Sebenarnya memang demikian adanya.
Pertama, kesamaan dasar fungsi hiperbol (semacam cos$^2x+$ sin$^2x=1$ dalam trigonometri) adalah:

cosh$^2x-$ sinh$^2x=1$

Untuk membuktikan ini, maka perhatikanlah:
cosh$^2x-$ sinh$^2x=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}$
$\quad \quad -\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=1$

Kedua, ingatlah bahwa fungsi-fungsi trigonometri ada hubungan erat sekali dengan lingkaran satuan (perhatikan gambar 1 berikut).

Oleh karenanya, fungsi trigonometri itu sering juga dinamakan fungsi sirkular (dan istilah circle = lingkaran) atau fungsi lingkaran. Sesungguhnya persamaan $x=$ cos $t$, $y=$ sin $t$ adalah persamaan parameter lingkaran.
Begitu pula persamaan $x=$ cosh $t$, $y=$ sinh $t$ adalah persamaan cabang kanan hiperbol satuan, $x^2-y^2=1$ (Perhatikan gambar 2 berikut).

Selain itu dalam dua kasus ini, parameter $t$ berhubungan erat dengan luas $A$ daerah yang diarsir.

Oleh karena sinh $(-x)=-$sinh $x$, maka sinh adalah fungsi ganjil. Sedangkan karena cosh $(-x)=$cosh $x$, maka cosh adalah fungsi genap. Dengan demikian grafik $y=$ sinh $x$ simetri terhadap titik asal dan grafik $y=$ cosh $x$ simetri terhadap sumbu $y$. Grafik-grafik itu dapat kita lihat pada gambar 3 berikut:


Turunan Fungsi Hiperbol $\quad$ Apabila kita dapat menentukan
$D_x$ sinh $x$ dan $D_x$ cosh $x$
Maka turunan fungsi hiperbolik lainnya dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan hasil bagi. Kita peroleh

$D_x$ sinh $x=D_x\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=$ cosh $x$

Dan

$D_x$ cosh $x=D_x\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=$ sinh $x$


Perhatikan bahwa fakta-fakta ini mengkonfirmasikan karakter dari grafik yang kita gambar. Misalnya, karena $D_x$ sinh $x=$ cosh $x>0$ maka grafik sinus hiperbolik selalu naik. Demikian pula, $D^2_x$ cosh $x=$ cosh $x>0$ yang berarti bahwa grafik sinus hiperbolik cekung ke atas. Di bawah ini adalah daftar dari 6 rumus penurunan.

$D_x$ sinh $x=$ cosh $x$
$D_x$ cosh $x=$ sinh $x$
$D_x$ tanh $x=$ sech$^2x$
$D_x$ coth $x=-$csch$^2x$
$D_x$ sech $x=-$sech $x.$ tanh $x$
$D_x$ csch $x=-$csch $x.$ coth $x$.


Contoh 1: Tentukan $D_x$ tanh$($sin$x)$.
Penyelesaian:
$D_x$ tanh$($sin$x)=$ sech$^2($sin$x).D_x($sin$x)$
$=$ cosh $x.$ sech$^2($sin$x)$.

Contoh 2: Tentukan $D_x$ cosh$^2(3x-1)$
Penyelesaian:
$D_x$ cosh$^2(3x-1)$
$=2.$cosh$(3x-1).D_x$cosh$(3x-1)$
$=2.$cosh$(3x-1).$ sinh$(3x-1).D_x(3x-1)$
$=6.$ cosh$(3x-1).$sinh$(3x-1)$

Contoh 3:
Tentukan $\int$ tanh$xdx$
Penyelesaian:
Ambil $u=$ cosh $x$, maka $du=$ sinh$xdx$. Jadi,
$\int$ tanh$xdx=\int ($sinh $x)/($cosh $x) \quad dx$
$=\int 1/u \quad du=$ ln$|u|+C$
$=$ ln |cosh$x$|$+C$
$=$ ln(cosh$x$)$+C$
Tanda nilai mutlak dapat dihilangkan, sebab cosh$x>0$.

Invers Fungsi Hiperbol $\quad$ Oleh karena sinus hiperbol dan tangen hiperbol adalah fungsi-fungsi yang turunannya selalu positif, maka fungsi-fungsi tersebut naik, jadi memiliki invers. Untuk memperoleh invers fungsi cosinus hiperbol dan secan hiperbol daerah asalnya kita batasi pada $x \ge 0$. Jadi:

$x=$ sinh$^{-1}y \iff y=$ sinh $x$.
$x=$ cosh$^{-1}y \iff y=$ cosh $x$ dan $x \ge 0$
$x=$ tanh$^{-1}y \iff y=$ tanh $x$.
$x=$ sech$^{-1}y \iff y=$ sech $x$ dan $x \ge 0$.


Oleh karena fungsi hiperbol dinyatakan dengan $e^x$ dan $e^{-x}$, maka tidak begitu mengherankan apabila invers fungsi hiperbol dapat dinyatakan dengan logaritma asli. Misalnya, perhatikanlah $y=$ cosh $x$ untuk $x \ge 0$ ini berarti bahwa:
$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ $\quad x \ge 0$
Kita cari $x$ dari persamaan ini. Dengan mengalikan kedua ruas itu dengan $2ex$ maka kita peroleh berturut-turut $2ye^x=e^{2x}+1$, atau
$(e^x)^2-2y.e^x+1=0$, $\quad x \ge 0$
Apabila kita cari $e^x$ dari persamaan tersebut, maka kita peroleh:
$e^x=\frac{2y \pm \sqrt{4y^2-4}}{2}=y \pm \sqrt{y^2-1}$
Atau setelah ditarik logaritma aslinya, kita peroleh:
$x=$ ln$(y \pm \sqrt{y^2-1})$
Syarat agar $x \ge 0$ mengakibatkan bahwa kita harus memilih tanda positif. Sehingga:

cosh$^{-1}y=$ ln$(y + \sqrt{y^2-1})$



Dengan cara yang hampir sama kita akan mendapatkan invers fungsi hiperbol yang lain, yaitu (setelah peranan $x$ dan $y$ kita tukar) sebagai berikut:

sinh$^{-1}x=$ ln$(x + \sqrt{x^2+1})$
cosh$^{-1}x=$ ln$(x + \sqrt{x^2-1})$
tanh$^{-1}x=\frac{1}{2}$ ln$(\frac{1+x}{1-x}), \quad x=(-1, 1)$
sech$^{-1}x=$ ln$(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}), \quad x=(0, 1]$


Tiap fungsi di atas dapat didiferensialkan, hasilnya sebagai berikut:

$D_x$sinh$^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$D_x$cosh$^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \quad x>1$
$D_x$tanh$^{-1}x=\frac{1}{1-x^2}, \quad x=(-1, 1)$
$D_x$sech$^{-1}x=\frac{-1}{x.\sqrt{1-x^2}}, \quad x=(0, 1)$


Contoh 4:
Buktikan bahwa $D_x$sinh$^{-1}x=1/\sqrt{x^2+1}$ dengan dua cara yang berlainan.
Penyelesaian:
Cara 1: jika $y=$ sinh$^{-1}x$ maka $x=$ sinh $y$.
Ruas kiri dan ruas kanan diturunkan menurut $x$, maka:
$1=($cosh$y).D_xy$. Jadi,
$D_xy=D_x($sinh$^{-1}x)=1/$cosh $y$
$=1/\sqrt{1+sinh^2y}=1/\sqrt{1+x^2}$
Cara 2: Gunakan bentuk logaritma sinh$^{-1}x$.
$D_x$sinh$^{-1}x=D_x$ln$(x+\sqrt{x^2+1})$
$=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}.D_x(x+\sqrt{x^2+1})$
$=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}.(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})$
$=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

Terapan Kurva Rantai $\quad$ Apabila sepotong kawat atau kabel homogen digantungkan antara dua titik tetap yang letaknya sama tinggi di atas lantai, maka kabel itu membentuk suatu kurva yang dinamakan kurva rantai (katenari) (perhatikan gambar 4 berikut).

Letak kurva itu dapat disesuaikan dengan suatu sistem koordinat sehingga persamaan kurva dapat ditulis sebagai
$y=a.$cosh $(x/a)$

Contoh 5:
Tentukan panjang kurva rantai $y=a.$cosh $(x/a)$ antara $x=-a$ dan $x=a$.
Penyelesaian:
Panjang yang dicari adalah:
$\int \limits_{-a}^{a}{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}} \quad dx$
$=\int \limits_{-a}^{a}{\sqrt{1+sinh^2(\frac{x}{a})}} \quad dx$
$=\int \limits_{-a}^{a}{\sqrt{cosh^2(\frac{x}{a})}} \quad dx$
$=2.\int \limits_{0}^{a}{cosh(\frac{x}{a})} \quad dx$
$=2a.\int \limits_{0}^{a}{cosh(\frac{x}{a})}(\frac{1}{a})dx$
$=2a.$ sinh $(x/a) \Bigr|_{0}^{a}$
$=2a.$ sinh $1=2,35a$.

Demikianlah pembahasan materi ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.

1 Response to "FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA"

  1. Terima kasih sudah membantu saya mencari materi tentang fungsi hiperbol

    ReplyDelete

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel