FUNGSI EKSPONEN ASLI - mathematic.my.id

FUNGSI EKSPONEN ASLI

Pada pokok bahasan ini kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang fungsi logaritma asli (ln), jika belum mengetahui tentang fungsi ln, kamu bisa membacanya di link berikut:Fungsi Logaritma Asli (ln).

Kembali kita ke pembahasan fungsi eksponen asli. Perhatikan definisi fungsi eksponen asli berikut:

Definisi:
Invers ln disebut fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp, yaitu:
$x=$ exp $y$ $\iff$ $y=$ ln $x$


Dari definisi di atas kita peroleh:
(i) exp(ln $x$) $= x$, untuk $x >0$.
(ii) ln(exp $y$) $=y$, untuk semua $y$.

Perhatikan gambar berikut:
Oleh karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi invers, grafik $y=$ exp $x$ adalah grafik $y=$ ln $x$ yang dicerminkan pada garis $y=x$. Tetapi mengapa disebut fungsi eksponen?. Penjelasannya sebagai berikut:

Sifat Fungsi Eksponen $\quad$ Kita mulai dengan memperkenalkan bilangan baru, seperti bilangan $\pi$, tetapi ini bilangan yang dilambangkan dengan huruf $e$. Bilangan $e$ ini amat penting di dalam matematika. Bilangan $e$ ini pertama kali digunakan oleh ahli matematika Leonhard Euler.

Definisi:
Bilangan $e$ adalah bilangan riil positif yang bersifat ln $e=1$.

Oleh karena ln $e=1$, maka exp 1 $=e$. Bilangan $e$ adalah bilangan irrasional. Orang telah menghitungnya sampai seribu angka di belakang koma, yaitu: $e \approx 2,718281828459045..$.
Sekarang kita melakukan pengamatan penting yang hanya bergantung pada fakta-fakta yang telah diperlihatkan. Perhatikan bahwa (i) dan (ii) pada awal bagian ini dapat ditulis dalam bentuk:

(i) $e^{ln(x)}=x$, untuk $x>0$.
(ii) ln($e^y$)$=y$, untuk semua $y$.


Kemudian berlaku rumusan berikut:

Andaikan $a$ dan $b$ bilangan rasional, maka $e^ae^b=e^{a+b}$ dan $e^a/e^b=e^{a-b}$


Turunan $e^x$ $\quad$ Karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling berkebalikan, maka fungsi exp $x=e^x$ dapat diturunkan. Untuk menemukan sebuah rumus $D_x(e^x)$ kita dapat menggunakan rumus berikut:

$D_x(e^x)=e^x$

Bukti: definisikan $e^x=y$ maka $x=$ ln $y$ ruas kiri dan kanan kita turunkan terhadap $x$ yang bersimbol $dy/dx$ dengan menggunakan teknik Turunan Implisit. Jika belum mengetahui teknik turunan implisit, kamu bisa membacanya melalui link berikut: Teknik Turunan Implisit.
Sehingga diperoleh:
$1=\frac{1}{y}D_x(y)$
$D_x(y)=D_x(e^x)=y=e^x$ (terbukti)

Apabila $u=f(x)$, maka menurut aturan rantai diperoleh:

$D_x(e^u)=e^u.D_x(u)$

Rumus diatas dapat menghasilkan rumus:

atau


Contoh 1:
Tentukan $D_xe^{\sqrt{x}}$.
Penyelesaian:
Ambil $u=\sqrt{x}$, maka:
$D_xe^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}.D_x \sqrt{x}$

$=$

$=$

Contoh 2: Tentukan
Jawab:
ambil $u=-4x$ sehingga $du=-4dx$, maka diperoleh:


0 Response to "FUNGSI EKSPONEN ASLI"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel