ALJABAR DAN ARITMETIKA SOSIAL - mathematic.my.id

ALJABAR DAN ARITMETIKA SOSIAL


Pada pertemuan kali ini kita akan membahas aljabar dan aritmetika sosial. Perhatikan contoh ilustrasi berikut:
Ratih adalah anak yang rajin. Sepulang sekolah, ia senantiasa membantu ibunya membuat kue bolu untuk dijual ke warung-warung di sekitar rumahnya. Untuk membuat sebuah kue bolu diperlukan biaya Rp.20.000,-. Kue bolu tersebut akan dijual Rp.1.000,- setiap potongnya. Jika ibu ingin memperoleh untung Rp.10.000,- dari setiap kue bolu yang dibuatnya, harus dibagi menjadi berapa potongkah setiap kue bolu tersebut?. Ratih ingin membantu ibunya memecahkan masalah ini.
Oleh karena ia belum mengetahui banyak potongan kue bolu itu, ia memisalkan ada $x$ potongan. Untuk menentukan nilai $x$ ia melakukan perhitungan seperti berikut:
$20.000+10.000=1.000.x$
$30.000=1.000x$
$x=30$.
Setelah melakukan perhitungan tersebut, ia menyarankan ibunya membagi setiap kue bolu yang dibuatnya menjadi 30 potong agar dari setiap kue bolu diperoleh untung Rp.10.000,-.
Uraian tersebut merupakan contoh penggunaan aljabar dalam memecahkan masalah sehari-hari.

A. Bentuk Aljabar

Bangsa Yunani kuno telah menggunakan simbol-simbol untuk mencatat data dalam bentuk bilangan. Seiring dengan perkembangan zaman, para ahli matematika menggunakan simbol untuk menyatakan bilangan atau mencari penyelesaian terhadap masalah secara matematis. Cara ini dinamakan aljabar.
Aljabar merupakan kajian matematika untuk menyelesaikan masalah secara matematis menggunakan huruf atau simbol. Sekarang aljabar tidak hanya digunakan dalam matematika, tetapi juga dalam ekonomi, keuangan, dan teknik.

1. Pengertian Bentuk Aljabar

Perhatikan bentuk-bentuk berikut:

$-\frac{1}{3} p$ $\quad \quad \quad 2q+6$
$3p^2q$ $\quad \quad \quad pq^3-2r$
$4r^2-3r+1$ $\quad \quad p^5+2pq^2r-5$


Pada bentuk-bentuk tersebut, huruf $p$, $q$, dan $r$ mewakili sebarang bilangan yang belum diketahui. Huruf-huruf tersebut dinamakan variabel atau peubah. Bentuk-bentuk yang mengandung satu atau lebih variabel dinamakan bentuk aljabar. Dalam mempelajari bentuk aljabar, ada beberapa hal yang harus kamu ketahui yaitu sebagai berikut:

a. Suku Bentuk Aljabar

Suku bentuk aljabar adalah perkalian dari bilangan-bilangan dan atau variabel-variabel. Perkalian tersebut biasa ditulis secara singkat tanpa melibatkan tanda "x". Misalnya 3x$p$ cukup ditulis $3p$, kemudian $p$ x $q$ cukup ditulis $pq$, dan $p$ x $q$ x $r$ cukup ditulis $pqr$. Penyingkatan penulisan seperti ini hanya berlaku untuk perkalian yang melibatkan paling sedikit satu variabel.
Amatilah bentuk-bentuk aljabar pada awal pembahasan bagian ini.

-Bentuk aljabar $-\frac{1}{3}p$ hanya terdiri atas satu suku sehingga disebut bentuk aljabar suku tunggal. Sama halnya dengan $3p^2q$

-Bentuk aljabar $2q+6$ terdiri atas dua suku, yaitu $2q$ dan $6$ sehingga dinamakan bentuk aljabar suku dua (binomial). Sama halnya dengan $pq^3-2r$. Dapatkah kamu menyebutkan kedua suku dari bentuk aljabar ini?

-Bentuk aljabar $4r^2-3r+1$ terdiri atas 3 suku, yaitu $4r^2$, $-3r$, dan 1 sehingga dinamakan bentuk aljabar suku tiga (trinomial). Sama halnya dengan $p^5+2pq^2r-5$. Dapatkah kamu menyebutkan ketiga suku dari bentuk aljabar ini?

Uraian tersebut menggambarkan bahwa suku-suku pada suatu bentuk aljabar ada yang memuat variabel dan ada yang tidak. Sekarang perhatikan bentuk aljabar $2r^3-2r+1$. Suku yang memuat $r$ adalah $2r^3$ dan $-2r$.


b. Suku-Suku Sejenis

Suku-suku bentuk aljabar dikatakan sejenis apabila memuat variabel atau peubah dengan pangkat yang sama. Misalnya, suku-suku sejenis dari bentuk aljabar $11x^2+3xy-10xy+y^2-x^2-5xy^2$ adalah $11x^2$ dengan $-x^2$, dan $3xy$ dengan $-10xy$, sedangkan $y^2$ dan $-5xy^2$ bukan merupakan suku-suku sejenis karena tidak memuat variabel yang sama.

c. Faktor dan Koefisien

Perhatikan uraian berikut:
1. Bentuk aljabar $3x^2-18x$ terdiri dari 2 suku, yaitu suku yang memuat $x^2$ dan suku yang memuat $x$. Suku yang memuat $x^2$ adalah $3x^2$, selanjutnya 3 disebut koefisien dari suku ini. Demikian juga $-18$ merupakan koefisien dari suku $-18x$.
2. Bentuk $3x^2-18x$ dapat ditulis sebagai suatu perkalian, yaitu $3x(x-6)$. Terdapat beberapa faktor pada $3x(x-6)$, misalnya 3, $x$, dan $(x-6)$. Dapatkah kalian menemukan faktor lainnya dari $3x^2-18x$?.
3. Jika $3x^2$ dipandang sebagai suatu bentuk aljabar bersuku tunggal, maka 3 adalah koefisien dari satu-satunya suku yang ada. Tetapi 3 adalah juga faktor dari $3x^2$. Dapatkah kalian menentukan faktor-faktor lain dari $3x^2$?.
Dari uraian tersebut, dapatkah kamu menjelaskan pengertian faktor dan koefisien?

d. Konstanta

Perhatikan bentuk aljabar $x^5+3x^3-8x^2+4x+9$. Nilai dari suku-suku yang mengandung variabel yaitu $x^5$, $3x^3$, $-8x^2$, dan $4x$ karena akan berubah jika nilai $x$ berubah. Suku yang tidak memuat variabel yaitu 9 yang dinamakan konstanta.

2. Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk ALjabar

Perhatikan contoh berikut:
Pak Mardi memiliki 4 ayam dan 3 kelinci, sedangkan Pak Robi memiliki 2 ayam dan 5 kelinci. Jumlah seluruh binatang pliharaan mereka sesuai dengan jenisnya adalah:
4 ayam dan 3 kelinci
2 ayam dan 5 kelinci
--------------------------- +
6 ayam dan 8 kelinci
Dapatkah kamu menjumlahkan binatang yang berbeda?, tentu saja tidak ya. Demikian juga pada bentuk aljabar, suku-suku yang dapat dijumlahkan dan dikurangkan hanyalah suku-suku yang sejenis. Suku-suku yang tidak sejenis tidak dapat dijumlahkan dan dikurangkan.
Contoh:
Sederhanakan bentuk bentuk aljabar berikut:
a. $5x^2+x+2x^2-x$
b. $(-3x^2-2x+5)-(x^2+3x-4)$
c. $x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}x$
Jawab:
a. $5x^2+x+2x^2-x$
$=(5x^2+2x^2)+(x-x)$
$=7x^2+0=7x^2$.
b. $(-3x^2-2x+5)-(x^2+3x-4)$
$=-3x^2-2x+5-x^2-3x+4$
$=(-3x^2-x^2)+(-2x-3x)+(5+4)$
$=-4x^2-5x+9$.
c. $x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}x$
$=\frac{12}{12}x-\frac{8}{12}x+\frac{3}{12}x$
$=\frac{12-8+3}{12}x=\frac{7}{12}x$.

b. Perkalian Bentuk Aljabar

Setelah mempelajari penjumlahan dan pengurangan suku-suku bentuk aljabar, pada bagian ini kamu akan mempelajari perkalian bentuk aljabar. Pengetahuanmu tentang sifat-sifat operasi hitung pada bilangan sangat berguna untuk memahami pada bagian ini. Ingat kembali sifat-sifat distributif berikut:

$a(b+c)=(b+c)a=ab+ac$
$a(b-c)=(b-c)a=ab-ac$


Sifat distributif ini dapat kamu gunakan untuk mengalikan bentuk-bentuk aljabar.
Contoh:
Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut:
a. $2(x+5)$
b. $-3(-x-8)$
c. $(2x+5)(x-4)$
Jawab:
Untuk menentukan hasil perkalian-perkalian tersebut, dapat digunakan sifat distributif.
a. $2(x+5)=2(x)+2(5)=2x+10$
b. $-3(-x-8)=(-3)(-x)+(-3)(-8)$
$=3x+24$
c. $(2x+5)(x-4)$
$=(2x)(x)+(2x)(-4)+(5)(x)+(5)(-4)$
$=2x^2-8x+5x-20=2x^2-3x-20$

c. Pembagian Bentuk Aljabar

Pada prinsipnya, pembagian bentuk aljabar sama dengan pembagian bilangan. Agar memahami lebih lanjut, perhatikan contoh berikut:
Tentukan hasil dari setiap pembagian bentuk aljabar berikut:
a. $36p:9$
b. $(8x-4y):4$
c. $(16x^2y-4y):4y$ dimana $y \ne 0$
Jawab:
a. $36p:9=\frac{36p}{9}$
$=\frac{36}{9}p=4p$
b. $(8x-4y):4=\frac{4(2x-y)}{4}$
$=\frac {4}{4} (2x-y)=2x-y$ c. $(16x^2y-4y):4y$
$=\frac{4y(4x^2-1)}{4y}$
$=4x^2-1$

d. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Ingat kembali bahwa:

$a^n=\underbrace {a.a.a....a}_{\mbox{n kali}}$ $\quad$ dan

$(a^bc^d)^f=a^{bf}c^{df}$


Pengertian pangkat suatu bilangan dan sifat-sifat operasi pada bilangan berpangkat tersebut juga dapat diterapkan dalam perpangkatan bentuk aljabar dan operasinya. Contoh tentukan hasil dari: $(x^2y)^3$
jawab: $(x^2y)^3=x^6y^3$.


B. Aritmetika Sosial

Pada bagian ini kamu akan mempelajari penerapan bentuk aljabar yang sering ditemui dalam kehidupan sehari-hari.

1. Nilai Keseluruhan dan Nilai per Unit

Untuk memahami pengertian dari nilai keseluruhan dan nilai per unit, perhatikan uraian berikut:

Arman membeli 1 lusin pensil dengan harga Rp.8.400,-


Dari pernyataan tersebut dapat diketahui bahwa banyak pensil adalah 1 lusin (12 pensil) yang disebut banyak unit. Dari pernyataan tersebut juga dapat diketahui hal-hal berikut:

- Harga 1 lusin pensil = Rp.8.400,- yang disebut harga keseluruhan atau nilai keseluruhan

- Harga 1 pensil = 8400 : 12 = 700 atau Rp.700,- yang disebut harga per unit atau nilai per unit.

Berdasarkan uraian tersebut, dapat dibuat kesimpulan berikut:

Nilai per unit = (nilai keseluruhan) : (banyak unit)


Contoh: Bu Ida membeli 10 buah panci dengan harga Rp.300.000,-
a. Tentukan harga 1 panci
b. Berapa harga 15 panci
jawab:
a. Harga 1 panci = nilai per unit
$=\frac{300.000}{10}=30.000$ atau Rp.30.000,-
b. Harga 15 panci = 15 x harga per unit
= 15 x Rp.30.000,- = Rp.450.000,-

2. Harga Pembelian dan Penjualan Serta Untung dan Rugi

Berdagang merupakan kegiatan untuk mendapatkan penghasilan dengan cara membeli suatu barang, kemudian menjualnya kepada orang lain . Oleh karena itu, berdagang sering disebut sebagai kegiatan jual beli.
Sekarang perhatikan contoh kegiatan jual beli berikut:
a. Ayah membeli motor bekas dengan harga Rp.7.500.000,-. Kemudian motor bekas tersebut dijual dengan harga Rp.7.000.000,-
b. Pak Budi membeli 100 kaleng susu kental dengan harga Rp.5.500,- per kaleng. Kemudian susu kaleng itu dijualnya dengan harga Rp.6.000,- per kaleng.
Pada contoh (a) diatas, Rp.7.500.000,- disebut sebagai harga pembelian motor bekas. Adapun Rp.7.000.000,- disebut harga penjualan motor bekas. Sekarang pada contoh (b), coba kamu cari berapakah harga pembelian dan penjualan setiap kg kaleng susu kental?
Perhatikan kembali contoh (a) tersebut. Manakah yang lebih tinggi, harga pembelian atau harga penjualan?. Oleh karena motor bekas itu dijual dengan harga yang lebih rendah dari harga pembeliannya, maka ayah mengalami kerugian. Besar kerugian ayah adalah Rp.7.500.000,- - Rp.7.000.000,- = Rp.500.000,-. Bagaimana dengan contoh (b)? ternyata harga penjualannya lebih tinggi dari pada harga pembelian. Dengan demikian Pak Budi mendapatkan keuntungan. Coba kamu hitung berapa keuntungan yang diperoleh Pak Budi?. Uraian tersebut menggambarkan bahwa Untung dan rugi merupakan selisih dari harga pembelian dan harga penjualan. Maka dapat ditentukan rumus sebagai berikut:

Untung = harga penjualan $-$ harga pembelian
Rugi = harga pembelian $-$ harga penjualan


Contoh: Seorang pedagang buah-buahan membeli 2 kuintal jeruk seharga Rp.2.500,- per kg. Sebagian jeruk tersebut busuk sehingga hanya terjual sebanyak 130 kg dengan harga jual Rp.3.000,- per kg
a. Apakah pedagang itu mengalami keuntungan atau kerugian?
b. Berapakah keuntungan dan kerugiannya?
Jawab:
a. Harga pembelian = 200 x Rp.2.500 = Rp.500.000,- (ingat 1 kuintal = 100 kg). Harga penjualan = 130 x Rp.3.000,- = Rp.390.000,-, oleh karena harga penjualan lebih rendah daripada harga pembelian, maka pedagang itu mengalami kerugian.
b. Rugi = harga pembelian - harga penjualan
= Rp.500.000,- - Rp.390.000,-
= Rp.110.000,-
Jadi pedagang itu mengalami kerugian sebesar Rp.110.000,-

3. Persentase Untung dan Rugi terhadap Harga Pembelian

Untuk menentukan persentase keuntungan atau kerugian terhadap harga pembelian, kamu dapat menggunakan rumus berikut:

Persentase Untung = $\frac{untung}{harga \quad pembelian}$.100%

Persentase rugi = $\frac{rugi}{harga \quad pembelian}$.100%


Contoh: Rudi membeli Laptop dengan harga Rp.3.500.000,-. Ia ingin menjualnya kembali dengan memperoleh untung 20%. Dengan harga berapa Rudi harus menjualnya?
Jawab: Harga pembelian = Rp.3.500.000,-
Untung = 20% x 3.500.000 = 700.000
Harga Penjualan = 3.500.000 + 700.000 = 4.200.000
Jadi, Rudi harus menjual Laptopnya dengan harga Rp.4.200.000,-

5. Diskon (Rabat), Bruto, Tara, dan Netto

a. Diskon (Rabat)

Diskon (Rabat) adalah potongan harga. Harga setelah mendapat diskon disebut harga bersih. Sedangkan harga sebelum mendapat diskon disebut harga kotor. Biasanya diskon berbentuk persen dari harga kotor.
Contoh:
Menjelang hari raya, gilang membeli sebuah kemeja dengan harga Rp.65.000,- dan mendapat diskon 10%. Berapakah uang yang harus dibayar oleh gilang?
Jawab:
Harga Kotor = Rp.65.000,-
Diskon 10% = $\frac{10}{100}$ x Rp65.000,- = Rp6.500,-
Harga bersih = Rp65.000,- $-$ Rp6.500,- = Rp58.500,-

b. Bruto, Netto, dan Tara

Jika kamu membeli barang yang dikemas dalam karung atau kotak pada kemasan barang tersebut biasanya tertulis bruto, netto, dan tara.

Bruto adalah berat kotor suatu barang, artinya berat barang bersama kemasannya.
Netto adalah berat bersih suatu barang, artinya berat isi atau berat barang tanpa kemasannya.
Tara adalah berat kemasan.
Bruto = Netto + Tara



6. Pajak dan Bunga Tunggal

Pajak dan bunga tunggal adalah bunga yang dikenakan pada modalnya saja, sedangkan bunganya tidak berbunga lagi.


Contoh: Rudi menyimpan uang sebesar Rp500.000,- dan mendapat bunga tunggal sebesar 18% per tahun. Berapa besar uang rudi setelah 1 tahun?.
Jawab:
Bunga 1 tahun = $\frac{18}{100}$ x Rp500.000,- = Rp90.000,-. Jumlah uang Rudi setelah disimpan selama 1 tahun adalah Rp500.000,- + Rp90.000,- = Rp590.000,-
Demikianlah materi kali ini tentang Aljabar dan Aritmetika Sosial dasar. Materi ini adalah materi kelas VII. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.

0 Response to "ALJABAR DAN ARITMETIKA SOSIAL"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel