Skip to main content

TRANSFORMASI GEOMETRI


Pada kesempatan kali ini, akan dijelaskan tentang Transformasi Geometri.
Jika seorang matematikawan ingin mengubah bentuk lingkaran menjadi bentuk bulatan lonjong yang dikenal dengan elips. Dia berpikir bahwa idenya ini akan menjadi kenyataan apabila lingkaran digambar diatas karet yang elastis, kemudian karet ini akan diregangkan ke arah horizontal atau vertikal.
Adakah alat yang berupa operasi matematika untuk melakukan hal ini?. Bagaimana kedudukan objek pertama terhadap objek kedua (hasil pembahasan)?. Apa hubungan luas objek pertama terhadap luas objek kedua?. Bagaimana perubahan ini dapat terjadi?. Hal-hal ini yang dipelajari dalam Transformasi Geometri.
Mengenal Transformasi Geometri
$\quad$ Transformasi geometri adalah perubahan pada objek dalam geometri. Hal-hal yang dapat diubah adalah ukuran, kedudukan dan bentuk, serta objek yang diubah dapat berupa titik, garis, benda-benda datar, benda-benda ruang (tidak dipelajari dalam pertemuan ini) dan juga persamaan fungsi.
Adapun jenis-jenis transformasi yang akan dipelajari pada pertemuan kali ini adalah:
1. Translasi (Pergeseran)
2. Refleksi (Pencerminan)
3. Rotasi (Perputaran)
4. Dilatasi (perkalian)
1. Memahami Translasi
$\quad$ Translasi adalah transformasi yang mengubah kedudukan suatu objek dengan jarak dan arah tertentu. Translasi tidak mengubah bentuk dan ukuran suatu objek.
Perhatikan gambar berikut:

Tepat pada gambar diatas bahwa segitiga A’B’C’ adalah hasil translasi segitiga ABC.
Pada bidang datar translasi terurai memuat dua arah (arah vertikal dan arah horizontal).
Perhatikan gambar berikut:

Tampak pada gambar tersebut bahwa translasi dari A ke A' dapat diurai. Dalam arah horizontal adalah a dan arah vertikal adalah b. Taranslasi ini ditulis T = ${a \choose b} : A \to A'$.
Perhatikan proses terjadinya translasi apabila dideteksi secara aljabar dalam gambar berikut:

Translasi T = $a \choose b$ pada gambar diatas mentranslasikan titik P$(x, y)$ menjadi P'$(x+a, y+b)$. Dapat disimpulkan bahwa jika hasil translasi T = $a \choose b$ terhadap P$(x, y)$ adalah P'$(x', y')$ maka $x’=x+a$ dan $y’=y+b$ ditulis dengan:
T = ${a \choose b }:$P$(x, y) \to$ P'$(x+a, y+b)$.
Contoh 1:
Tentukan hasil translasi titik-titik A(2, 3) dan B($-5$, 6) terhadap translasi T$5 \choose {-1}$ !
Jawab:
Untuk titik A(2, 3) maka:
T${5 \choose {-1}} :$ A(2, 3) $\to$ A'(2+5, $3-1$) = A'(7, 2).
Untuk titik B($-5$, 6) maka:
T${5 \choose {-1} }:$ B($-5$, 6) $\to$ B'($-5+5$, $6-1$) = B'(0, 5).
Catatan:
Hasil dari suatu transformasi sering juga disebut sebagai bayangan.
Contoh 2:
Jika diketahui bayangan dari titik A($-3$, 5) oleh suatu translasi adalah A(7, $-1$) tentukan translasi tersebut.
Jawab:
Diketahui:
$-3$ + a = 7 $\quad$ 5 + b = $-1$
a = 3 + 7 = 10 $\quad$ b = $-6$.
Diperoleh translasi T$10 \choose {-6}$.
2. Memahami Refleksi
$\quad$ Refleksi atau pencerminan adalah transformasi yang memindahkan objek dengan menggunakan sifat bayangan cermin. Perhatikan gambar berikut:
Tampak pada gambar diatas bahwa objek segitiga ABC dicerminkan ke cermin X menghasilkan bayangan segitiga A'B'C' yang tetap kongruen dengan segitiga ABC hanya kedudukannya yang berubah.
Dapat ditaksir kesimpulan dalam pencerminan sebagai berikut:
1) Berkas-berkas sinar dari objek tegak lurus ke cermin (CR, BQ, dan AP tegak lurus cermin X)
2) Berkas-berkas sinar tegak lurus dari cermin ke bayangan (X tegak lurus ke sinar RC', QB' dan PA')
3) Jarak objek ke cermin sama dengan jarak cermin ke bayangan.
Contoh 3:
Tentukan bayangan $\triangle$ PQR dengan P(1, 1), Q(4, 2) dan R(2, 3) jika dicerminkan ke sumbu $y$
Jawab:
Pencerminan dalam contoh ditunjukkan dalam gambar berikut:
Tampak pada gambar itu bahwa bayangan $\triangle$ PQR oleh pencerminan terhadap sumbu $y$ adalah $\triangle$ P'Q'R' dengan P'($-1$, 1), Q'($-4$, 2) dan R'($-2$, 3).
3. Memahami Rotasi
$\quad$ Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memindahkan suatu objek dengan cara memutar pada pusat tertentu. Dalam rotasi ukuran objek dan bentuk objek tidak berubah. Perhatikan gambar berikut:
Tampak pada gambar tersebut bahwa $\triangle$ PQR diputar sejauh $\theta$ dengan pusat perputaran A dan hasil perputaran $\triangle$ P'Q'R'. Dengan ini diketahui bahwa suatu rotasi ditentukan oleh:
1) Titik pusat rotasi,
2) Besar sudut rotasi, dan
3) Arah sudut rotasi.
Dalam matematika telah ditetapkan bahwa perputaran yang berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam adalah arah positif dan perputaran arah yang searah dengan perputaran jarum jam adalah arah negatif.
3a. Memahami Rotasi terhadap titik pusat $O(0, 0)$.
Perhatikan gambar berikut:
Tampak pada gambar tersebut titik $P(x,y)$ dirotasikan sejauh $\theta$ terhadap titik $O(0,0)$ dengan bayangan $P’(x', y')$. Sudut ruas $OP$ dengan sumbu $x$ positif adalah $\alpha$ dan besar sudut perputaran adalah $\theta$. Maka $OP=OP'+$ jari-jari perputaran $r$. $PA$ dan $P’B$ masing-masing tegak lurus sumbu $x$ positif.
Sahabat mathematic.my.id perhatikan bahwa pada $\triangle OAP$ diketahui bahwa:
$cos \alpha = \frac {x}{r}\quad \to x = r.cos \alpha$.
$sin \alpha = \frac {y}{r}\quad \to y= r.sin \alpha$.
Pada $\triangle OBP'$ diketahui:
$cos (\alpha + \theta) = \frac {x'}{r}$
$\to x'=r.cos(\alpha + \theta)$
$x’=r.cos \alpha .cos \theta – r.sin \alpha.sin \theta$
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta$.
Untuk sinusnya:
$sin(\alpha + \theta) = \frac{y'}{r}$
$\to y'=r.sin(\alpha + \theta)$
$y’=r.sin \alpha .cos \theta + r.cos \alpha.sin\theta$
$y’=y.cos \theta + x.sin \theta$
$y’ = x.sin \theta + y.cos \theta$.
Dapat disimpulkan bahwa:
Jika $P(x, y)$ diputar sejauh $\theta$ terhadap titik $O(0, 0)$ diperoleh hasil perputaran $P’(x', y')$ dengan:
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta$
$y’=x.sin \theta + y.cos \theta$.

Contoh 4:
Diketahui titik $P(2, -3)$. Tentukan bayangan titik $P$ jika diputar sejauh $45°$ jika:
a. Berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam
b. Searah dengan arah perputaran jarum jam.
Jawab:
a. Oleh karena perputaran sejauh 45° berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam maka $\theta$ = 45° sehingga:
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta = 2.cos 45°-(-3).sin 45°$
$x’=2.\frac{\sqrt {2}}{2}+3.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}.\sqrt{2}$.
$y’=x.sin \theta +y.cos \theta$
$y’=2.sin 45° +(-3).cos 45°$
$y’=- \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Diperoleh hasil perputaran titik (2, $-3$) sejauh 45° terhadap titik pusat $O(0,0)$ berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam yaitu: $P’(\frac{5}{2}\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.
b. Oleh karena perputaran sejauh 45° searah dengan arah perputaran jarum jam maka $\theta=-45°$. Dapat dilihat dalam gambar berikut:
Sehingga diperoleh:
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta$
$x’=2.cos (-45°) –(-3).sin (-45°)$
$x’=2.\frac{1}{\sqrt{2}}+3(-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$x’=- \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$y’=x.sin \theta + y.cos \theta$
$y’=2.sin (-45°) + (-3).cos(-45°)$
$y’=- \frac{5}{2}.\sqrt{2}$.
Jadi bayangannya adalah $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{2}\sqrt{2})$
Contoh 5:
Titik $P(1, 2)$ dirotasikan sehingga diperoleh bayangan $P’(-2, 1)$. Tentukan jenis rotasinya!
Jawab:
Misalkan sudut perputaran $P$ ke $P’$ adalah $\theta$ maka:
$x’=x.cos \theta – y.sin \theta$
$-2=1.cos \theta -2.sin \theta$
$cos \theta – 2.sin \theta = -2$ .....(1).
$y’=x.sin \theta + y.cos \theta$
$1=1.sin \theta + 2.cos \theta$
$2.cos \theta + sin \theta =1$ ......(2).
Dari persamaan (1) dan (2) kita peroleh:
$sin \theta =1$ dan $cos \theta =0$ sehingga diperoleh $\theta = 90°$.
Jadi jenis rotasinya adalah perputaran positif sebesar 90°.
3b. Memahami rotasi terhadap titik pusat $A(a, b)$.
Perhatikan gambar berikut:
Tampak pada gambar tersebut titik $P(x,y)$ dirotasikan sejauh $\theta$ terhadap titik $A(a, b)$ dengan hasil rotasi $P’(x', y')$ adapun sudut antara $AP$ dengan sumbu datar adalah \alpha dengan jari-jari perputaran $r$.
Dapat disimpulkan bahwa:
Jika $P(x,y)$ diputar sejauh $\theta$ terhadap titik pusat $A(a, b)$ maka diperoleh hasil perputaran $P’(x', y')$ dengan:
$x’=(x-a).cos (\theta) – (y-b).sin (\theta) + a$.
$y’=(x-a).sin (\theta) + (y-b).cos(\theta) + b$.

Contoh 6:
Tentukan hasil perputaran titik $P(2, -3)$ sejauh 30° terhadap titik pusat $A(5, 2)$ jika perputaran dilakukan dengan:
a. Searah perputaran jarum jam.
b. Berlawanan arah perputaran jarum jam.
Jawab:
a. Oleh karena perputaran searah perputaran jarum jam, maka $\alpha=-30°$, $x=2$, $y=-3$, $a=5$ dan $b=2$. Sudut $-30°$ dapat dilihat dalam gambar berikut:

$x’=(2-5).cos(-30°)-(-3-2).sin(-30) +5$
$x’=-3.(\frac{\sqrt{3}}{2})+5.(- \frac{\sqrt{3}}{2})+5$
$x’=\frac{5-3.\sqrt{3}}{2}$.
$y’=(2-5).sin(-30°)+(-3-2).cos(-30°) +2$
$y’=\frac{7+5.\sqrt{3}}{2}$.
b. Sama halnya seperti pada bagian a hanya mengganti sudut $\alpha=30$ sehingga diperoleh:
$x’=\frac{15-3.\sqrt{3}}{2}$ dan
$y’=\frac{1-5 \sqrt{3}}{2}$.
4. Memahami Dilatasi
$\quad$ Dilatasi atau perkalian adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu objek. Perhatikan contoh dilatasi pada gambar berikut:
$\triangle$ A'B'C' pada gambar tersebut adalah hasil dilatasi $\triangle$ ABC terhadap pusat O.
Suatu dilatasi ditentukan oleh:
a. Pusat Dilatasi dan
b. Faktor Dilatasi atau Faktor Skala.

Untuk mengetahui hubungan faktor dilatasi dengan ukuran hasil dilatasi, maka perhatikan gambar berikut:
Dari gambar diatas diketahui bahwa:
Gambar a: Jika $k>1$ maka objek diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan objek semula.
Gambar b: Diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan objek semula.
Gambar c: Diperkecil dan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan objek semula.
Gambar d: Diperbesar dan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan objek semula.

Dilatasi terhadap titik pusat $O(0, 0)$ dan faktor $k$ ditulis $[O, k]$.
a. Memahami Dilatasi terhadap Titik Pusat $O(0, 0)$.
Perhatikan gambar berikut:
Tampak pada gambar diatas titik $P$ didilatasikan ke titik pusat dengan hasil dilatasi $P’$. Segitiga $OPP_1$ menjadi segitiga $OP’P’_1$. Dengan demikian:
$Op'_1=k.OP_1 \quad \to \quad x'=k.x$.
$PP’_1=k.PP_1 \quad \to \quad y'=k.y$.
Contoh 8:
Tentukan bayangan titik $P(-3, 1)$ oleh dilatasi $[O, \frac{1}{2}]$.
Jawab:
Misalkan bayangannya adalah $P’$ maka $P’=(\frac{1}{2}.(-3), \frac{1}{2}.(1))$
$P’=(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.
Demikianlah pertemuan kita kali ini semoga materi ini bermanfaat bagi para pembaca sekalian...
Salam berbagi..






Comments