Skip to main content

POLINOMIAL

Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..?
Pada postingan kali ini akan dijelaskan mengenai "Polinomial".
Polinomial merupakan suatu fungsi berbentuk:
$P(x)=a_n.x^n+a_{n-1}.x^{n-1}+...+c$
Dimana:
$a_i$ dengan $i=1, 2, ..., n$ adalah anggota bilangan real;
$n$ adalah anggota bilangan asli; dan
$c$ adalah konstanta, serta
$P(x)$ itu tidak konstan.
Ada yang namanya derajat dalam suatu polinom. Pada bentuk formula diatas bahwa derajat $P(x)$ adalah $n$.
Contoh:
Polinom $h(x)=3x^5-4x+1$ adalah polinom berderajat 5.
--------------------
Selanjutnya apakah polinomial boleh hanya sebuah konstanta?
Jawabannya adalah tidak, sebab suatu konstanta itu variabelnya adalah $x^0$ artinya akar dari polinom itu tidak tentu.
--------------------
Akar Polinomial
Akar dari polinomial $P(x)$ adalah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $P(x)=0$.
NB: Jika $P(c)=0$ dengan $c$ adalah bilangan real, maka $(x-c)$ adalah faktor dari $P(x)$.
Contoh:
Tentukan akar-akar real dari polinomial $P(x)=x^2-3x+2$
Jawab:
polinomial pada contoh ini adalah polinomial berderajat 2 yakni polinomial kuadrat. Sehingga akar-akarnya merupakan akar dari persamaan kuadrat: $x^2-3x+2=0$.
Sehingga mudah bagi kita menentukan akar-akarnya. Kita faktorkan persamaan tersebut sehingga diperoleh: $(x-1)(x-2)=0$ maka akar-karnya adalah $x=1$ dan $x=2$.
----------------------
Sisa Pembagian
Sisa pembagian sama halnya dengan pembagian suatu bilangan. Sebagai contoh $\frac {7}{4}=1+\frac {3}{4}$, 7 adalah yg dibagi, 4 adalah pembagi, 1 adalah hasil bagi, dan 3 adalah sisa bagi.
Dalam polinomial maka:
$P(x)=h(x).n(x)+s(x)$
dimana $P(x)$ adalah Polinomial yg akan dibagi,
$h(x)$ adalah hasil bagi,
$n(x)$ adalah pembagi, dan
$s(x)$ adalah sisa bagi.
NB: Jika $deg[n(x)]=k$ maka $deg[s(x)]=k-1$.
Rumus sisa pembagian (Teorema sisa) dimana pembaginya adalah suatu polinom linear berbentuk $ax+b$, adalah: sisa = $P(\frac {-b}{a})$
----------------------------
Contoh: (OSP MTK SMA 2019)
Polinom $P(x)$ yang memenuhi persamaan $P(x^2)=x^{2019}.(x+1).P(x)$ dengan $P(\frac {1}{2})=-1$ adalah ....
Jawab:
Misalkan $deg[P(x)]=n$ maka dari persamaan yang diketahui pada soal, diperoleh:
$2n=2020+n$ atau $n=2020$. Kemudian substitusikan $x=0$ dan $x=-1$ maka diperoleh $P(0)=0$ dan $P(1)=0$ sehingga diperoleh $P(x)=x.(x-1).Q(x)$....(1) dan $deg[Q(x)]=2018$. Dari persamaan (1) dan diketahui pada soal bahwa $P(\frac {1}{2})=-1$ maka $Q(\frac {1}{2})=4$. Dari persamaan satu juga:
$P(x^2)=x^2.(x^2-1).Q(x^2)$....(2).
Kemudian substitusikan persamaan (1) ke persamaan polinom pada soal, diperoleh:
$P(x^2)=x^{2019}.(x+1).x.(x-1).Q(x)$....(3).
Samakan persamaan (2) dan (3) diperoleh:
$x^{2018}.Q(x)=Q(x^2)$ dari persamaan terakhir ini jelas bahwa $Q(x)=A.x^{2018}$ dimana $A$ bilangan real. Selanjutnya, karena $Q(\frac {1}{2})=4$ maka diperoleh $A=2^{2020}$.
Jadi, $P(x)=2^{2020}.x^{2019}.(x-1)$.
Mungkin sekian dulu postingan hari ini, semoga bermanfaat,,

Comments