Skip to main content

PERSAMAAN DIOPHENTINE


Pada pertemuan kali ini, akan dijelaskan mengenai persamaan diophentine, berikut penjelasannya:

Persamaan diophantine adalah persamaan bersuku banyak ax+by = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan integer (bulat).

Persamaan linear diophantine ax+by= c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika gcd(a,b) membagi c.

Contoh soal 1:
Apakah persamaan 15x+6y=190 memiliki penyelesaian di bilangan bulat?
Jawab:
Mungkin bagi kalian yang penasaran untuk menyelesaikan kasus ini, bisa dengan coba-coba.. Misalnya, jika x = 1, y-nya berapa, dan seterusnya.. Tapi itu tidak memungkinkan karena menghabiskan waktu.

Nah, untuk mendapatkan solusi, kita dari gcdnya dulu: gcd (15,6) = 3.
Namun, ternyata 190 tidak habis dibagi 3. Nah,artinya, persamaan di atas tidak punya solusi untuk semua bilangan bulat x dan y.

Contoh soal 2:
Tentukan semua pasangan (x, y) anggota bilangan bulat non-negatif yang memenuhi persamaan 7x + 5y = 100.
jawab:
Kita tahu bahwa bilangan bulat non-negarif itu adalah bilangan cacah.
karena gcd (7, 5)=1, maka mempunyai solusi, maka
7=1.5+2
2=7-5 lalu kedua ruas kita kali 50 maka
100=7(50)+5(-50) sehingga diperoleh x = 50 (mod 5) atau x = 0 (mod 5) dan y= -50 (mod 7) atau
y=6 (mod 7).
jika x=0 maka y=20, jika x=5 maka y=13. Perlu kita ketahui bahwa x dan y itu berlawanan arah.
Jadi batas x = floor (100/7)= 14 artinya karena x = 5k maka k yang memenuhi hanya k=0, 1, dan 2.
Jadi semua pasangan (x, y)={(0, 20), (5, 13), (10, 6)}

Comments