Skip to main content

LIMIT FUNGSI

Hai sahat mathematic.my.id pada pertemuan kali ini akan dibahas mengenai Limit Fungsi.
$\quad$ Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran $f(x)$ untuk setiap masukan $x$. Fungsi tersebut memiliki limit $L$ pada titik masukan $p$ bila $f(x)$ "dekat" pada $L$ ketika $x$ dekat pada $p$. Dengan kata lain, $f(x)$ menjadi semakin dekat kepada $L$ ketika $x$ juga mendekat menuju $p$. Lebih jauh lagi, bila $f$ diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada $p$, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan $L$. Bila masukan yang dekat pada $p$ ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi $f$ dikatakan tidak memiliki limit.
Definisi Limit Fungsi
Bila $f:R \to R$ terdefinisi pada garis bilangan riil, dan $p$, $L \in R$ maka kita menyebut limit $f$ ketika $x$ mendekati $p$ adalah $L$, yang ditulis sebagai:
$ \lim \limits_{x \to p} f(x)=L$ Jika dan hanya jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $\delta >0$ sehingga $ \left \vert {x-p} \right \vert < \delta$
mengimplikasikan bahwa $ \left \vert {f(x)-L} \right \vert < \epsilon$. Disini, baik $\epsilon$ maupun $\delta$ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai $f(p)$.

Teknik Menyelesaikan Limit
$\quad$ Untuk menyelesaikan limit itu tergantung bentuk fungsinya dan hasilnya. Penting untuk diingat bahwa langkah pertama menyelesaikan limit itu dengan cara substitusi (menggantikan langsung variabel dengan nilai limit) jika hasilnya bentuk tak tentu ada 4 yaitu:
$\left \lbrace {\frac {0}{0}}={\frac {\infty}{\infty}}, (\infty -\infty), 1^{\infty} \right \rbrace$ maka bentuk tak tentu ini bukanlah hasil limit, sehingga kita harus menyederhanakan fungsi itu ke bentuk yang paling sederhananya dilakukan dengan cara pengubahan bentuk aljabar dan dalil L'Hospital.
Contoh pencarian nilai limit dengan pensubstitusian:
1. $\lim \limits_{x \to 1} (3x+1)=3(1)+1=4$
2. $\lim \limits_{x \to 3} \frac {x^2-9}{x-3}=\frac{0}{0}$ ini adalah bentuk tak tentu maka akan kita sederhanakan menjadi:
$\lim \limits_{x \to 3} \frac {(x-3)(x+3)}{(x-3)}=\lim \limits_{x \to 3}(x+3)=6$
3. $\lim \limits_{x \to \infty} (\sqrt{x-2}-\sqrt{x^2-4})= \infty - \infty$
ini juga bentuk tak tentu, maka kita sederhanakan dengan cara mengalikan fungsi rasional akar sekawannya yakni: kalikan dengan $\frac {\sqrt{x-2} + \sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x^2-4}}$ sehingga diperoleh bentuk limitnya menjadi: $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{-x^2+x+2}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x^2-4}}$. Maka jika kita bagi dengan $x^2$ menjadi $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{-1+x^{-1}+2.x^{-2}}{\sqrt{x^{-3}-2.x^{-4}} + \sqrt{x^{-2}-4x^{-4}}}=\infty$. Jadi jelas bahwa jika kita substitusikan itu diperoleh hasilnya adalah $\infty$.
NB: Perlu diingat bahwa $\infty$ itu merupakan hasil dari limit.

Limit fungsi Trigonometri
Sifat-sifat:
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x}{sin(x)}$ $=\lim \limits_{x \to 0}\frac{tan(x)}{x}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x}{tan(x)}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{sin(x)}{tan(x)}$ $\lim \limits_{x \to 0}\frac{tan(x)}{sin(x)}=1$.
Perhatikan bahwa sifat umum ini berasal dari dalil L'Hospital.
Contoh:
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {sin(6x)}{sin(2x)}=...$
Jawab:
Coba kita kalikan dengan $\frac {2x}{6x}.\frac {6}{2}$ sehingga menjadi: $\lim \limits_{x \to 0} \frac {sin(6x)}{6x}.\frac{2x}{sin(2x)}.\frac {6}{2}=3$.
Jika dengan menggunakan aturan L'Hospital maka diperoleh:
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {D_xsin(6x)}{D_xsin(2x)}=\lim \limits_{x \to 0} \frac {6.cos(6x)}{2.cos(2x)}=3$.
$\quad$ Mungkin sampai disini dulu pertemuan kita pada hari ini,,
Salam berbagi..

Comments