Skip to main content

KOMBINASI

Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai operasi kombinasi. Sebelumnya sobat harus tau apa itu operasi faktorial. Operasi faktorial dilambangkan dengan tanda seru " ! ". Sebagai contoh 5!=5x4x3x2x1 atau bisa kita tulis dengan $5!=5.(5-1)!$.
Definisi formal faktorial:
Untuk setiap bilangan $n$ maka $n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)....1$
$=n.(n-1)!$

Setelah kita mengetahui definisi faktorial, maka barulah kita bisa menggunakan operasi kombinasi.
Definisi Formal Kombinasi:
Kombinasi merupakan operasi yang dirumuskan oleh $C(n, r)=\frac {n!}{r!.(n-r)!}$ dimana $n>r$.

Ada juga yg menuliskan rumus kombinasi sebagai berikut:
$C(n, r)=\frac {n.(n-1).(n-2)...(n-(r-1))}{r!}$

bentuk itu diperoleh karena $(n-r)!$ itu habis membagi $n!$.

Kita juga harus tau bentuk-bentuk penulisan lambang kombinasi, yakni:
1. $C(n, r)$
2. $_nC_r$, dan
3. ${n \choose r}$.

Nah setelah sobat mengenal definisi kombinasi tersebut, kini saatnya kita mengetahui apa kegunaan dari kombinasi itu.


Kegunaan Kombinasi

*Untuk mencari banyaknya cara memilih*
Misalkan ada 4 elemen yaitu $a, \quad b, \quad c,\quad$ dan $d$ maka jika kita ingin memelih 3 elemen dari 4 elemen itu kita peroleh pemilihannya ada empat cara yakni: $(a, \quad b, \quad c)$, $(a, \quad b, \quad d)$, $(b, \quad c, \quad d)$, dan $(a, \quad c, \quad d)$.

Contoh lain:
Seorang siswa diharuskan mengerjakan 7 soal dari 10 soal dengan nomor soal 1 s.d 10. Siawa itu juga diharuskan menjawab soal no.1, no.5, dan no.9. Berapa banyak cara pemilihan soal oleh siswa itu?
Jawab:
Karena 3 soal sudah dipilih yakni dari kalimat diharuskan menjawab soal no.1, no.5, dan no.9, maka sisa soal yg harus dipilih oleh siswa itu tinggal 7 soal. Sedangkan untuk mengerjakan 7 soal itu dia harus mengerjakan 4 soal lagi. Sehingga oleh rumus kombinasi maka banyak cara pemilihannya adalah: $C(7, 4)=\frac {7.6.5.4}{4.3.2.1}=35 $ cara.

*Sebagai koefisien dari perpangkatan $(x+y)^n$
Formulanya sebagai berikut:
$\quad (x+y)^n=\sum^n_{k=0}{n \choose r}.x^k.y^{n-k}$
rumus ini dinamakan rumus binomial.

sebagai contoh misalkan kita akan mencari nilai $(1+2)^2$ dengan menggunakan rumus binomial, maka $(1+2)^2=C(2, 0).1^0.2^{2-0}+$
$C(2, 1).1^1.2^{2-1}+C(2, 2).1^2.2^{2-2}$$=4+4+1=9.\quad$
Untuk bukti formalnya bisa kita gunakan induksi matematika yg dibahas dipertemuan lain.
Contoh:
Tentukan koefisien $x^4$ dari $(2x-3)^6$.
Jawab:
Jika sebelumnya kita tidak mengetahui rumus binomial itu, maka kita akan kesulitan menjawab soal ini. Soal ini juga bisa kita jawab dengan menggunakan bilangan segitiga pascal, dan sebenarnya bilangan segitiga pascal itu adalah koefisien-koefisien dari rumus binomial. Ok, langsung saja kita jawab, karena yang ditanya itu $x^4$, maka jelas bahwa $k=4$. Sehingga kita hanya mengambil suku pada $k=4$ saja, kita peroleh sukunya: $C(6, 4). (2x)^4.(-3)^{6-4}=$
$(15).(16).(9).x^4=2160.x^4$
sehingga koefisiennya= 2160.

*kombinasi digunakan untuk mencari barisan dan deret aritmatika bertingkat*
Barisan dan deret aritmatika bertingkat itu merupakan gabungan dari 2 atau lebih barisan atau deret yang saling terhubung. Misalnya barisan aritmatika tingkat-2 sebagai berikut:
2, 3, 5, 8, 12, ... (barisan pertama)
beda pertama: 1, 2, 3, 4, ... (barisan kedua)
beda kedua: 1, 1, 1, ... (barisan ketiga)
Nah untuk mencari rumus suku ke-$n$ nya maka suku pertama berturut-turut dari barisan pertama dan seterusnya kita kalikan dengan kombinasi yg bersesuainya lalu kita jumlahkan sebagai berikut:
$U_n={{n-1} \choose 0}.2 + {{n-1} \choose 1}.1 + {{n-1} \choose 2}.1$.
Nah sekarang kita coba mencari suku ke-4 dari barisan pertama, maka: $U_4={(4-1) \choose 0}.2 + {(4-1) \choose 1}.1 + {(4-1) \choose 2}.1=8$.
Jika untuk deret, misalkan kita akan mencari $S_n$ dari barisan pertama yakni 2+3+5+8+12+...
maka: $\quad S_n={n \choose 1}.2 + {n \choose 2}.1 + {n \choose 3}.1$. Misalkan kita akan mencari nilai $S_4$ maka $S_4={4 \choose 1}.2 + {4 \choose 2}.1 + {4 \choose 3}.1=18.$

Mungkin sampai disini tutorial kita kali ini dalam materi kombinasi, terima kasih atas kunjungannya di mathematic.my.id semoga bermanfaat..




Comments