HIMPUNAN (Pengertian, Notasi, dan Jenis-Jenis) - mathematic.my.id

HIMPUNAN (Pengertian, Notasi, dan Jenis-Jenis)


Pada pertemuan kali ini, akan dijelaskan tentang materi himpunan sebagai berikut:
Dalam matematika, himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Penjelasan gambar diatas: Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn


A. Notasi Himpunan
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan anggota bilangan yang umum dipakai.

Dan Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis, contoh:
$B=$ {apel, jeruk, mangga, pisang}
$A=${$a, b, c, ..., y, z$}
$N=${$1, 2, 3, ...$}
Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.
$O=${$u \mid u$ adalah bilangan ganjill}
$E=${$x \mid x \in z \wedge (x$ mod $z=0)$}
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:
$A=${$x \mid x \notin A$}
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

B. Himpunan Semesta
Jika kamu sedang membicarakan atau berdiskusi tentang suatu masalah, ruang lingkup pembicaraan atau diskusi biasanya dibatasi. Hal ini dilakukan agar pembicaraan atau diskusi tersebut tidak menyimpang dari masalah pokok. Pembatasan pembicaraan dalam matematika seperti itu disebut semesta pembicaraan atau himpunan semesta pembicaraan. Untuk memahami pengertian himpunan semesta, perhatikan himpunan berikut.
Misalkan $P$ adalah himpunan semua bilangan asli yang kurang dari 7 yaitu $P=$ {1, 2, 3, 4, 5, 6} serta diketahui $Q=$ {1, 2, 3, 4} dan $T=$ {0, 2, 4, 6}.
Coba kamu perhatikan himpunan $P$ dan $Q$. Himpunan $P$ memuat sebuah anggota dari himpunan $Q$ sehingga himpunan $P$ merupakan himpunan semesta dari himpunan $Q$. Sekarang, coba kamu perhatikan himpunan $P$ dan $T$. Dari himpunan tersebut, terlihat hanya himpunan $P$ tidak memuat seluruh anggota dari himpunan $T$ karena salah satu anggota $T$, yaitu 0 tidak terdapat pada $P$. Jadi, $P$ tidak dapat disebut sebagai himpunan semesta dari $T$.
Dari keterangan tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut:

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan.


C. Himpunan Bagian
1. Pengertian dan lambang himpunan bagian.
Diketahui $A$ merupakan himpunan bagian dari $B$, maka setiap anggota $A$ merupakan anggota $B$, atau himpunan $A$ terdapat dalam himpunan $B$.
$A$ himpunan bagian dari $B$, ditulis $A \subseteq B$.
$A$ bukan himpunan bagian dari $B$, ditulis $A \nsubseteq B$.
2. Himpunan bagian dari suatu himpunan.
Sebelum menentukan himpunan bagian dari suatu himpunan, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai berikut:

- Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.

- Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.

Contoh 1:
Misalkan $A=${a}. Himpunan bagian dari $A$ yang tidak mempunyai anggota ada 1, yaitu { }. Himpunan bagian dari $A$ yang mempunyai 1 anggota ada 1, yaitu {a}. Jadi, himpunan bagian dari $A$ ada 2, yaitu { }, dan {a}.
Contoh 2:
Misalkan $B=$ {a, b}. Himpunan bagian dari $B$ yang tidak mempunyai anggota ada 1, yaitu { }. Himpunan bagian dari $B$ yang mempunyai 1 anggota ada 2, yaitu {a} dan {b}. Himpunan bagian dari $B$ yang mempunyai 2 anggota ada 1, yaitu {a, b}. Jadi himpunan bagian dari $B$ ada 4, yaitu { }, {1}, {b}, dan {a, b}.

D. Diagram Venn, Irisan, dan Gabungan Himpunan.
1. Diagram Venn
Diagram venn merupakan salah satu cara untuk menyajikan atau menjelaskan himpunan-himpunan serta hubungan diantara himpunan-himpunan tersebut dalam semesta pembicaraan tertentu. Berikut ini adalah hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan diagram venn.

a. Semua anggota dari himpunan semesta $(S)$ digambarkan dengan noktah-noktah dalam persegi panjang. $S$ ditulis pada salah satu sudutnya, biasanya sudut kiri atas persegi panjang.
b. Setiap himpunan yang dibicarakan digambarkan dengan bulatan atau kurva tertutup.
c. Setiap anggota dari himpunan yang dimaksud ditunjukkan dengan noktah-noktah titik.
d. Jika anggota suatu himpunan banyak sekali, anggota-anggotanya tidak perlu ditulis.



Contoh:
Perhatikan gambar berikut:

a. Diketahui $S=$ {1, 2, 3, 4, ..., 8}, $A=$ {1, 2, 3}, dan $B=$ {5, 6, 7}. Himpunan-himpunan tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram venn seperti pada gambar (a).
b. $S=$ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, $A=$ {1, 2, 3, 4}, dan $B=$ {2, 3, 5}. Himpunan-himpunan tersebut dapat ditunjukkan dengan digram venn seperti pada gambar (b).
c. $S=$ {Bilangan cacah}, $A=$ {1, 2, 3, 4}, dan $B=$ {2, 3, 1, 4}. Himpunan-himpunan tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram venn seperti pada gambar (c). Semua anggota himpunan $A$ termasuk anggota himpunan $B$, begitu juga sebaliknya.
d. $S=$ {Bilangan cacah}, $A=$ {Bilangan genap}, dan $B=$ {Bilangan asli}. Himpunan-himpunan tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram venn seperti pada gambar (d).
2. Irisan Dua Himpunan
Diketahui $A=${1, 3, 5, 7, 9, 11} dan $B=${2, 3, 5, 7}. Dari kedua himpunan tersebut, kamu dapat membentuk himpunan baru yang anggotanya merupakan anggota himpunan $A$ sekali gus merupakan anggota himpunan $B$. Anggota himpunan $A$ yang sekaligus merupakan anggota himpunan $B$ adalah {3, 5, 7}. Himpunan baru ini disebut irisan $A$ dan $B$, ditulis $A \cap B =$ {3, 5, 7}. Irisan himpunan memiliki sifat komutatif yakni:

$A \cap B = B \cap A$


Contoh:
Diketahui:
$S=$ { $x|x \le 6, x \in$ bilangan asli}.

$Q=$ { $x|x>4, x \in S$}

Dengan menuliskan anggota-anggotanya, tentukan:
a. $\quad P \cap Q$,
b. $\quad P \cap R$,
c. $\quad Q \cap R$
Jawab:
$S=$ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
$P=$ {1, 2, 3, 4}
$Q=$ {5, 6}
$R=$ {3, 4, 5, 6}
Maka:
a. $\quad P \cap Q = \varnothing$
b. $\quad P \cap R =$ {3, 4}
c. $\quad Q \cap R =$ {5, 6}

3. Gabungan Himpunan
Perhatikan gambar berikut:

Gambar di atas merupakan gabungan himpunan $A$ dan $B$ yang ditulis dengan:

$A \bigcup B$

Gabungan himpunan juga bersifat komutatif yakni:

$A \bigcup B = B \bigcup A$

Contoh:
Diketahui:
$Q=$ { $x|x \le 5, x \in$ bilangan ganjil}.
$R=$ { $x|x \le 10, x \in$ bilangan prima}.
Dengan menuliskan anggota-anggotanya tentukan: $ Q \bigcup R$
Jawab:
$Q=$ {1, 3, 5} dan
$R=$ {2, 5, 7} maka:
$Q \bigcup R =$ {1, 2, 3, 5, 7}.







0 Response to "HIMPUNAN (Pengertian, Notasi, dan Jenis-Jenis)"

Post a comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel