Search This Blog

Blogroll

Hai sahabat matematic.my.id... apa kabar? Pastinya masih sehat dalam menjalankan aktivitas.. Baiklah kali ini akan dijelaskan materi tenta...

Modulo (Sisa Pembagian)

Hai sahabat matematic.my.id... apa kabar?
Pastinya masih sehat dalam menjalankan aktivitas..
Baiklah kali ini akan dijelaskan materi tentang Modulo.
Apa sih sebenarnya modulo?,
Modulo adalah operasi sisa pembagian atau secara umum dapat dibentuk dalam notasi matematiknya adalah:
$a=bx+c$ sama halnya dengan $c \equiv a$ (mod $ b)$ atau $a$ (mod $ b) = c$.
Tetapi secara umum untuk memudahkan biasanya notasi (mod $ b)$ disimpan (tidak tertulis) seperti berikut: $a \equiv c$.
Contoh: sisa pembagian 13 oleh 4 adalah 1, atau dapat ditulis dengan $13=4(3)+1$ atau dapat ditulis dengan $13$ (mod $ 4) =1$.
NB: Jika pembaginya $b$ maka sisa baginya berada dalam rentang bilangan bulat $0 \le c \le c-1$.

Sifat-sifat modulo:
1. Bersifat seperti persamaan aljabar.
Contoh: Buktikan bahwa $a$ (mod $ b) = a - b$
Untuk membuktikannya, kita simpan (tidak tertulis) (mod $ b)$ maka menjadi $a = a - b$ secara aljabar kita peroleh $b=0$. Jelas bahwa $b$ habis dibagi dengan $b$ (sisa 0 sama saja dengan habis dibagi).
2. Dapat masuk ke operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
contoh:
Tentukan digit terakhir dari hasil $234(780)-671(54527)+987(762)$.
Jawab: Perhatikan bahwa setiap angka yang dibagi 10 itu sisanya adalah digit terakhir dari angka itu. Maka persoalan diatas itu kongruen dengan: $4(0)-1(7)+7(2)=7$. Jadi digit terakhirnya adalah 7.

3. $a^b$ (mod $c)=(a$ mod $ c)^b$ (mod $ c)$ dimana $(a$ mod $ c)$ adalah suatu bilangan sisa.
Contoh 1:
$7^9$ (mod 5) $=2^9$ (mod 5).
Contoh 2:
Berapa sisa pembagian bilangan ${(17(505703)+19)}^{12}$ oleh 11?
Jawab:
Ingat bahwa bilangan basis itu dapat kita modulokan walaupun ia berada didalam pangkat. Karena bilangan 505703 itu habis dibagi 11 (ingat sifat-sifat bilangan yang habis dibagi 11) dan 19 dibagi 11 itu bersisa 8 maka soal tersebut sama dengan ${8}^{12}$ (mod 11), kemudian sifat ke 4 akan menjawab bagian ini.
4. Sifat keempat ini adalah teorema yang ditemukan oleh Euler, berikut teoremanya:
Jika FPB$(j,$ $k)=1$ maka $j^{\varphi (k)} \equiv 1$ (mod $ k)$. Dimana nilai dari $\varphi(k)$ dirumuskan oleh bentuk:
*Jika $k$ adalah bilangan prima maka $\varphi (k)=k-1$.
*Jika $k=p^n.q^m$ dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima, maka $\varphi (k) =(p^n-p^{n-1}).(q^m-q^{m-1})$.

contoh 1:
Tentukan sisa pembagian bilangan $5^{37}$ oleh 3.
Jawab: ini sama halnya dengan $2^{37}(mod \quad 3)$. Karena $\varphi(3)=2$ maka $2^{37}=2^{2(18)+1}=({2^2})^{18}.2^1=1.(2)=2$. Jadi sisa pembagian $5^{37}$ oleh 3 adalah 2.
Contoh 2
$8^{12}$ (mod 11) = ...
Jawab:
Karena 11 adalah bilangan prima, maka $\varphi (11)=10$ sehingga
$8^{12}=8^{10+2}=8^{10}.(8^2)=64=9$ (mod 11).




0 comments: