Search This Blog

Blogroll

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan ...

Limit Fungsi


Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran $f(x)$ untuk setiap masukan $x$. Fungsi tersebut memiliki limit $L$ pada titik masukan $p$ bila $f(x)$ "dekat" pada $L$ ketika $x$ dekat pada $p$.
Dengan kata lain, $f(x)$ menjadi semakin dekat kepada $L$ ketika $x$ juga mendekat menuju $p$. Lebih jauh lagi, bila $f$ diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada $p$, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan $L$. Bila masukan yang dekat pada $p$ ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi $f$ dikatakan tidak memiliki limit.

Definisi Limit Fungsi
Bila $f:R \to R$ terdefinisi pada garis bilangan riil, dan $p$, $L \in R$ maka kita menyebut limit $f$ ketika $x$ mendekati $p$ adalah $L$, yang ditulis sebagai:
$ \lim \limits_{x \to p} f(x)=L$

Jika dan hanya jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $\delta >0$ sehingga $ \left \vert {x-p} \right \vert < \delta$ mengimplikasikan bahwa $ \left \vert {f(x)-L} \right \vert < \epsilon$. Disini, baik $\epsilon$ maupun $\delta$ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai $f(p)$. Teknik Menyelesaikan Limit
Untuk menyelesaikan limit itu tergantung bentuk fungsinya dan hasilnya. Penting untuk diingat bahwa langkah pertama menyelesaikan limit itu dengan cara substitusi (menggantikan langsung variabel dengan nilai limit) jika hasilnya bentuk tak tentu ada 4 yaitu: $\left \lbrace {\frac {0}{0}}={\frac {\infty}{\infty}}, (\infty -\infty), 1^{\infty} \right \rbrace$ maka bentuk tak tentu ini bukanlah hasil limit, sehingga kita harus menyederhanakan fungsi itu ke bentuk yang paling sederhananya dilakukan dengan cara pengubahan bentuk aljabar dan dalil L'Hospital.

Contoh pencarian nilai limit dengan pensubstitusian:
1. $\lim \limits_{x \to 1} (3x+1)=3(1)+1=4$
2. $\lim \limits_{x \to 3} \frac {x^2-9}{x-3}=\frac{0}{0}$ ini adalah bentuk tak tentu maka akan kita sederhanakan menjadi:
$\lim \limits_{x \to 3} \frac {(x-3)(x+3)}{(x-3)}=\lim \limits_{x \to 3}(x+3)=6$
3. $\lim \limits_{x \to \infty} (\sqrt{x-2}-\sqrt{x^2-4})= \infty - \infty$ ini juga bentuk tak tentu, maka kita sederhanakan dengan cara mengalikan fungsi rasional akar sekawannya yakni: kalikan dengan $\frac {\sqrt{x-2} + \sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x^2-4}}$ sehingga diperoleh bentuk limitnya menjadi: $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{-x^2+x+2}{\sqrt{x-2} + \sqrt{x^2-4}}$. Maka jika kita bagi dengan $x^2$ menjadi $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{-1+x^{-1}+2.x^{-2}}{\sqrt{x^{-3}-2.x^{-4}} + \sqrt{x^{-2}-4x^{-4}}}=\infty$. Jadi jelas bahwa jika kita substitusikan itu diperoleh hasilnya adalah $\infty$.
NB: Perlu diingat bahwa $\infty$ itu merupakan hasil dari limit.

Limit fungsi Trigonometri
Sifat-sifat:
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x}{sin(x)}$
$=\lim \limits_{x \to 0}\frac{tan(x)}{x}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x}{tan(x)}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{sin(x)}{tan(x)}$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{tan(x)}{sin(x)}=1$.
Perhatikan bahwa sifat umum ini berasal dari dalil L'Hospital.
Contoh:
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {sin(6x)}{sin(2x)}=...$
Jawab:
Coba kita kalikan dengan $\frac {2x}{6x}.\frac {6}{2}$ sehingga menjadi:
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {sin(6x)}{6x}.\frac{2x}{sin(2x)}.\frac {6}{2}=3$.

Jika dengan menggunakan aturan L'Hospital maka diperoleh:
$\lim \limits_{x \to 0} \frac {D_xsin(6x)}{D_xsin(2x)}=\lim \limits_{x \to 0} \frac {6.cos(6x)}{2.cos(2x)}=3$.

Versi aplikasi android dapat anda download di sini.





0 comments:

Pada pertemuan kali ini akan dijelaskan tentang Vektor. Vektor merupakan suatu arah pada bidang koordinat dimensi-n yang mempunyai nilai. S...

Vektor


Pada pertemuan kali ini akan dijelaskan tentang Vektor. Vektor merupakan suatu arah pada bidang koordinat dimensi-n yang mempunyai nilai. Sebagai contoh pada koordinat dimensi-2 yang memiliki arah X dan Y. Vektor berbentuk seperti panah yang memiliki titik pangkal dan titik ujung (kepala panah). Perhatikan gambar dibawah ini:


Penamaan sebuah vektor bisa berasal dari gabungan dari titik pangkal dan titik ujung, serta bisa dari satu huruf kecil yang diberi tanda panah diatasnya, sebagai contoh: $\vec {m}$. Penulisan unsur vektor ada dua cara yaitu pertama $a \choose b$$\quad$dan juga bisa ditulis dengan $\left\langle a, b \right\rangle$$\quad$dimana $a$ dan $b$ adalah suatu bilangan.
Vektor satuan adalah vektor yang nilainya satu satuan panjang yang biasa disimbolkan dengan: untuk sumbu X itu i, untuk sumbu Y itu j dan untuk sumbu Z itu k. Untuk mencari nilai vektor dari dua buah titik adalah titik ujung dikurang titik pangkal. Contoh vektor dari titik pangkal (1, 2) dan titik ujung (5,3) adalah $\left\langle 4, 1 \right\rangle$.

Sifat-sifat Vektor
*Komutatif
Contoh:
$\vec{a} +2.\vec b-\vec c=-\vec c+\vec a+2.\vec b$
*Asosiatif
Contoh:
$\vec{a}+(\vec {b}+\vec c)=(\vec {a}+\vec {b})+\vec {c}$
*Distributif
Pada sifat distributif ini berkaitan dengan perkalian titik vektor yang akan dijelaskan nanti.
Contoh:
$\vec {a} .(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{b}$.

Cara menjumlahkan dan mengurangkan vektor, contoh:
$\left\langle -6, 8 \right\rangle+\left\langle 5, -3 \right\rangle-\left\langle 2, 1 \right\rangle=\left\langle -3, 4 \right\rangle$

Cara mengalikan vektor dengan skalar, contoh:
$-3.{-7 \choose 8}={21 \choose -24}$
-------------------
Untuk perkalian dua buah vektor itu ada dua jenis yakni yang pertama perkalian titik dan yang kedua perkalian silang. Kali titik disimbolkan dengan "." dan kali silang disimbolkan dengan "x".
Contoh hasil kali titik dua buah vektor
${5 \choose -6}.{-2 \choose -3}=5(-2)+(-6)(-3)=8$.

NB: Untuk hasil kali silang dua buah vektor itu hanya berlaku pada vektor dimensi-3.
Untuk mencari hasil kali silang dua vektor itu menggunakan determinan matriks. Perhatikan contoh berikut:
Contoh hasil kali silang dua vektor:
$\left\langle 1, 2, 3 \right\rangle$x$\left\langle 4, 5, 6 \right\rangle=$ det $\left(
\begin{array}{rrr}i&j&k\\1&2&3\\4&5&6 \end {array} \right)$ $=-3i+6j-3k=\left\langle -3, 6, -3 \right\rangle$.

Rumus lain hasil kali titik dua vektor:
$\vec{a}.\vec{b}=\left\vert{a}\right\vert.\left\vert{b}\right\vert.cos(\theta)$.
dimana:
$\left\vert{a}\right\vert$ adalah panjang vektor $\vec{a}$ dan $\theta$ adalah sudut potong ataupun sudut bersilangan dari dua vektor itu.

Rumus mencari panjang vektor: $\left\vert{\left\langle m, n \right\rangle}\right\vert=\sqrt{m^2+n^2}$

Contoh:
Kita tahu bahwa vektor satuan $\left\langle 2, 2 \right\rangle$ dengan vektor satuan $\left\langle 2, 0 \right\rangle$ berpotongan dititik 0 dan membentuk sudut $\frac{1}{4} \pi$ (sudut satuan radian), maka:
$\left\langle 2, 2 \right\rangle$.$\left\langle 2, 0 \right\rangle$=$\sqrt{8}.\sqrt{4}.cos(\frac{1}{4} \pi)=4$.




0 comments:

Hai sahabat matematic.my.id... apa kabar? Pastinya masih sehat dalam menjalankan aktivitas.. Baiklah kali ini akan dijelaskan materi tenta...

Modulo (Sisa Pembagian)

Hai sahabat matematic.my.id... apa kabar?
Pastinya masih sehat dalam menjalankan aktivitas..
Baiklah kali ini akan dijelaskan materi tentang Modulo.
Apa sih sebenarnya modulo?,
Modulo adalah operasi sisa pembagian atau secara umum dapat dibentuk dalam notasi matematiknya adalah:
$a=bx+c$ sama halnya dengan $c \equiv a$ (mod $ b)$ atau $a$ (mod $ b) = c$.
Tetapi secara umum untuk memudahkan biasanya notasi (mod $ b)$ disimpan (tidak tertulis) seperti berikut: $a \equiv c$.
Contoh: sisa pembagian 13 oleh 4 adalah 1, atau dapat ditulis dengan $13=4(3)+1$ atau dapat ditulis dengan $13$ (mod $ 4) =1$.
NB: Jika pembaginya $b$ maka sisa baginya berada dalam rentang bilangan bulat $0 \le c \le c-1$.

Sifat-sifat modulo:
1. Bersifat seperti persamaan aljabar.
Contoh: Buktikan bahwa $a$ (mod $ b) = a - b$
Untuk membuktikannya, kita simpan (tidak tertulis) (mod $ b)$ maka menjadi $a = a - b$ secara aljabar kita peroleh $b=0$. Jelas bahwa $b$ habis dibagi dengan $b$ (sisa 0 sama saja dengan habis dibagi).
2. Dapat masuk ke operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
contoh:
Tentukan digit terakhir dari hasil $234(780)-671(54527)+987(762)$.
Jawab: Perhatikan bahwa setiap angka yang dibagi 10 itu sisanya adalah digit terakhir dari angka itu. Maka persoalan diatas itu kongruen dengan: $4(0)-1(7)+7(2)=7$. Jadi digit terakhirnya adalah 7.

3. $a^b$ (mod $c)=(a$ mod $ c)^b$ (mod $ c)$ dimana $(a$ mod $ c)$ adalah suatu bilangan sisa.
Contoh 1:
$7^9$ (mod 5) $=2^9$ (mod 5).
Contoh 2:
Berapa sisa pembagian bilangan ${(17(505703)+19)}^{12}$ oleh 11?
Jawab:
Ingat bahwa bilangan basis itu dapat kita modulokan walaupun ia berada didalam pangkat. Karena bilangan 505703 itu habis dibagi 11 (ingat sifat-sifat bilangan yang habis dibagi 11) dan 19 dibagi 11 itu bersisa 8 maka soal tersebut sama dengan ${8}^{12}$ (mod 11), kemudian sifat ke 4 akan menjawab bagian ini.
4. Sifat keempat ini adalah teorema yang ditemukan oleh Euler, berikut teoremanya:
Jika FPB$(j,$ $k)=1$ maka $j^{\varphi (k)} \equiv 1$ (mod $ k)$. Dimana nilai dari $\varphi(k)$ dirumuskan oleh bentuk:
*Jika $k$ adalah bilangan prima maka $\varphi (k)=k-1$.
*Jika $k=p^n.q^m$ dengan $p$ dan $q$ adalah bilangan prima, maka $\varphi (k) =(p^n-p^{n-1}).(q^m-q^{m-1})$.

contoh 1:
Tentukan sisa pembagian bilangan $5^{37}$ oleh 3.
Jawab: ini sama halnya dengan $2^{37}(mod \quad 3)$. Karena $\varphi(3)=2$ maka $2^{37}=2^{2(18)+1}=({2^2})^{18}.2^1=1.(2)=2$. Jadi sisa pembagian $5^{37}$ oleh 3 adalah 2.
Contoh 2
$8^{12}$ (mod 11) = ...
Jawab:
Karena 11 adalah bilangan prima, maka $\varphi (11)=10$ sehingga
$8^{12}=8^{10+2}=8^{10}.(8^2)=64=9$ (mod 11).




0 comments: