Search This Blog

Blogroll

Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..? Pada postingan kali ini akan dijelaskan mengenai "Polinomial". Polinomial merupakan s...

POLINOMIAL


Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar..?
Pada postingan kali ini akan dijelaskan mengenai "Polinomial".
Polinomial merupakan suatu fungsi berbentuk:
$P(x)=a_n.x^n+a_{n-1}.x^{n-1}+...+c$
Dimana:
$a_i$ dengan $i=1, 2, ..., n$ adalah anggota bilangan real;
$n$ adalah anggota bilangan asli; dan
$c$ adalah konstanta, serta
$P(x)$ itu tidak konstan.

Ada yang namanya derajat dalam suatu polinom. Pada bentuk formula diatas bahwa derajat $P(x)$ adalah $n$.

Contoh:
Polinom $h(x)=3x^5-4x+1$ adalah polinom berderajat 5.
--------------------
Selanjutnya apakah polinomial boleh hanya sebuah konstanta?
Jawabannya adalah tidak, sebab suatu konstanta itu variabelnya adalah $x^0$ artinya akar dari polinom itu tidak tentu.
--------------------

Akar Polinomial
Akar dari polinomial $P(x)$ adalah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $P(x)=0$.
NB: Jika $P(c)=0$ dengan $c$ adalah bilangan real, maka $(x-c)$ adalah faktor dari $P(x)$.
Contoh:
Tentukan akar-akar real dari polinomial
$P(x)=x^2-3x+2$
Jawab: polinomial pada contoh ini adalah polinomial berderajat 2 yakni polinomial kuadrat. Sehingga akar-akarnya merupakan akar dari persamaan kuadrat: $x^2-3x+2=0$. Sehingga mudah bagi kita menentukan akar-akarnya. Kita faktorkan persamaan tersebut sehingga diperoleh: $(x-1)(x-2)=0$ maka akar-karnya adalah $x=1$ dan $x=2$.
----------------------
Sisa Pembagian
Sisa pembagian sama halnya dengan pembagian suatu bilangan. Sebagai contoh $\frac {7}{4}=1+\frac {3}{4}$, 7 adalah yg dibagi, 4 adalah pembagi, 1 adalah hasil bagi, dan 3 adalah sisa bagi.
Dalam polinomial maka:
$P(x)=h(x).n(x)+s(x)$
dimana $P(x)$ adalah Polinomial yg akan dibagi,
$h(x)$ adalah hasil bagi,
$n(x)$ adalah pembagi, dan
$s(x)$ adalah sisa bagi.
NB: Jika $deg[n(x)]=k$ maka $deg[s(x)]=k-1$.

Rumus sisa pembagian (Teorema sisa) dimana pembaginya adalah suatu polinom linear berbentuk $ax+b$, adalah: sisa = $P(\frac {-b}{a})$
----------------------------
Contoh: (OSP MTK SMA 2019)
Polinom $P(x)$ yang memenuhi persamaan
$P(x^2)=x^{2019}.(x+1).P(x)$ dengan $P(\frac {1}{2})=-1$ adalah ....
Jawab:
Misalkan $deg[P(x)]=n$ maka dari persamaan yang diketahui pada soal, diperoleh:
$2n=2020+n$ atau $n=2020$. Kemudian substitusikan $x=0$ dan $x=-1$ maka diperoleh $P(0)=0$ dan $P(1)=0$ sehingga diperoleh $P(x)=x.(x-1).Q(x)$....(1) dan $deg[Q(x)]=2018$. Dari persamaan (1) dan diketahui pada soal bahwa $P(\frac {1}{2})=-1$ maka $Q(\frac {1}{2})=4$. Dari persamaan satu juga:
$P(x^2)=x^2.(x^2-1).Q(x^2)$....(2). Kemudian substitusikan persamaan (1) ke persamaan polinom pada soal, diperoleh:
$P(x^2)=x^{2019}.(x+1).x.(x-1).Q(x)$....(3).
Samakan persamaan (2) dan (3) diperoleh:
$x^{2018}.Q(x)=Q(x^2)$ dari persamaan terakhir ini jelas bahwa $Q(x)=A.x^{2018}$ dimana $A$ bilangan real. Selanjutnya, karena $Q(\frac {1}{2})=4$ maka diperoleh $A=2^{2020}$.
Jadi, $P(x)=2^{2020}.x^{2019}.(x-1)$.

Mungkin sekian dulu postingan hari ini, semoga bermanfaat,,





0 comments: