Cara Mencari Persentase Cicilan Uang Perbulan

September 26, 2020 Add Comment
Hai sahabat mathematic.my.id apa kabar semuanya..

Pada postingan kali ini yang saya buat tengah malam 😁, saya kok ingin berbagi tentang ini karena banyak kali yang bertanya gimana sih ngitung persentase cicilan perbulan..?

Yang banyak nanya yg sering utang di bank, angsur motor atau kendaraan lain.

Ok langsung saja tanpa basa-basi, ini dia rumusan menghitung persentase cicilan bulanan:
Misalkan:
Persen cicilan bulanan (secara nilai) = b
Persen cicilan bulanan (secara waktu) = t
Uang angsuran perbulan = c
Lama cicilan = d
Harga kontan = e
Uang muka (DP) = f
Jadi:  
b = [(c.d+f) : e - 1].100%
dan t = b : d
Dengan '.' adalah perkalian. 

Contoh:
Harga motor Revo Fit F1 baru dengan pembelian kontan seharga Rp14 juta. Ani ingin mengangsur selama 36 bulan dengan cicilan perbulan Rp520.000. Ani memberi uang muka sebesar Rp4 juta. Berapa besar persentase cicilan Ani perbulan?
Jawab:
Dari rumus yang diberikan maka diperoleh:
c.d+f = 520000x36+4000000 = 22720000
(c.d+f) : e = 22720000 : 14000000 = 1,6228
Jadi:
b = (1,6228 - 1) x 100% = 62,28%.
Sehingga Ani terkena bunga cicilan perbulan (secara nilai) adalah 62,28%

Memang ketika kita mencicil suatu uang atau barang persentasenya tergolong besar bahkan ada yang sampai dua kali lipat bahkan lebih, ini karena jangka waktu yang tergolong lama. 

Misalnya kita meminjamkan uang kepada orang lain dan akan dilunasi dalam waktu 3 tahun, pasti kita bosan menunggunya, maka dari hal ini kita dapatkan konsep baru bahwa persentase yang tergolong besar itu sebenarnya kecil disebabkan oleh waktu. 

Dari contoh di atas, tentang Ani mencicil motor, bahwa Ani terkena bunga sebesar 62,28% yang tampak besar karena persen secara nilai tanpa merasakan waktu yang lama. Tetapi jika menggunakan konsep waktu maka kita bagikan dengan 36 bulan, diperoleh 5,19% yang sebenarnya kecil.

Mungkin itulah penjelasan tentang bunga cicilan, jika ada kesalahan dipersilahkan untuk komentar, terima kasih dan sampai jumpa di postingan lainnya.

FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA

September 23, 2020 Add Comment
Di dalam matematika terapan digunakan banyak sekali campuran tertentu fungsi-fungsi $e^x$ dan $e^{-x}$. Oleh karena itu fungsi campuran ini kita beri nama khusus.

Definisi:
(Fungsi Hiperbol). Fungsi sinus hiperbol, cosinus hiperbol dan empat fungsi sejenis lainnya didefinisikan sebagai berikut:
sinh $x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$
cosh $x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$
tanh $x=($sinh $x)/($cosh $x)$
coth $x=($cosh $x)/($sinh $x)$
sech $x=1/$cosh $x$
csch $x=1/$sinh $x$



Istilah yang kita gunakan memberikan kesan seolah-olah ada hubungan dengan fungsi-fungsi trigonometri. Sebenarnya memang demikian adanya.
Pertama, kesamaan dasar fungsi hiperbol (semacam cos$^2x+$ sin$^2x=1$ dalam trigonometri) adalah:

cosh$^2x-$ sinh$^2x=1$

Untuk membuktikan ini, maka perhatikanlah:
cosh$^2x-$ sinh$^2x=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}$
$\quad \quad -\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=1$

Kedua, ingatlah bahwa fungsi-fungsi trigonometri ada hubungan erat sekali dengan lingkaran satuan (perhatikan gambar 1 berikut).

Oleh karenanya, fungsi trigonometri itu sering juga dinamakan fungsi sirkular (dan istilah circle = lingkaran) atau fungsi lingkaran. Sesungguhnya persamaan $x=$ cos $t$, $y=$ sin $t$ adalah persamaan parameter lingkaran.
Begitu pula persamaan $x=$ cosh $t$, $y=$ sinh $t$ adalah persamaan cabang kanan hiperbol satuan, $x^2-y^2=1$ (Perhatikan gambar 2 berikut).

Selain itu dalam dua kasus ini, parameter $t$ berhubungan erat dengan luas $A$ daerah yang diarsir.

Oleh karena sinh $(-x)=-$sinh $x$, maka sinh adalah fungsi ganjil. Sedangkan karena cosh $(-x)=$cosh $x$, maka cosh adalah fungsi genap. Dengan demikian grafik $y=$ sinh $x$ simetri terhadap titik asal dan grafik $y=$ cosh $x$ simetri terhadap sumbu $y$. Grafik-grafik itu dapat kita lihat pada gambar 3 berikut:


Turunan Fungsi Hiperbol $\quad$ Apabila kita dapat menentukan
$D_x$ sinh $x$ dan $D_x$ cosh $x$
Maka turunan fungsi hiperbolik lainnya dapat dicari dengan menggunakan aturan turunan hasil bagi. Kita peroleh

$D_x$ sinh $x=D_x\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=$ cosh $x$

Dan

$D_x$ cosh $x=D_x\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=$ sinh $x$


Perhatikan bahwa fakta-fakta ini mengkonfirmasikan karakter dari grafik yang kita gambar. Misalnya, karena $D_x$ sinh $x=$ cosh $x>0$ maka grafik sinus hiperbolik selalu naik. Demikian pula, $D^2_x$ cosh $x=$ cosh $x>0$ yang berarti bahwa grafik sinus hiperbolik cekung ke atas. Di bawah ini adalah daftar dari 6 rumus penurunan.

$D_x$ sinh $x=$ cosh $x$
$D_x$ cosh $x=$ sinh $x$
$D_x$ tanh $x=$ sech$^2x$
$D_x$ coth $x=-$csch$^2x$
$D_x$ sech $x=-$sech $x.$ tanh $x$
$D_x$ csch $x=-$csch $x.$ coth $x$.


Contoh 1: Tentukan $D_x$ tanh$($sin$x)$.
Penyelesaian:
$D_x$ tanh$($sin$x)=$ sech$^2($sin$x).D_x($sin$x)$
$=$ cosh $x.$ sech$^2($sin$x)$.

Contoh 2: Tentukan $D_x$ cosh$^2(3x-1)$
Penyelesaian:
$D_x$ cosh$^2(3x-1)$
$=2.$cosh$(3x-1).D_x$cosh$(3x-1)$
$=2.$cosh$(3x-1).$ sinh$(3x-1).D_x(3x-1)$
$=6.$ cosh$(3x-1).$sinh$(3x-1)$

Contoh 3:
Tentukan $\int$ tanh$xdx$
Penyelesaian:
Ambil $u=$ cosh $x$, maka $du=$ sinh$xdx$. Jadi,
$\int$ tanh$xdx=\int ($sinh $x)/($cosh $x) \quad dx$
$=\int 1/u \quad du=$ ln$|u|+C$
$=$ ln |cosh$x$|$+C$
$=$ ln(cosh$x$)$+C$
Tanda nilai mutlak dapat dihilangkan, sebab cosh$x>0$.

Invers Fungsi Hiperbol $\quad$ Oleh karena sinus hiperbol dan tangen hiperbol adalah fungsi-fungsi yang turunannya selalu positif, maka fungsi-fungsi tersebut naik, jadi memiliki invers. Untuk memperoleh invers fungsi cosinus hiperbol dan secan hiperbol daerah asalnya kita batasi pada $x \ge 0$. Jadi:

$x=$ sinh$^{-1}y \iff y=$ sinh $x$.
$x=$ cosh$^{-1}y \iff y=$ cosh $x$ dan $x \ge 0$
$x=$ tanh$^{-1}y \iff y=$ tanh $x$.
$x=$ sech$^{-1}y \iff y=$ sech $x$ dan $x \ge 0$.


Oleh karena fungsi hiperbol dinyatakan dengan $e^x$ dan $e^{-x}$, maka tidak begitu mengherankan apabila invers fungsi hiperbol dapat dinyatakan dengan logaritma asli. Misalnya, perhatikanlah $y=$ cosh $x$ untuk $x \ge 0$ ini berarti bahwa:
$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ $\quad x \ge 0$
Kita cari $x$ dari persamaan ini. Dengan mengalikan kedua ruas itu dengan $2ex$ maka kita peroleh berturut-turut $2ye^x=e^{2x}+1$, atau
$(e^x)^2-2y.e^x+1=0$, $\quad x \ge 0$
Apabila kita cari $e^x$ dari persamaan tersebut, maka kita peroleh:
$e^x=\frac{2y \pm \sqrt{4y^2-4}}{2}=y \pm \sqrt{y^2-1}$
Atau setelah ditarik logaritma aslinya, kita peroleh:
$x=$ ln$(y \pm \sqrt{y^2-1})$
Syarat agar $x \ge 0$ mengakibatkan bahwa kita harus memilih tanda positif. Sehingga:

cosh$^{-1}y=$ ln$(y + \sqrt{y^2-1})$



Dengan cara yang hampir sama kita akan mendapatkan invers fungsi hiperbol yang lain, yaitu (setelah peranan $x$ dan $y$ kita tukar) sebagai berikut:

sinh$^{-1}x=$ ln$(x + \sqrt{x^2+1})$
cosh$^{-1}x=$ ln$(x + \sqrt{x^2-1})$
tanh$^{-1}x=\frac{1}{2}$ ln$(\frac{1+x}{1-x}), \quad x=(-1, 1)$
sech$^{-1}x=$ ln$(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}), \quad x=(0, 1]$


Tiap fungsi di atas dapat didiferensialkan, hasilnya sebagai berikut:

$D_x$sinh$^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$D_x$cosh$^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \quad x>1$
$D_x$tanh$^{-1}x=\frac{1}{1-x^2}, \quad x=(-1, 1)$
$D_x$sech$^{-1}x=\frac{-1}{x.\sqrt{1-x^2}}, \quad x=(0, 1)$


Contoh 4:
Buktikan bahwa $D_x$sinh$^{-1}x=1/\sqrt{x^2+1}$ dengan dua cara yang berlainan.
Penyelesaian:
Cara 1: jika $y=$ sinh$^{-1}x$ maka $x=$ sinh $y$.
Ruas kiri dan ruas kanan diturunkan menurut $x$, maka:
$1=($cosh$y).D_xy$. Jadi,
$D_xy=D_x($sinh$^{-1}x)=1/$cosh $y$
$=1/\sqrt{1+sinh^2y}=1/\sqrt{1+x^2}$
Cara 2: Gunakan bentuk logaritma sinh$^{-1}x$.
$D_x$sinh$^{-1}x=D_x$ln$(x+\sqrt{x^2+1})$
$=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}.D_x(x+\sqrt{x^2+1})$
$=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}.(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})$
$=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

Terapan Kurva Rantai $\quad$ Apabila sepotong kawat atau kabel homogen digantungkan antara dua titik tetap yang letaknya sama tinggi di atas lantai, maka kabel itu membentuk suatu kurva yang dinamakan kurva rantai (katenari) (perhatikan gambar 4 berikut).

Letak kurva itu dapat disesuaikan dengan suatu sistem koordinat sehingga persamaan kurva dapat ditulis sebagai
$y=a.$cosh $(x/a)$

Contoh 5:
Tentukan panjang kurva rantai $y=a.$cosh $(x/a)$ antara $x=-a$ dan $x=a$.
Penyelesaian:
Panjang yang dicari adalah:
$\int \limits_{-a}^{a}{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}} \quad dx$
$=\int \limits_{-a}^{a}{\sqrt{1+sinh^2(\frac{x}{a})}} \quad dx$
$=\int \limits_{-a}^{a}{\sqrt{cosh^2(\frac{x}{a})}} \quad dx$
$=2.\int \limits_{0}^{a}{cosh(\frac{x}{a})} \quad dx$
$=2a.\int \limits_{0}^{a}{cosh(\frac{x}{a})}(\frac{1}{a})dx$
$=2a.$ sinh $(x/a) \Bigr|_{0}^{a}$
$=2a.$ sinh $1=2,35a$.

Demikianlah pembahasan materi ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.

REMAINDER THEOREM AND FACTORS ON POLYNOMIALS

September 23, 2020 Add Comment

1. Concept of the remainder theorem
The rest of the channelisation polynomials to be an interesting when the rest of the result of the substitution value of 0 divisor into the Shared Function. By that's why then the mathematician examines the rest of the divisions in the remainder theorem.
a. Concept division remainder with divisor $(x-k)$.
On the division of polynomial by ordinary relationships have been known:
$f(x)=P(x).H(x)+S$
The divisor $P(x)$ will be replaced with the $(x-k)$, so:
$f(x)=(x-k).H(x)+S$
If $ x$ replaced with $k$ then:
$f(k)=(k-k).H(k)+S$ or
$f(k)=S$

Appear to be in the calculation of that if polynomials $f(x)$ divided by $(x-k)$ then the rest is $S=f(k)$


Example 1:
Determine the remainder of the division on the following functions:
a. $\quad f(x)=x^3-2x^2-5x+1$ divided $(x-2)$.
b. $\quad f(x)=x^4+3x^3-3$ divided $(x+1)$.
Answer:
a. $\quad S=f(2)$
$\quad =2^3-2.(2)^2-5.(2)+1$
$\quad =-9$
b. $\quad S=f(-1)$
$\quad =(-1)^4+3.(-1)^3-3$
$\quad =-5$

Example 2:
Determine the value $t$ if:
a. $\quad x^3+tx^2+3x-(3+t)$ divided $(x-2)$ remainder 17
b. $\quad x^4+tx^3-3x^2+(t^2+1)x-16$ divided up $(x-2)$
Answer:
a. $\quad S=f(2)=17$
$\quad 17=2^3+t.(2)^2+3.(2)-(3+t)$
$\quad 17=8+4t+6-3-t$
$\quad -3t=-6$
$\quad t=2$.
b. $\quad S=f(2)=0$
$\quad 0=2^4+t.(2)^3-3.(2)^2$
$\quad +(t^2+1)(2)-16$
$\quad 0=t^2+4t-5$
$\quad t=-5$ dan $t=1$.

b. Concept division remainder with divisor $ax+b$.
In the division of polynomial it has been known relationship:
$f(x)=P(x).H(x)+S$
Because by divisor if $ax+b$ then $P(x)$ become $ax+b$, so
$f(x)=(ax+b).H(x)+S$
If $x=-b/a$ then:
$f(-b/a)=S$

Appear to be in the calculation that if $f(x)$ divided $ax+b$ then remainder is:
$S=f(-b/a)$


Example 3:
Determine devision remainder from:
a. $\quad 2x^3-3x^2+4x-7$ by divisor $(2x+3)$.
b. $\quad x^3+x^2-2x+8$ by divisor $(3x-2)$.
Answer:
a. $\quad S=f(-3/2)$
$\quad =2.(-3/2)^3-3.(-3/2)^2$
$\quad +4.(-3/2)-7=-53/2$
b. $\quad S=f(2/3)$
$\quad =(2/3)^3+(2/3)^2-2.(2/3)+8$
$\quad =200/27$

Example 4:
Determine the value $t$ if $f(x)=2x^3-(t+1)x^2-19x+20$ and $f(x)=2x^3-13x^2+17x+t$ divided by $(2x-3)$ produce remainder of the same.
Answer: For function $f(x)=2x^3-(t+1)x^2-19x+20$ then:
$S=f(3/2)=(-9t-16)/4$.
For function $f(x)=2x^3-13x^2+17x+t$ then:
$S=f(3/2)=(4t+12)/4$.
So,
$ (-9t-16)/4=(4t+12)/4$ or
$-9t-16=4t+12$
$t=-28/13$.

c. Concept division remainder with the divisor degrees of two or more and have the divisor factors
Because of the divisor degrees of two or more diverse types, then for that direct author provides examples of about the division remainder of degrees of two or more that has the factors. Next, the following theory the division remainder this will be able to be understand of every examples.

Example 5:
Determine the division remainder if $f(x)=x^4-2x^3+3x^2+3$ divided by $x^2-x-2$.
Answer:
Because divisor is degrees-2, then his remainder degrees-1. If that remainder is $S=mx+n$. So,
$f(x)=(x^2-x-2).H(x)+mx+n$
See that divisor $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ then if divided by $(x-2)$, his remainder is:
$f(2)=2m+n=15$
And if divided by $(x+1)$ then:
$f(-1)=-m+n=9$
Then: $m=2$ and $n=11$.
So, $S=2x+11$.

Example 6:
Given polynomial $f(x)$. If $f(x)$ divided by $(x-1)$ then remainder is 5 and if divided by $(x+1)$ then remainder is $-3$. Determine the remainder if divided by $x^2-1$.
Answer:
If divisor is degrees-2 then remainder degrees is one. If remainder is $S=mx+n$ then:
$f(1)=m+n=5$ and $f(-1)=-m+n=-3$. Then, $m=4$ and $n=1$. So, $S=4x+1$.

Example 7:
Polynomial $f(x)$ if divided by $(x-1)$, $(x+1)$ and $(x-3)$ in a row the remainder is 12, 4, and 16. Determine the remainder if divided by $(x^2-1)(x-3)$.
Answer:
Because divisor is polynom of degrees-3 then the remainder is polynom of degrees-2. If the remainder is $S=kx^2+lx+m$, then:
$f(1)=k+l+m=12$
$f(-1)=k-l+m=4$ and
$f(3)=9k+3l+m=16$
If this is resolved then retrieved:
$k=-1/2,\quad l=4$ $\quad$ and $m=17/2$. So, $S=-x^2/2+4x+17/2$.

Example 8:
Given $f(x)=x^4+ax^3+6x+b$ divided up by $x^2+2x-3$. Determine velue $a$ and $b$.
Answer:
Because $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ then,
$f(1)=a+b+7=0$ or $a+b=-7$.
$f(-3)=-27a+b+63=0$ or $-27a+b=-63$.
So, $a=2$ and $b=-9$.

Example 9:
If $f(x)$ divided by $x^2-1$ then remainder is $2x+3$, if divided by $x^2-4$ then remainder is $x+5$. Determine the remainder if divided by $x^2+x-2$.
Answer:
Because $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ and take $S=mx+n$ then:
$f(-2)$ there is on divisor $x^2-4$ and $f(1)$ there is on divisor $ x^2-1$, then:
$f(-2)=-2m+n=3$ and $f(1)=m+n=5$.
So, $m=2/3$ and $n=13/3$, produce $S=2/3x+13/3$.

2. Concept the factor theorem
Note the following theorem:

$(x-k)$ is a factor of polynomial $f(x)$ if and only if $f(k)=0$.

Example 1:
Write down $f(x)=x^3-3x^2+4$ in form linear factors!
Answer:
See that $f(-1)=0$, then one of his factor is $(x+1)$. Next, by doing division of Horner, then:

Note: The number most left is the multiplier into the number of rows down.
Other factors is retrieved $x^2-4x+4=(x-2)^2$.
So, $f(x)=(x+1)(x-2)^2$.

Example 2:
One of the root equation $x^3-(3+2m)x^2+$
$(m^2+5m+3)x-2m(m+2)=0$ is 2. Calculate $m$ and the real constant roots of more!
Answer:
$f(2)=-m+1=0$ or $m=1$
Substitution $m=1$, then $f(x)=x^3-5x^2+9x-6=0$, and for looking for the other root then needed way the division of Horner as follows:
Then other factor: $x^2-3x+3$ (this factor form is quadratic). Because the value of the discriminant is smaller zero, then its constant factor is imaginary. So, the factors there are only 1 that is 2.

Looking for the properties of the root polynomial.
Pay attention to an explanation in the following image:



Example 3:
Known $x_1$, $x_2$ and $x_3$ is roots of the equation $2x^3-bx^2-18x+36=0$. Determine:
a. $\quad x_1+x_2+x_3$
b. $\quad x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3$
c. $\quad x_1.x_2.x_3$.
Answer:
Of the formula that is described in the picture above, then:
a. $\quad x_1+x_2+x_3=-(-b)/2=b/2$
b. $\quad x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3$
$\quad =-18/2=-9$
c. $\quad x_1.x_2.x_3=-36/2=-18$.

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI DAN INVERSNYA

September 22, 2020 Add Comment
Dibawah ini disajikan rangkuman turunan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut:

$D_x$sin $x=$ cos$x$
$D_x$cos$x=-$sin$x$
$D_x$tan$x=$sec$^2x$
$D_x$cot$x=-$csc$^2x$



Fungsi-Fungsi Komposit $\quad$ Aturan di atas dapat kita rangkaikan dengan aturan rantai untuk memperoleh turunan fungsi $u$ yang lebih rumit. Misalnya, jika $u=f(x)$ dapat didiferensialkan, maka: $D_x$sin$u=$ cos$u.D_xu$.
Berikut ini diberikan beberapa contoh:

Contoh 1:
Tentukan $D_x$sin$(3x^2+4)$
Penyelesaian:
Ambil $u=3x^2+4$, maka:
$D_x$sin$(3x^2+4)=D_x$sin$u$
$=$ cos$u.D_xu$
$=$ [cos$(3x^2+4)$]$.6x$
$=6x.$cos$(3x^2+4)$.

Contoh 2:
Tentukan $D_x$tan$^2(9x)$
Penyelesaian:
Kita harus menggunakan dua kali aturan rantai, sebagai berikut:
$D_x$tan$^2(9x)=2.$tan$(9x).D_x$tan$(9x)$
$=2.$tan$(9x).$sec$^2(9x).D_x9x$
$=2.$tan$(9x).$sec$^2(9x).9$
$=18.$tan$(9x).$sec$^2(9x)$

Contoh 3:
Apabila $y=($sin$^2x)/(1-$cot$x)$, maka tentukan $dy/dx$
Penyelesaian:
$\frac{dy}{dx}=\frac{(1-cotx).D_xsin^2x-sin^2x.D_x(1-cotx)}{(1-cotx)^2}$
$=\frac{(1-cotx).2sinx.cosx-sin^2x.csc^2x}{(1-cotx)^2}$
$=\frac{2.sinx.cosx-2cos^x-1}{(1-cotx)^2}$


Turunan Fungsi Invers Trigonometri
Diberikan rumus-rumus sebagai berikut:

$D_x$sin$^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad x=(-1,1)$
$D_x$cos$^{-1}x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\quad x=(-1,1)$
$D_x$tan$^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$
$D_x$sec$^{-1}x=\frac{1}{|x|.\sqrt{1-x^2}}\quad |x|>1$


Contoh 4:
Tentukan $D_x$sin$^{-1}(3x-1)$.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
$D_x$sin$^{-1}(3x-1)=\frac{D_x(3x-1)}{\sqrt{1-(3x-1)^2}}$
$=\frac{3}{\sqrt{-9x^2+6x}}$

Contoh 5:
Tentukan $D_x$tan$^{-1}\sqrt{x+1}$
Penyelesaian:
$D_x$tan$^{-1}\sqrt{x+1}=\frac{D_\sqrt{x+1}}{1+(\sqrt{x+1})^2}$
$=\frac{1}{x+2}.\frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}$
$=\frac{1}{2(x+2)\sqrt{x+1}}$

Tiap rumus pendiferensialan akan menghasilkan rumus integral, khususnya:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=$ sin$^{-1}x+C$
$\int \frac{dx}{1+x^2}=$ tan$^{-1}x+C$
$\int \frac{dx}{x.\sqrt{x^2-1}}=$ sec$^{-1}|x|+C$


Contoh 6:
Hitunglah $\int \limits_{0}^{1/2}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$
Penyelesaian:
$\int \limits_{0}^{1/2}{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}=$ sin$^{-1}x \Bigr |_{0}^{1/2}$
$=$ sin$^{-1}(1/2)-$sin$^{-1}0$
$=\pi/6-0=\pi/6$.

Contoh 7:
Seorang berdiri di atas sebuah bukit vertikal kira-kira 200 kaki di atas sebuah danau. Dia melihat sebuah perahu bermotor. Yang bergerak menjauhi bukit dengan laju 25 kaki per detik. Berapa laju perubahan sudut penglihatan $\theta$ (sudut depresi) apabila perahu berada pada jarak 150 kaki dari bukit itu?
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut:

Dari gambar di atas tampak bahwa sudut depresi $\theta$ memenuhi hubungan:
$\theta=$ tan$^{-1}(200/x)$
Maka:
$\frac{d \theta}{dt}=\frac{1}{1+(200/x)^2}.\frac{-200}{x^2}.\frac{dx}{dt}$
$=\frac{-200}{x^2+40000}. \frac{dx}{dt}$
Apabila kita substitusikan $x=150$ dan $dx/dt=25$, maka kita peroleh: $d \theta /dt=-0,08$ radian per detik.

Demikian penjelasan materi ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.

FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS

September 21, 2020 Add Comment
Enam fungsi dasar trigonometri (yaitu sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan) sudah kita pelajari, jika belum mengetahui tentang enam fungsi dasar trigonometri ini maka bisa dibaca di link ini: Trigonometri Dasar.
Mengenai fungsi inversnya, akan kita pelajari dibagian ini.

Fungsi Invers Sinus dan Cosinus $\quad$ Dalam kasus sinus dan cosinus, kita batasi daerah asalnya sedangkan daerah hasilnya kita ambil seluas mungkin asalkan fungsi itu memiliki invers. Kita definisikan fungsi-fungsi invers sinus dan cosinus sebagai berikut:

Definisi:
Untuk memperoleh invers dari sinus dan cosinus, kita batasi daerah asal fungsi sinus pada selang $x=[-\pi /2, \pi /2]$, dan fungsi cosinus pada selang $x=[0, \pi]$, sehingga:
$x=$ sin $^{-1} y \iff y=$ sin $x$
$x=$ cos $^{-1} y \iff y=$ cos $x$

Lambang sin$^{-1}$ dapat ditulis dengan arcsin dan cos$^{-1}$ dapat ditulis dengan arccos. Perlu diingat bahwa:

invers dari trigonometri itu menghasilkan nilai sudut baik dalam satuan derajat maupun satuan radian.


Contoh 1:
Hitunglah:
(a) sin$^{-1}(\sqrt{2}/2)$
(b) sin$^{-1}(-1/2)$
(c) cos$^{-1}(\sqrt{3}/2)$
(d) cos$^{-1}(-1/2)$
(e) cos(cos$^{-1}(0,6)$)
(f) sin$^{-1}$(sin $3\pi /2$).
Penyelesaian:
(a) sin$^{-1}(\sqrt{2}/2)=\pi /4$
(b) sin$^{-1}(-1/2)=-\pi /6$
(c) cos$^{-1}(\sqrt{3}/2)=\pi /6$
(d) cos$^{-1}(-1/2)=2\pi/3$
(e) cos(cos$^{-1}(0,6)$) = 0,6
(f) sin$^{-1}$(sin $3\pi /2$) $=-\pi/2$
Kita harus berhati-hati, khususnya pada soal (f). Salahlah kita kalau jawabannya $3\pi/2$ sebab arcsin$^{-1}y$ ada dalam selang $[-\pi/2,\pi/2]$. Untuk menyelesaikan soal (f) ini kita tulis
sin$^{-1}$(sin $3\pi/2$) = sin$^{-1}(-1)=-\pi/2$

Contoh 2:
Hitunglah:
(a) cos$^{-1}(-0,61)$
(b) sin$^{-1}(-0,87)$
(c) sin$^{-1}(1,21)$
(d) sin$^{-1}$(sin 4,13)
Penyelesaian:
Gunakan kalkulator dan gunakan pula satuan radian. Kalkulator sendiri telah disesuaikan sedemikian rupa sehingga jawabannya cocok dengan definisi yang telah kita berikan.
(a) cos$^{-1}(-0,61)$ = 2,2268569
(b) sin$^{-1}(-0,87)$ = $-$1,0552023
(c) Kalkulator memberikan suatu tanda sesuatu yang salah, sebab nilai sin$^{-1}(1,21)$ tidak ada.
(d) sin$^{-1}$(sin 4,13) = $-$0,9884073

Fungsi Invers tangen dan cotangen $\quad$ Kita juga membatasi nilai $x$ untuk invers tangen. Perhatikan definisi berikut:

Definisi:
Untuk memperoleh invers fungsi tangen, kita batasi daerah asalnya pada selang $x=(-\pi/2, \pi/2)$. Sedangkan untuk fungsi cotangen kita batasi daerah asalnya pada selang $x=(0, \pi)$. Sehingga:
$x=$ tan$^{-1}y \iff y=$ tan$x$
$x=$ cot$^{-1}y \iff y=$ cot$x$

Contoh 3:
Hitunglah:
(a) tan$^{-1}(1)$
(b) cot$^{-1}(\sqrt{3}$
(c) tan$^{-1}$(tan $\pi/4$)
(d) cot (cot$^{-1}(1/\sqrt{3})$
Penyelesaian:
(a) tan$^{-1}(1)=45$ derajat
(b) cot$^{-1}(\sqrt{3}=30$ derajat
(c) tan$^{-1}$(tan $\pi/4$) = tan$^{-1}(1)=\pi/4$ radian
(d) cot (cot$^{-1}(1/\sqrt{3})=$cot $(\pi/3)=1/\sqrt{3}$

Fungsi Invers secan dan cosecan $\quad$ Perhatikan definisi berikut:

Untuk memperoleh fungsi invers secan batasan $x=[0, \pi]$ dan $x \ne \pi/2$. Sedangkan untuk fungsi cosecan batasan $x=[\pi/2, 3\pi/2]$ dan $x \ne \pi$. Sehingga:
$x=$ sec$^{-1}y \iff y=$ sec$x$
$x=$ csc$^{-1}y \iff y=$ csc$x$

Karena sec$x=1/$(cos$x$) maka sec$^{-1}y=$ cos$^{-1}(1/y)$. Dengan cara yang sama maka diperoleh csc$^{-1}y=$ sin$^{-1}(1/y)$.

Contoh 4:
Hitunglah:
(a) sec$^{-1}(-1)$
(b) sec$^{-1}(2)$
(c) csc$^{-1}(2)$
Penyelesaian:
(a) sec$^{-1}(-1)=$ cos$^{-1}(-1)=\pi$
(b) sec$^{-1}(2)=$ cos$^{-1}(1/2)=\pi/2$
(c) csc$^{-1}(2)=$ sin$^{-1}(1/2)=\pi/6$

Empat Pemakaian Kesamaan $\quad$ Beberapa kesamaan yang berguna pada bagian ini adalah:

(1) sin (cos$^{-1}x$) $=\sqrt{1-x^2}$
(2) cos (sin$^{-1}x$) $=\sqrt{1-x^2}$
(3) sec (tan$^{-1}x$) $=\sqrt{1+x^2}$
(4) tan (sec$^{-1}x$) $=\sqrt{x^2-1}$

Kita dengan mudah dapat membuktikan empat kesamaan di atas. Sebagai contoh kesamaan pertama,
$cos (sin^{-1}x)=\sqrt{1-(sin (sin^{-1}x))^2}$
$=\sqrt{1-x^2}$

Contoh 5:
Hitunglah sin[2.cos$^{-1}(2/3)$]
Penyelesaian:
Ingat hubungan sudut ganda sin$2\alpha=2.$sin$\alpha$.cos$\alpha$. Dengan substitusi $\alpha=$ cos$^{-1}(2/3)$, maka diperoleh:
sin[2.cos$^{-1}(2/3)$]
$=2.$ sin[cos$^{-1}(2/3)$]. cos[cos$^{-1}(2/3)$]
$=2.(\sqrt{1-4/9}).(2/3)=4\sqrt{5}/9$

Contoh 6:
Buktikan bahwa
cos(2 tan$^{-1}x$) $=(1-x^2)/(1+x^2)$
Penyelesaian:
Kita gunakan hubungan sudut ganda cos$2\alpha=$ 2.cos$^2\alpha -1$. Dengan substitusi $\alpha=$ tan$^{-1}x$, maka:
cos(2 tan$^{-1}x$) $=$ cos $2\alpha$
$\quad=$ 2.cos$^2\alpha -1$
$\quad= 2/($sec$^2\alpha)$
$\quad= 2/(1+$ tan$^2\alpha)$
$\quad= [2/(1+x^2)]-1$
$\quad= (1-x^2)/(1+x^2)$

Demikianlah postingan kali ini, sampai jumpa dan semoga bermanfaat.

RINGKASAN MATERI BILANGAN KOMPLEKS

September 21, 2020 Add Comment
Bilangan kompleks adalah bilangan yang mencakup bilangan riil dan imajiner. Bilangan kompleks didefinisikan oleh:

$z=x+iy$
Dimana $x$ dan $y$ adalah bilangan riil, serta
$i=\sqrt{-1}$.

Perhatikan bahwa pada definisi itu jika $y=0$ maka $z$ adalah bilangan riil. Jika $x=0$ maka $z$ adalah bilangan imajiner murni. Dan jika $x$ dan $y$ tidak nol maka $z$ adalah bilangan kompleks, ada juga yang mengatakan bilangan imajiner.
Kemudian perhatikan pernyataan penting berikut:

Daerah $x$ disebut dengan daerah riil dan daerah $y$ disebut dengan daerah imajiner.

Pernyataan di atas dapat kita gambarkan kedalam koordinat kartesius seperti berikut ini:

Contoh 1:
Gambarkan bilangan $z=3+4i$ dalam bentuk vektor!
Penyelesaian:
Mudah untuk kita gambarkan, perhatikan gambar berikut untuk menjawab contoh 1 di atas.
Im singkatan untuk sumbu atau daerah imajiner dan Re singkatan untuk sumbu atau daerah riil.

Kita beralih ke bentuk umum. Jika panjang vektor itu adalah $r$, panjang daerah riil adalah $x$, dan panjang daerah imajiner adalah $y$, maka:
$x^2+y^2=r^2$ (ingat dalil pythagoras). Lebih lanjut dalam trigonometri jika $\alpha$ adalah sudut apit $x$ dan $r$ maka bilangan $z$ dapat ditulis dengan:
$z=r.cos \alpha+i.r.sin \alpha$ atau
$z=r.(cos \alpha+i.sin \alpha)$ atau bisa disingkat dengan:
$z=r.$cis $\alpha$
Dimana cis $\alpha = cos \alpha+i.sin \alpha $
Dengan $\alpha=arctg(y/x)$
Bentuk $z=r.$ cis $\alpha$ disebut sebagai bentuk polar bilangan kompleks.

Contoh 2:
Ubahlah bentuk $z=3+4i$ ke dalam bentuk polar!
Penyelesaian:
$r=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\alpha = arc tg (4/3) \approx 0,927$, maka:
$z=$ 5. cis 0,9272

Berikut ini diberikan sifat-sifat bilangan kompleks:

Sifat-sifat bilangan kompleks:
1. Memiliki sifat komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian
2. Memiliki sifat asosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian
3. Memenuhi sifat distributif
4. Panjang $z$ ditulis dengan $|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$
5. Jika $z=x+iy$, maka konjugatnya adalah $\overline{z}=x-iy$
6. Nilai $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
7. Nilai $\overline{z_1.z_2}=\overline{z_1}.\overline{z_2}$




Contoh 3:
Dengan menggunakan sifat di atas, diberikan bahwa:
$z_1=2-i$
$z_2=-3+4i$, dan
$z_3=-1-5i$.
Tentukan:
a. $z_1.(z_2+z_3)$
b. $|z_1+z_3-2.z_2|$
c. $\overline{z_2.z_3-3.z_1}$
Penyelesaian:
a. Dengan menggunakan sifat distributif maka kita peroleh bahwa:
$ z_1.(z_2+z_3)=z_1.z_2+z_1.z_3$
$z_1.z_2=-6+8i+3i+4=-2+11i$
$z_1.z_3=-2-10i+i-5=-7-9i$
Jadi, $ z_1.(z_2+z_3)=-9+2i$
b. $-2z_2=-2.(-3+4i)=6-8i$
$ z_1+z_3-2.z_2=1-6i+6-8i=7-14i$.
Jadi,
$|z_1+z_3-2.z_2|=\sqrt{49+196}=7\sqrt{5}$.
c. $\overline{z_2.z_3-3.z_1}= \overline{z_2}.\overline{z_3}-3.\overline{z_1}$
$=(-3-4i).(-1+5i)-3.(2+i)$
$=23-11i-6-3i=17-14i$
Jadi, $\overline{z_2.z_3-3.z_1}=17-14i$.

Pembagian Bilangan Kompleks $\quad$ Cara membagikan dua bilangan kompleks yaitu dengan mengalikan konjugat penyebutnya.
Contoh 4:
Tentukan $(2+i)/(-6+5i)$
Penyelesaian:
Dengan mengalikan dengan konjugat penyebutnya, maka menjadi:
$(2+i)(-6-5i)/[(-6+5i)(-6-5i)]$
$=(-7-16i)/61$

Kemudian berikut ini diberikan rumus perpangkatan bentuk polar yang diberikan sebagai berikut:

Untuk setiap bilangan riil $m$ maka berlaku: $\quad$ cis$^n \alpha=$ cis $n.\alpha$


Contoh 5:
Nilai dari $(-2+3i)^{2020}$ adalah ....
Penyelesaian:
Karena $-2+3i \approx -\sqrt{13}.$ cis $-0,9827$, maka
$(-2+3i)^{2020}=13^{1010}.$ cis $-1985,054$
$=13^{1010}.(0,9078+0,4191i)$

Kemudian diberikan rumus hubungan eksponen dengan bentuk polar bilangan kompleks sebagai berikut:

$e^{i.\alpha}=$ cis $\alpha$
Dimana $\alpha$ bersatuan radian.

Contoh 6:
Tentukan nilai $e^{\pi .i}$
Penyelesaian:
Dari rumus di atas diperoleh:
$e^{\pi .i}=$ cis $\pi=-1$.

Demikian ringkasan materi tentang Ringkasan Materi Bilangan Kompleks. Sampai jumpa dan semoga bermanfaat.

INDUKSI MATEMATIKA

September 20, 2020 Add Comment
Sering kali dalam proses matematis kita perlu menetapkan bahwa suatu proposisi tertentu $P_n$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat $n \ge 1$ (atau mungkin setiap bilangan bulat $n \ge N$). Di sini diberikan tiga buah contoh:
$1. \quad P_n: 1^2+2^2+3^2+...+n^2$
$\quad =n(n+1)(2n+1)/6$
$2. \quad Q_n: 2^n>n+20$.
$3. \quad R_n: n^2-n+41$ adalah bilangan prima.
Proporsi $P_n$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif, dan $Q_n$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan 5 (seperti akan ditunjukkan kemudian). Tetapi proposisi ketiga, $R_n$ adalah menarik. Perhatikan bahwa untuk $n=1, 2, 3, ...$, nilai-nilai $n^2-n+41$ adalah 41, 43, 47, 53, 61, ... (merupakan bilangan-bilangan prima). Kenyataannya kita akan mendapatkan suatu bilangan prima untuk semua $n$ sampai 40, tetapi pada $n=41$ rumus tersebut menghasilkan bilangan komposit 1681 = (41)(41). Dengan menunjukkan bahwa suatu proposisi adalah benar untuk 40, masing-masing kasus mungkin akan menghasilkan suatu proposisi, tetapi tentu saja tidak dapat dibuktikan bahwa hal ini benar untuk semua $n$. Perbedaan antara kasus dengan sembarang bilangan terhingga dan semua kasus sangat besar.
Apa yang harus dilakukan? Adakah prosedur untuk menetapkan bahwa suatu proposisi $P_n$ adalah benar untuk semua $n$? Jawaban yang dapat membenarkan ini diberikan oleh Prinsip Induksi Matematis.

(Prinsip Induksi Matematis). Misalkan {$P_n$} adalah suatu deret proposisi yang memenuhi kedua persyaratan di bawah ini:
(i) $P_n$ adalah benar untuk nilai awal.
(ii) $P_{k+1}$ benar jika dan hanya jika $P_k$ benar, dimana $k \subseteq n$

Kita tidak perlu membuktikan prinsip ini, biasanya prinsip ini diambil sebagai suatu aksioma yang wajar.

Contoh 1:
Buktikan bahwa
$P_n: 1^2+2^2+3^2+...+n^2$
$=n(n+1)(2n+1)/6$
adalah benar untuk semua $n \ge 1$.
Penyelesaian:
- Pertama kita cari untuk nilai awal yakni, untuk $n=1$
$P_1=1^2=1(1+1)(2+1)/6=1$ adalah benar.
- Kedua asumsikan benar bahwa untuk $n=k$ maka $P_k=1^2+2^2+3^2+...+k^2$
$=k(k+1)(2k+1)/6$ adalah benar, dengan $k \in N$.
- Ketiga kita untuk $n=k+1$, kita cari $P_{k+1}$ dengan menggunakan dasar asumsi pada langkah kedua,
$P_{k+1}=1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2$
$=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2$
$=(k+1)(2k^2+k+6k+6)/6$
$=(k+1)(2k^2+7k+6)/6$
$=(k+1)(k+2)(2k+3)/6$
Perhatikan bahwa jika kita substitusikan $n=k+1$ ke dalam $P_n$ ruas kanan maka akan sita peroleh hal yang sama dengan hasil akhir di atas.

Contoh 2:
Buktikan bahwa $P_n: 2^n>n+20$ adalah benar untuk setiap bilangan bulat $n \ge 5$.
Penyelesaian:
Pertama-tama perhatikan bahwa $P_5: 2^5>5+20$ adalah benar. Kedua, asumsikan bahwa $P_k: 2^k>k+20$ adalah benar untuk $k \in n$. Ketiga Cari $P_{k+1}$ berdasarkan asumsi,
$2^{k+1}=2.(2^k)>2.(k+20)$
$2^{k+1}>2k+40$ ...(i)
Substitusikan langsung $n=k+1$ ke $P_n$ yakni,
$P_{k+1}: 2^{k+1}>(k+1)+20$
$P_{k+1}: 2^{k+1}>k+21 ...(ii)$
Jadi persamaan $(ii)$ adalah benar berdasarkan persamaan $(i)$, sebab $2k+40>k+21$

Contoh 3:
Buktikan bahwa $P_n: \quad (x-y)$ adalah faktor dari $x^n-y^n$, untuk setiap bilangan asli $n$.
Penyelesaian:
- Pertama untuk $n=1$ benar bahwa $(x-y)$ adalah faktor dari $(x-y)$.
- Kedua asumsikan benar untuk $n=k$ maka $(x-y)$ adalah faktor dari $x^k-y^k$, sehingga $x^k-y^k=Q(x,y).(x-y)$.
- Ketiga untuk $n=k+1$ maka:
$x^{k+1}-y^{k+1}=x^{k+1}-x^ky+x^ky-y^{k+1}$
$=x^k(x-y)+y(x^k-y^k)$
$=x^k(x-y)+y.Q(x,y).(x-y)$
$=[x^k+y.Q(x,y)].(x-y)$
Jadi, terbukti bahwa untuk $n=k+1$ maka $(x-y)$ adalah faktor dari $x^{k+1}-y^{k+1}$.

PERTUMBUHAN DAN PELULUHAN EKSPONEN

September 19, 2020 Add Comment
Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar. Menjelang tahun 2000, penduduk dunia mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya?.

Untuk menyelesaikan persoalan ini secara matematis, kita andaikan $y=f(t)$ adalah banyaknya penduduk bumi pada saat $t$, dengan $t$ banyaknya tahun setelah tahun 1975. Jelaslah bahwa $f(t)$ bilangan bulat dan grafiknya "meloncat" apabila ada seseorang lahir atau meninggal dunia. Akan tetapi loncatan ini kecil dibandingkan dengan banyaknya penduduk yang besar, oleh karena itu kita dapat menganggap $f$ sebagai suatu fungsi yang dapat didiferensialkan.
Kita dapat pula mengandaikan bahwa penambahan $\Delta y$ populasi (angka kelahiran dikurangi angka kematian) dalam jangka waktu $\Delta t$ sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi $\Delta y = ky \Delta t$ atau $\Delta y/\Delta t=ky$. Kondisi $y=y_0$ pada $t=0$ akan menghasilkan $C=$ ln $y_0$. Jadi,

$dy/dt=ky \quad ....(1)$

Apabila $k>0$ maka populasi meningkat, sedangkan apabila maka populasi berkurang. Untuk penduduk dunia, dan menurut pengamatan, $k \approx 0,0198$ ($t$ dihitung dengan tahun), meskipun para pakar statistik menunjukkan jumlah yang lebih rendah.
Pada persamaan (1), dengan memisahkan variabel-variabel dan mengintegralkannya maka kita peroleh:



ln $y=kt+C$

Syarat pada saat $t=0$ dan $y=y_0$ akan menghasilkan $C=$ ln $y_0$. Sehingga

ln $y-$ ln $y_0=kt$
atau:

Dalam bentuk eksponen ini menjadi:

$y=y_0.e^{kt}$



Kembali kemasalah populasi dunia. Dalam rumus terakhir itu, $t$ adalah banyaknya tahun setelah 1 Januari 1975 dan $y$ dinyatakan dengan satuan milyar. Jadi $y_0=4$, oleh karena $k=0,0198$, maka:
$y=4.e^{0,0198}$. Ditahun 2000 nilai $t=25$, kita dapat meramalkan bahwa $y$ akan bernilai
$y=4.e^{(0,0198)(25)} \approx 6,6$ milyar, perhitungan kita menggunakan kalkulator.

Contoh 1:
Dari masalah populasi dunia di atas, setelah berapa lamakah penduduk dunia akan menjadi dua kali lipat?
Penyelesaian:
Pertanyaan tersebut eqivalen dengan pertanyaan: setelah berapa tahunkah lewat 1975 penduduk dunia mencapai 8 milyar?. Jadi bila dirumuskan, kita harus menentukan $t$ dari persamaan
$8=4.e^{0,0198.t}$
Setelah kedua ruas dibagi dengan 4, kita menarik logaritma
ln 2 = 0,0198.$t$ maka $t=35$ tahun. Jadi populasi dunia akan dua kali lipat dalam 35 tahun pertama setelah tahun 1975.

Contoh 2:
Banyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hari ada 10.000. Setelah 2 jam, banyaknya bakteri ini menjadi 40.000. Berapa banyak bakteri pada pukul 17.00?
Penyelesaian:
Diketahui $y_0=10000$, $y=40000$, dan $t=2$. Sehingga
$40000=10000.e^{k(2)} \quad$ atau $4=e^{2k}$. Jadi $k=$ (ln 4)$/$2 atau $k \approx 0,693$. Jadi,
$y=10000.e^{0,693.t}$ dan untuk $t=5$ kita peroleh $y=10000.e^{(0,693).(5)}=320000$

Model eksponensial untuk pertumbuhan populasi adalah tidak sempurna karena proyek tersebut cepat dan semaki cepat bertumbuh jauh melampaui bayangan semula (Gambar 1 di bawah). Dihampir semua kasus (termasuk kasus populasi dunia), jumlah yang terbatas akan ruang dan sumber daya akhirnya akan memaksa laju pertumbuhan yang lebih lambat. Ini mendorong kita pada model pertumbuhan penduduk yang lain yang disebut model logistik, dimana kita mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan tersebut proporsional baik terhadap besarnya populasi $y$ maupun terhadap selisih $L-y$, dimana $L$ adalah populasi maksimum yang dapat ditunjang. Model ini membentuk persamaan diferensial

Perhatikan bahwa untuk nilai $y$ yang kecil, $dy/dt \approx kLy$ yang memberikan pertumbuhan tipe eksponensial. Tetapi bila $y$ mendekati $L$, maka $dy/dt$ akan semakin kecil mengurangi laju pertumbuhan dan menghasilkan kurva pertumbuhan (Gambar 2). Perhatikan gambar berikut:


Peluluhan Radio Aktif $\quad$ Tidak semua benda akan tumbuh. Khususnya zat-zat radio aktif mengalami peluluhan. Proses ini berjalan dengan laju yang sebanding dengan banyaknya zat yang ada pada suatu saat. Sehingga zat-zat yang meluluh itu juga memenuhi persamaan diferensial,
$dy/dt=ky$
tetapi sekarang nilai $k$ negatif. Walaupun demikian jawabannya tetap $y=y_0.e^{kt}$ (Gambar 3 di atas).
Contoh 3:
Karbon 14, salah satu dari tiga isotop karbon adalah zat radio aktif. Zat ini meluluh dengan laju yang sebanding dengan banyaknya zat itu pada suatu saat. Setengah umurnya adalah 5730 tahun, artinya zat tersebut memerlukan waktu 5730 tahun untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awal ada 10 gram, berapakah sisanya setelah 2000 tahun?
Penyelesaian:
Setengah umur 5730, memungkinkan kita untuk menentukan nilai $k$. Sebab,
$1/2=1.e^{k.(5730)}$
$k=-$(ln 2)/5730 atau
$k=-0,000121$.
Jadi, $y=10.e^{-0,000121.(2000)} \approx 7,80$ gram.

KALKULUS FUNGSI EKSPONEN UMUM DAN FUNGSI LOGARITMA UMUM

September 19, 2020 Add Comment
Kalkulus Eksponen Umum
Definisi fungsi eksponen umum yang terkait dengan bilangan $e$ dan logaritma asli (ln), sebagai berikut:

Definisi:
Untuk $a>0$ dan $x$ bilangan riil sebarang, maka $a^x=e^{x.ln(a)}$

Definisi tersebut tentunya akan berguna apabila sifat-sifat tentang pangkat tetap berlaku; hal ini memang akan kita buktikan di bawah ini. Untuk meyakinkan definisi tersebut, kita gunakan dia untuk menghitung $3^2$ (dengan bantuan kalkulator).
$3^2=e^{2.ln(3)} \approx e^{2.(1,0986123)} \approx 9,0000002$
Perbedaan yang kecil ini diakibatkan pembulatan oleh kalkulator itu.

Berikut ini sifat-sifat eksponen umum:

Apabila $a>0$, $b>0$, $x$ dan $y$ bilangan riil, maka:
(i) $\quad a^x.a^y=a^{x+y}$
(ii) $\quad a^x/a^y=a^{x-y}$
(iii) $\quad (a^x)^y=a^{xy}$
(iV) $\quad (ab)^x=a^x.b^x$
(v) $\quad (a/b)^x=a^x/b^x$


Berikut ini rumus turunan dan integral fungsi eksponen umum:

$D_x a^x=a^x$ ln $a$
$\int a^x dx = a^x/$(ln $a$) $+C$

Rumus integral tersebut adalah akibat langsung dari pendiferensialan $D_x a^x$

Contoh 1:
Tentukan $D_x 3^{\sqrt{x}}$
Penyelesaian:
Gunakan aturan rantai dengan memisalkan $u=\sqrt{x}$.
$D_x 3^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}}.$ln 3 $.D_x \sqrt{x}$
$=(3^\sqrt{x}$ ln 3$)/(2\sqrt{x})$

Contoh 2:
Tentukan $dy/dx$ jika $y=(x^4+2)^5+5^{x^4+2}$
Penyelesaian:
Soal ini dapat diselesaikan dengandiferensial implisit,
$dy/dx=5(x^4+2)^4.4x^3+5^{x^4+2}.$ln 5 $.4x^3$

Contoh 3:
Tentukan $\int 2^{x^3}.x^2 dx$
Penyelesaian:
Ambil $u=x^3$ maka $du=3x^2dx$ atau $x^2 dx=(1/3)du$. Sehingga
$\int 2^{x^3}.x^2 dx=(1/3).\int 2^u du$
$=(1/3).2^u/($ln 2$)+C=2^{x^3}/($3.ln 2$)+C$.

Kalkulus Logaritma Umum
Logaritma umum dinotasikan sebagai $^a log$ atau $log_a$ dimana $a$ adalah basis logaritmanya.

Definisi:
Andaikan $a$ bilangan positif dan $a \ne 1$. Maka
$y=log_a x \iff x=a^y$

Semula orang menggunakan bilangan 10 sebagai bilangan pokok, logaritma itu dinamakan logaritma biasa. Tetapi dalam kalkulus orang menggunakan bilangan $e$ sebagai bilangan pokok logaritma. Perhatikan bahwa:

$log_e(x) =ln(x)$

Perhatikan bahwa apabila $y=log_a x$ maka $x=a^y$ sehingga

$ln(x)=y.ln(a)$
$y=ln(x)/ln(a)$
$log_a x=ln(x)/ln(a)$

Dari hubungan tersebut dapat kita tarik kesimpulan bahwa fungsi $log_a$ memiliki sifat-sifat yang lazimnya berlaku untuk logaritma. Begitu pula berlaku rumus turunan berikut:

$D_x log_a x= 1/ [x.ln(a)]$

Contoh 1:
Apabila $y=log_{10}(x^4+13)$, tentukanlah $dy/dx$
Penyelesaian:
Ambil $u=x^4+13$ dan gunakan aturan rantai.



Contoh 2:
Tentukan $D_x(x^x)$
Penyelesaian:
$y=x^x$
ln $y=x.$ln $x$
Cari $y'$ dengan teknik turunan implisit
$\frac{1}{y}.y'=x.\frac{1}{x}+$ ln $x$
$y'=y.(1+$ln $x)=x^x.(1+$ ln $x)$.
Jadi, $D_x(x^x)=x^x.(1+$ ln $x)$.

ELLIPTICAL PROPERTIES

September 18, 2020 Add Comment
In this post, we will discuss the properties of elliptical shapes. Previously what is an ellipse, well to understand it, consider the following image:
From the picture above, the properties of elliptical given as follows:
1. Elliptical has major axis (long axis) and minor axis (short fuse). Pay attention to the image above which is a major axis is $AA'$ and minor axis is a $BB'$.
2. Elliptical $\quad$ cut the x-axis at the point $(a, 0)$ and $(-a, 0)$ as well as cut y-axis at the point $(0, b)$ and $(0,-b)$. So that the long axis = $2a$ and the length of minor axis major = $2b$.
3. The axis of the elliptical symmetry is the axis of the major and minor axis intersect in the central point of ellipse.
4. The major axis and the minor axis intersect the ellipse at the vertex of the ellipse. In the image above which is the top of the elliptical is the point $A (a, 0)$, $A'(-a, 0)$, $B(0, b)$, and $B'(0,-b)$.
5. The ellipse has two focuses located on the major axis. For an ellipse horizontal position whose center is (0, 0) then the focus is $F_1(-c, 0)$ and $F_2(c, 0)$, while the ellipse whose center is $(p, q)$ then the focus is $F_1(p-c, q)$ and $F_2(p+c, q)$. And for an ellipse with a vertical position,
$F_1(0, -c)$ and $F_2(0, c)$ {the ellipse is centered at $O(0, 0)$}, and
$F_1(p, q-c)$, $F_2(p, q+c)$ {ellipse centered at $(p, q)$.}
6. Comparison of the distance from a point on elliptical to the focal point with direktriks lines called eccentricity, abbreviated $e$. The magnitude of the eccentricity $(e)$ is an:
with 0 < $e$ < 1.
Because then .

Example 1:
You know the ellipse with the equation $x^2+4y^2=16$. Tentukan:
a. Major axis
b. Minor axis
c. Focal point coordinates
d. Eccentricity
Answer:
$x^2+4y^2=16$
$\iff$ $x^2/16+y^2/4$ diperoleh $a^2=16$ atau $a=4$ dan $b^2=4$ atau $b=2$ and
$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$.
a. Major axis = $2a=2(4)=8$.
b. Minor axis = $2b=2(2)=4$.
c. Focal point coordinates is $F_1(-2\sqrt{3}, 0)$ dan $F_2(2\sqrt{3}, 0)$.
d. Eccentricity $e=c/a=(2\sqrt{3})/4=\sqrt{3}/2$.

Example 2:
Find the equation for an ellipse centered at $O(0, 0)$, where one of the foci is on point $(0, \sqrt{5})$ and the axis is 6 units long!
Answer:
in the above problem it is clear that the ellipse formed is an ellipse with a vertical position. From property 5, it is obtained $c=\sqrt{5}$,
The long axis = $2a = 6$ then $a = 3$, and $b = \sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{9-5}=2$.
since the ellipse is vertical, the equation is:

So, the ellipse equation we are looking for is:

Question 1:
Determine the major axis, minor axis, focal point coordinates, and eccentricity of the following ellipse equations:
a.
b.
c.
Question 2:
Find the equation of an ellipse centered at (0, 0), one of its foci on $(\sqrt{3}, 0)$ with a major axis of 4 units!

Thus a brief explanation of the properties of an ellipse, good-bye and hopefully useful.

SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA SD

September 17, 2020 Add Comment
Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SD


Pada pertemuan kali ini akan dibahas mengenai olimpiade matematika SD. Berikut ini beberapa soal dan pembahasan olimpiade matematika tingkat SD.

1. Diketahui bahwa perbandingan banyak kelereng Andi dan Budi adalah 2 : 3. Sedangkan perbandingan banyak kelereng Budi dan Candra adalah 4 : 5. Banyak kelereng mereka bertiga (Andi, Budi, dan Candra) adalah 70 buah. Tentukan banyak kelereng Andi!
Jawab:
misalkan banyak kelereng Andi, Budi, dan Candra adalah $a$, $b$, dan $c$. Maka dari soal yang diketahui dapat kita tulis sebagai:
$a:b=2:3$ dan $b:c=4:5$ kemudian pada kedua persamaan itu kita bisa menulisnya dengan sejajar (sejajarkan unsur yang sama yakni $b$),
$a:b=2:3$
$c:b=5:4$
Lihat pengali unsur $b$ yakni 3 dan 4, kalikan silang (persamaan pertama kali dengan 4 dan persamaan kedua kali dengan 3, maka diperoleh:
$a:b=8:12$ dan $c:b=15:12$. Jadi kita peroleh nilai pembanding yang sudah sesuai yakni $a=8$, $b=12$, dan $c=15$. Karena yang diketahui jumlah ketiga kelereng mereka adalah 70 buah, maka kita jumlahkan ketiga nilai pembanding yakni $a+b+c=8+12+15=35$. Jadi banyak kelereng Andi adalah:


2. Sebuah drum berisi air sebanyak 1/5 bagiannya. Kemudian drum itu diisikan air sebanyak 5 liter, sehingga air di drum itu menjadi 3/10 bagian. Tentukan kapasitas drum itu!
Jawab:
Misalkan kapasitas drum itu adalah $d$, maka kalimat matematika dari soal itu adalah:

dengan menggunakan aljabar diperoleh:

atau $d=50$.

3. Nilai $n$ dari persamaan $-4(n+8)+5=2n$ adalah ...
Jawab:
Dengan menggunakan sifat operasi hitung dan aljabar diperoleh:
$-4n-32=2n$
$-4n-2n=32$
$-6n=32$
$n=-16/3$

4. Andi membeli laptop dengan harga Rp3.500.000,-. Kemudian ia ingin menjualnya kembali dengan menginginkan keuntungan 20%. Dengan harga berapa Andi harus menjualnya?
Jawab:
Harga pembelian = Rp3.500.000,-
Untung = 20% .(3.500.000,-)=700.000,-
Harga Penjualan = 3.500.000 + 700.000 = 4.200.000
Jadi Andi harus menjual laptopnya dengan harga Rp4.200.000,-

5. Bu Rina membeli 3 lusin botol sirup yang harga per botolnya Rp7.500,- dengan diskon 15%. Harga yang harus dibayar Bu Rina adalah ....
Jawab:
1 lusin = 12 buah, maka 3 lusin = 3.(12) = 36 buah. Harga kotor = 36.(7.500) = 270.000. Harga bersih atau yang harus dibayar Bu Rina adalah:


6. Rani memiliki 82 permen, sedangkan Putri sahabatnya Rani memiliki 32 permen. Berapa banyak permen yang harus Rani berikan kepada putri agar permen yang dimiliki Rani itu 2 kali lebih banyak daripada permen yang dimiliki Putri?
jawab:
Misalkan $x$ adalah banyak permen yang diberikan Rani kepada Putri. Jika Rani memberikan $x$ permen kepada Putri, maka sisa permen Rani adalah $82-x$. Adapun banyak permen Putri menjadi $32+x$. Oleh karena banyak permen Rani menjadi 2 kali banyak permen Putri, maka kalimat matematisnya menjadi:
$2(32+x)=82-x$
$64+2x=82-x$
$2x+x=82-64$
$3x=18$
$x=6$.
Jadi Rani harus memberikan 6 permennya kepada Putri.

7. Seorang pengendara mobil menempuh jarak 120 km dalam waktu 3 jam. Berapakah waktu yang diperlukan oleh pengendara itu untuk menempuh jarak 200 km?
jawab:
ini adalah perbandingan senilai karena pada soal di atas jika jarak tempuh semakin jauh maka waktu yang diperlukan juga akan semakin lama.
Bentuk matematisnya adalah:

Perhatikan bahwa 120 km posisinya sejajar dengan 3 jam, dan 200 km posisinya sejajar dengan $t$ waktu yang ditanya. Dapat kita sederhanakan kalimat matematis di atas menjadi:

Kita kali silang menjadi:
$3t=15$ $\quad$ maka $t=5$
Jadi, 200 km ditempuh dalam waktu 5 jam.

8. Pak Budi mengendarai sepeda motor selama 3 jam dari kota A ke kota B dengan kecepatan rata-rata 40 km/jam. Berapa kecepatan jika ia menghendaki agar dari kota A ke B dapat ditempuh dalam 2 jam?
Jawab:
Perbandingan kecepatan dan waktu tempuh adalah perbandingan berbalik nilai, sebab semakin kencang (nilai yang besar) suatu kendaraan melaju maka semakin cepat (nilai yang kecil) sampai ke tujuan. Bentuk mathematisnya seperti berikut:

Perhatikan bahwa $p$ (kecepatan yang ingin dicari) dan 2 (waktu yang dikehendaki) posisinya saling berbalik (atas dan bawah). Begitu juga 40 dan 3 menjadi berbalik (atas dan bawah). Sehingga diperoleh: $p=60$ km/jam.

9. Suatu mobil memerlukan 36 liter bensin untuk menempuh jarak 324 km. Tentukan jarak maksimal yang dapat ditempuh mobil itu jika dalam tangkinya tersedia 53 liter bensin!
Jawab:
Ini adalah perbandingan senilai, mengapa? (coba tebak alasannya). Kalimat matematisnya menjadi:


Jadi, jarak maksimal yang dapat ditempuh mobil itu jika dalam tangkinya tersedia 53 liter bensin adalah 477 km.

10. Andi menulis angka 1 sampai dengan 100. Berapa banyak angka 9 dari angka-angka 1 sampai 100?
Jawab:
dari 1 sampai 10 hanya 1 angka 9
dari 11 sampai 20 hanya 1 angka 9
... sebanyak 8 kali (1, 11, 21, 31, ..., 71)
dari 81 sampai 90 ada 2 angka 9
dari 91 sampai 100 ada 10 angka 9 (91 s.d 98 ada 8; 99 ada 2).
Jadi, totalnya ada 8 + 12 = 20. Jadi ada sebanyak 20 angka 9.

11. Diketahui bilangan pertama yang jika dibagi 4 akan bersisa 3, dan bilangan kedua jika dibagi 4 akan bersisa 2. Jika bilangan pertama dan kedua dijumlahkan maka akan bersisa ...
Jawab:
Kita ambil contoh bilangan pertama 7 dan bilangan kedua 6 maka kita jumlahkan menjadi 13 kemudian dibagi 4 sehingga bersisa 1.

12. Bilangan (7602400 x 4300151 x 43) jika dibagi 3 maka akan bersisa ...
Jawab:
Jika kita mencari hasil kalinya maka akan menghabiskan banyak waktu. Kita gunakan cara singkat, caranya kita jumlahkan digit angkanya sampai ke satuan (khusus pembagi 3 dan 9):
7602400 $\iff (7+6+2+4=19 \iff 10 \iff 1)$ (0 jika dijumlahkan tidak berarti),
4300151 $\iff (4+3+1+5+1=14 \iff 5)$
43 $\iff 7$
diperoleh: 1 x 5 x 7 = 1 x 2 x 1 = 2, (5 dibagi 3 sisa 2; 7 dibagi 3 sisa 1. Angka yang lebih besar dari pembagi harus langsung dicari sisa baginya). Jadi Bilangan (7602400 x 4300151 x 43) jika dibagi 3 maka akan bersisa 2.

13. Di sebuah kelas berjumlah 25 siswa. Siswa yang gemar matematika ada 8 orang, siswa yang gemar bahasa inggris ada 12 orang. Sedangkan siswa yang tidak gemar keduanya ada 9 orang. Berapa orang siswa yang gemar matematika dan bahasa inggris?
Jawab:
Ini tentang 2 himpunan yang beririsan. Ingat diagram venn, yang tidak suka keduanya ada 9 artinya ada 16 (dalam 2 himpunan yang beririsan). Maka banyak anggota dalam irisan = 12 + 8 $-$ 16 = 4. Jadi ada 4 siswa yang suka matematika dan bahasa inggris.

14. Sebuah segitiga sama kaki ABC. Diketahui AB = AC dan sudut A = 20 derajat, maka sudut B = ...
Jawab:
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Karena segitinga sama kaki dan AB = AC maka sudut B = C. Jadi sudut A + B + C = A + B + B = A + 2B = 20 + 2B = 180.
2B = 180 - 20 = 160
B = 80 derajat.

15. Jumlah seluruh sudut dalam bangun datar segi-lima adalah ... derajat
Jawab:
Jika bangun datar segi-lima dipotong menjadi 3 bagian (pemotongan melalui titik sudut) maka 3 bagian itu adalah bangun segitiga. Jadi jumlah seluruh sudut dalam segi-lima adalah 3 x 180 = 540 derajat

16. Sebuah agen jual beli sepeda motor mendapat keuntungan 15% dari penjualan sepeda motor A dan 20% dari sepeda motor B. Dari penjualan kedua sepeda motor itu, ia memperoleh keuntungan sebesar Rp1.825.000,-. Jika harga beli kedua sepeda motor itu Rp11.000.000,- maka berapakah harga beli setiap sepeda motor itu?
Jawab:
Misalkan harga beli sepeda motor A adalah $x$ dan motor B adalah $y$, Maka kalimat matematikanya dapat dibuat sebagai berikut:
$x+y=11.000.000$
15% $x+$ 20% $y=1.825.000$
Pada persamaan pertama kita kali dengan 20% maka diperoleh:
20% $x+$ 20% $y=2.200.000$
15% $x+$ 20% $y=1.825.000$
Kemudian kita kurangkan maka diperoleh:
5% $x=375.000$ atau $x=7.500.000$
Kemudian nilai $x$ kita substitusikan ke persamaan $x+y=11.000.000$, maka diperoleh:
$y=11.000.000-7.500.000$
$y=3.500.000$
Jadi, harga beli motor A adalah Rp7.500.000 dan
harga beli motor B adalah Rp3.500.000.

17. Diagonal persegi panjang $ABCD$ adalah $(x+9)$ cm. Jika panjang dan lebar persegi panjang itu berturut-turut adalah $(x+7)$ cm dan $x$ cm, maka nilai $x$ adalah ...
Jawab:
Berdasarkan dalil pythagoras maka:
$AC^2=AB^2+BC^2$
$(x+9)^2=(x+7)^2+x^2$
$x^2+18x+81=x^2+14x+49+x^2$
$x^2-4x-32=0$
$(x+4)(x-8)=0$
$x=-4$ (tidak dipakai karena negatif) dan $x=8$. Jadi nilai $x=8$.

18. Diketahui barisan bilangan dengan selisih 2 sebagai berikut:

3, 5, 7, 9, ...., 71.

Berapakah hasil penjumlahan seluruh bilangan itu?
Jawab:
Misalkan banyak bilangan-bilangan itu $n$, maka:
Pertama kita cari banyak bilangan-bilangan itu dengan rumus:
$n=[(71-3)/2]+1$ dimana 2 adalah selisih antar bilangan dan $+1$ konstanta wajib.
Maka diperoleh $n=35$. Misalkan hasil jumlah seluruh bilangan itu $x$ maka:
$x=n.(3+71)/2$
dimana 2 adalah pembagi tetap, 3 adalah bilangan pertama, dan 71 adalah bilangan terakhir.
$x=35(74)/2=1295$. Jadi, jumlah seluruh bilangan itu adalah 1295.

19. Diberikan sebuah lingkaran $O$. Diketahui ada dua tali busur (bukan diameter). Kedua tali busur itu adalah $PQ$ dan $RS$. Tali busur itu berpotongan di titik $T$. Jika $\angle POR = 50$ derajat dan $\angle QOS = 45$ derajat, maka $\angle PTR = ....$ derajat.
Jawab:
Kita gunakan rumus sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran, sebagai berikut:
$\angle PTR =(\angle POR + \angle QOS)/2$
$\angle PTR =(50 + 45)/2$
$\angle PTR =47,5$ derajat.

20. Dua lingkaran yang saling lepas masing-masing berjari-jari 13 cm dan 4 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 12 cm, maka jarak kedua titik pusat lingkaran itu adalah ...
Jawab:
Perhatikan gambar berikut:

Ingat bahwa garis singgung lingkaran itu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.
Garis $NT$ adalah garis bantu, dimana $NT // PQ$. Dari gambar itu diperoleh:
$PQ=\sqrt{MN^2-(MP-NQ)^2}$
$12=\sqrt{MN^2-(13-4)^2}$
$144=MN^2-81$
$MN=15$
Jadi, jarak kedua titik pusat lingkaran adalah 15 cm.

Mungkin sekian postingan kali ini semoga bermanfaat..

FUNGSI EKSPONEN ASLI

September 17, 2020 Add Comment
Pada pokok bahasan ini kita harus mengetahui terlebih dahulu tentang fungsi logaritma asli (ln), jika belum mengetahui tentang fungsi ln, kamu bisa membacanya di link berikut:Fungsi Logaritma Asli (ln).

Kembali kita ke pembahasan fungsi eksponen asli. Perhatikan definisi fungsi eksponen asli berikut:

Definisi:
Invers ln disebut fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp, yaitu:
$x=$ exp $y$ $\iff$ $y=$ ln $x$


Dari definisi di atas kita peroleh:
(i) exp(ln $x$) $= x$, untuk $x >0$.
(ii) ln(exp $y$) $=y$, untuk semua $y$.

Perhatikan gambar berikut:
Oleh karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi invers, grafik $y=$ exp $x$ adalah grafik $y=$ ln $x$ yang dicerminkan pada garis $y=x$. Tetapi mengapa disebut fungsi eksponen?. Penjelasannya sebagai berikut:

Sifat Fungsi Eksponen $\quad$ Kita mulai dengan memperkenalkan bilangan baru, seperti bilangan $\pi$, tetapi ini bilangan yang dilambangkan dengan huruf $e$. Bilangan $e$ ini amat penting di dalam matematika. Bilangan $e$ ini pertama kali digunakan oleh ahli matematika Leonhard Euler.

Definisi:
Bilangan $e$ adalah bilangan riil positif yang bersifat ln $e=1$.

Oleh karena ln $e=1$, maka exp 1 $=e$. Bilangan $e$ adalah bilangan irrasional. Orang telah menghitungnya sampai seribu angka di belakang koma, yaitu: $e \approx 2,718281828459045..$.
Sekarang kita melakukan pengamatan penting yang hanya bergantung pada fakta-fakta yang telah diperlihatkan. Perhatikan bahwa (i) dan (ii) pada awal bagian ini dapat ditulis dalam bentuk:

(i) $e^{ln(x)}=x$, untuk $x>0$.
(ii) ln($e^y$)$=y$, untuk semua $y$.


Kemudian berlaku rumusan berikut:

Andaikan $a$ dan $b$ bilangan rasional, maka $e^ae^b=e^{a+b}$ dan $e^a/e^b=e^{a-b}$


Turunan $e^x$ $\quad$ Karena exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling berkebalikan, maka fungsi exp $x=e^x$ dapat diturunkan. Untuk menemukan sebuah rumus $D_x(e^x)$ kita dapat menggunakan rumus berikut:

$D_x(e^x)=e^x$

Bukti: definisikan $e^x=y$ maka $x=$ ln $y$ ruas kiri dan kanan kita turunkan terhadap $x$ yang bersimbol $dy/dx$ dengan menggunakan teknik Turunan Implisit. Jika belum mengetahui teknik turunan implisit, kamu bisa membacanya melalui link berikut: Teknik Turunan Implisit.
Sehingga diperoleh:
$1=\frac{1}{y}D_x(y)$
$D_x(y)=D_x(e^x)=y=e^x$ (terbukti)

Apabila $u=f(x)$, maka menurut aturan rantai diperoleh:

$D_x(e^u)=e^u.D_x(u)$

Rumus diatas dapat menghasilkan rumus:

atau


Contoh 1:
Tentukan $D_xe^{\sqrt{x}}$.
Penyelesaian:
Ambil $u=\sqrt{x}$, maka:
$D_xe^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}.D_x \sqrt{x}$

$=$

$=$

Contoh 2: Tentukan
Jawab:
ambil $u=-4x$ sehingga $du=-4dx$, maka diperoleh: