Skip to main content

KOMBINASI



Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai operasi kombinasi. Sebelumnya sobat harus tau apa itu operasi faktorial. Operasi faktorial dilambangkan dengan tanda seru " ! ". Sebagai contoh 5!=5x4x3x2x1 atau bisa kita tulis dengan $5!=5.(5-1)!$.
Definisi formal faktorial:
Untuk setiap bilangan $n$ maka $n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)....1=n.(n-1)!$

Definisi formal:
Kombinasi merupakan operasi yang dirumuskan oleh $C(n, r)=\frac {n!}{r!.(n-r)!}$ dimana $n>r$.

Ada juga yg menuliskan rumus kombinasi sebagai berikut:
$C(n, r)=\frac {n.(n-1).(n-2)...(n-(r-1))}{r!}$

bentuk itu diperoleh karena $(n-r)!$ itu habis membagi $n!$.

Kita juga harus tau bentuk-bentuk penulisan lambang kombinasi, yakni:
1. $C(n, r)$
2. $_nC_r$, dan
3. ${n \choose r}$.

Nah setelah sobat mengenal definisi kombinasi tersebut, kini saatnya kita mengetahui apa kegunaan dari kombinasi itu.


Kegunaan Kombinasi

*Untuk mencari banyaknya cara memilih*
Misalkan ada 4 elemen yaitu $a, \quad b, \quad c,\quad$ dan $d$ maka jika kita ingin memelih 3 elemen dari 4 elemen itu kita peroleh pemilihannya ada empat cara yakni: $(a, \quad b, \quad c)$, $(a, \quad b, \quad d)$, $(b, \quad c, \quad d)$, dan $(a, \quad c, \quad d)$.

Contoh lain:
Seorang siswa diharuskan mengerjakan 7 soal dari 10 soal dengan nomor soal 1 s.d 10. Siawa itu juga diharuskan menjawab soal no.1, no.5, dan no.9. Berapa banyak cara pemilihan soal oleh siswa itu?
Jawab:
Karena 3 soal sudah dipilih yakni dari kalimat diharuskan menjawab soal no.1, no.5, dan no.9, maka sisa soal yg harus dipilih oleh siswa itu tinggal 7 soal. Sedangkan untuk mengerjakan 7 soal itu dia harus mengerjakan 4 soal lagi. Sehingga oleh rumus kombinasi maka banyak cara pemilihannya adalah: $C(7, 4)=\frac {7.6.5.4}{4.3.2.1}=35 $ cara.

*Sebagai koefisien dari perpangkatan $(x+y)^n$
Formulanya sebagai berikut:
$\quad (x+y)^n=\sum^n_{k=0}{n \choose r}.x^k.y^{n-k}$
rumus ini dinamakan rumus binomial.

sebagai contoh misalkan kita akan mencari nilai $(1+2)^2$ dengan menggunakan rumus binomial, maka $(1+2)^2=C(2, 0).1^0.2^{2-0}+$
$C(2, 1).1^1.2^{2-1}+C(2, 2).1^2.2^{2-2}$$=4+4+1=9.\quad$
Untuk bukti formalnya bisa kita gunakan induksi matematika yg dibahas dipertemuan lain.
Contoh:
Tentukan koefisien $x^4$ dari $(2x-3)^6$.
Jawab:
Jika sebelumnya kita tidak mengetahui rumus binomial itu, maka kita akan kesulitan menjawab soal ini. Soal ini juga bisa kita jawab dengan menggunakan bilangan segitiga pascal, dan sebenarnya bilangan segitiga pascal itu adalah koefisien-koefisien dari rumus binomial. Ok, langsung saja kita jawab, karena yang ditanya itu $x^4$, maka jelas bahwa $k=4$. Sehingga kita hanya mengambil suku pada $k=4$ saja, kita peroleh sukunya: $C(6, 4). (2x)^4.(-3)^{6-4}=$
$(15).(16).(9).x^4=2160.x^4$
sehingga koefisiennya= 2160.

*kombinasi digunakan untuk mencari barisan dan deret aritmatika bertingkat*
Barisan dan deret aritmatika bertingkat itu merupakan gabungan dari 2 atau lebih barisan atau deret yang saling terhubung. Misalnya barisan aritmatika tingkat-2 sebagai berikut:
2, 3, 5, 8, 12, ... (barisan pertama)
beda pertama: 1, 2, 3, 4, ... (barisan kedua)
beda kedua: 1, 1, 1, ... (barisan ketiga)
Nah untuk mencari rumus suku ke-$n$ nya maka suku pertama berturut-turut dari barisan pertama dan seterusnya kita kalikan dengan kombinasi yg bersesuainya lalu kita jumlahkan sebagai berikut:
$U_n={{n-1} \choose 0}.2 + {{n-1} \choose 1}.1 + {{n-1} \choose 2}.1$.
Nah sekarang kita coba mencari suku ke-4 dari barisan pertama, maka: $U_4={(4-1) \choose 0}.2 + {(4-1) \choose 1}.1 + {(4-1) \choose 2}.1=8$.
Jika untuk deret, misalkan kita akan mencari $S_n$ dari barisan pertama yakni 2+3+5+8+12+...
maka: $\quad S_n={n \choose 1}.2 + {n \choose 2}.1 + {n \choose 3}.1$. Misalkan kita akan mencari nilai $S_4$ maka $S_4={4 \choose 1}.2 + {4 \choose 2}.1 + {4 \choose 3}.1=18.$

Mungkin sampai disini tutorial kita kali ini dalam materi kombinasi, terima kasih atas kunjungannya di mathematic.my.id semoga bermanfaat..




Comments

Popular posts from this blog

TIPS DAN TRIK MENJAWAB SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA

Sebelum kita mempelajari trik menjawab soal olimpiade matematika, terlebih dulu kita mempelajari perbedaan antara soal matematika di sekolah dan soal matematika olimpiade. Soal matematika di sekolah bersifat rutin (biasa), sehingga cara pengerjaannya relatif mudah dan banyak ditemukan dalam buku-buku teks sekolah. Sementara itu, soal olimpiade matematika bersifat tidak rutin (tidak biasa) sehingga cara pengerjaannya relatif sulit dan tidak banyak ditemukan dalam buku-buku teks sekolah. Untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan contoh berikut ini:

Terkadang kita sangat susah menentukan modifikasi bentuk aljabar yg sesuai karena memang begitulah soal olimpiade. Memodifikasi bentuk-bentuk aljabar untuk soal olimpiade tidaklah bersifat umum, maka dari itu perlu ketelitian dan kesabaran dalam pengerjaannya.

Strategi Mengerjakan Soal Olimpiade Matematika | Matematrick.com
Salah satu kompetensi yang diharapkan dapat tercapai dalam belajar matematika yang terkait dengan keterampilan matematik…

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Kali ini mathematic.my.id membagikan tutorial mengenai Pertidaksamaan Kuadrat . Sebelumnya kita harus tau tentang materi persamaan kuadrat, jika belum mengetahui materi persamaan kuadrat maka bisa membaca tutorialnya melalui link ini.
Baiklah, langsung saja kita ke inti materinya, pertama-tama kita harus tau bentuk umum pertidaksamaan kuadrat berikut:
$ax^2+bx+c (notasi) 0$.
Maksud dari notasi itu adalah lambang pertidaksamaan yakni: $<,\quad >, \quad \le, \quad$ dan $ \ge$.


-------------**-------------


Contoh 1: Himpunan penyelesaian real pertidaksamaan $2x^2-x < 3$ adalah ...


Jawab: Pertama kita pastikan apakah bentuknya sudah umum atau belum. Soal diatas bentuknya belum umum, maka kita ubah dengan menggunakan konsep aljabar kedua ruas kita kurang 3 diperoleh:
$\quad 2x^2-x-3<0 \quad$ kemudian kita uji nilai diskriminannya $D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(-3)\ge 0$ jika hasil $D \ge 0$ maka penyelesaiannya real. Kemudian kita faktorkan, karena pada contoh ini bisa kita faktorka…

Kumpulan Soal dan Kunci OSK Matematika SMA

Asslm... wr. wb.
Berikut ini saya bagikan file dalam bentuk pdf yg saya share melalui google drive yg bisa anda download langsung.
1. Soal OSK Matematika SMA 2019
2. Kunci OSK Matematika SMA 2019
3. Soal dan Pembahasan OSK Matematika 2018
4. Soal OSK Matematika SMA 2017
5. Kunci OSK Matematika SMA 2017
6. Soal OSK Matematika SMA 2016
7. Kunci OSK Matematika SMA 2016
8. Soal OSK Matematika SMA 2015
9. Kunci OSK Matematika SMA 2015
10. Soal OSK Matematika SMA 2014
11. Kunci OSK Matematika SMA 2014

Mungkin sekian postingan ini. Terima kasih atas kunjungannya.






Privacy Policy